基于疊加阻抗理論的彈性參數反演方法

桂金詠，高建虎，雍學善，李勝軍，王萬里

（中國石油勘探開發研究院 西北分院，蘭州 730020）

0 引言

Goodway等［1］在Fatti近似方程的基礎上，利用疊前AVO屬性反演方法首先提取出縱波、橫波阻抗反射率，然后采用疊后反演的方法首次反演出儲層預測領域較為重要的縱、橫波阻抗等彈性參數。基于這種思想，后續許多學者根據不同的Zoeppritz近似方程，采用先疊前AVO屬性反演、后疊后反演的方法，反演得到了縱橫波速度、阻抗、拉梅參數、剪切模量、密度等眾多在儲層預測中較為重要的彈性參數。但隨著研究與實際應用的深入，許多學者發現由于Zoeppritz近似方程系數矩陣條件數較大，低信噪比的疊前道集會導致后續彈性參數反演結果極不穩定［2－5］。針對這一問題，Connolly等［6］提出了彈性阻抗反演理論，彈性阻抗反演基于抗噪性更好的角度部分疊加地震道集，考慮了子波隨炮檢距的變化、兼具疊前AVO屬性反演與疊后波阻抗（A－coustic Impedance，AI）反演的優點，無需做多大改變即可采用業已成熟的疊后波阻抗反演技術，反演出包含流體信息的彈性阻抗體。更為重要的是，基于不同角度的彈性阻抗體，采用線性求解的方式即可直接反演出縱波、橫波速度及密度等彈性參數，是目前應用最為廣泛的彈性參數反演方法之一［2，7－11］。然而在實際應用過程中，勘探工作者逐漸意識到彈性阻抗方程是單入射角的函數，理應采用單角度疊加地震道集，而實際上由于采集及處理技術的限制，彈性阻抗反演卻采用的是信噪比較高的角度部分疊加地震道集［12］。這就造成方程與地震道集間的矛盾，致使反演得到的彈性阻抗體存在一定的誤差，進而影響了后續彈性參數的反演精度。針對方程與實際道集間的矛盾，作者基于疊加阻抗理論，通過推導將常規彈性阻抗方程由單角度函數改寫為角度疊加范圍的函數，首次引入到彈性參數反演當中，以期提高彈性參數的反演精度。

1 方法原理

1.1 疊加阻抗方程

由于利用彈性阻抗方程反演彈性參數有諸多優點，許多學者根據不同的彈性參數反演需要，基于不同的Zoeppritz近似方程推導出了多種形式的彈性阻抗方程［6，8－12］，如表1所示。

通過觀察表1可知，表1中彈性阻抗方程可以總結為式（1）。

其中A、B、C分別為不同的彈性參數；A0、B0、C0分別為目的層段相應彈性參數平均值；EI0為相應的尺度標準化因子；a（θ）、b（θ）、c（θ）為隨入射角度變化的函數。

由式（1）可知，彈性阻抗方程EI（θ）為單入射角θ的函數。實際上由于采集和處理技術的限制，很難準確得到單角度疊加地震道集，致使在實際應用中彈性阻抗反演只能采用信噪比更高的、某一角度范圍內的角度疊加道集，即角度部分疊加道集。針對彈性阻抗方程與實際道集間的矛盾，Li等［12］對Connolly彈性阻抗方程推導所基于的Aki－Richards近似方程進行角度疊加范圍的積分，通過推導將彈性阻抗方程從單角度的函數改寫為角度疊加范圍的函數，稱作疊加阻抗方程（Stack Impedance，SI）：

其中Vp、Vs、ρ分別表示縱波速度、橫波速度及密度；Vp0、Vs0、ρ0分別表示目的層段縱波速度、橫波速度及密度的平均值；Φ0、Φ分別表示角度疊加范圍的起始、終止角度。可以看到，SI方程同Connolly的EI＿Aki方程表達式的區別僅在于指數項的不同，EI＿Aki方程的指數項為單角度θ的函數，而SI方程的指數項為角度范圍的函數，當終止角度Φ趨近于起始角度Φ0，即地震資料為單角度疊加地震道集時，SI方程即為彈性阻抗方程EI＿Aki。Li等［12］人認為SI方程比Connolly的EI＿Aki方程更加適合角度部分疊加道集，反演得到的阻抗值更接近真實值。因此按照這種推導思路，如表1中所示彈性阻抗方程經過推導均可得到相應的疊加阻抗方程（見附錄），從而更加符合實際地震道集情況，反演得到的組抗體精度也會更高。

表1 不同形式的彈性阻抗方程與反演的彈性參數Tab.1 The elastic impedance equations of different forms and elastic parameters

1.2 彈性參數反演

同Connolly最初提出彈性阻抗方程一樣，Li等人只是將SI作為波阻抗的擴展用于巖性以及流體的直接指示。為了充分利用疊加阻抗方程更加適合傳統角度部分疊加地震道集的優勢，作者經過推導，將傳統彈性阻抗方程改寫為疊加阻抗方程，進而引入到彈性參數反演中。通過觀察（見附錄），作者推導的疊加阻抗方程均可表述為：

其中A、B、C分別為不同的彈性參數；A0、B0、C0分別為目的層段相應彈性參數平均值；SI0為相應的尺度標準化因子；指數項 m（Φ0，Φ）、n（Φ0，Φ）、p（Φ0，Φ）為角度疊加范圍的函數，這就是疊加阻抗方程與傳統彈性阻抗方程（見式（1））最大的不同之處。

基于疊加阻抗方程，采用傳統的疊后波阻抗反演技術，即可得到疊加阻抗數據體。則對于角度疊加范圍為Φ0～Φ的同一疊加阻抗數據體，各采樣點t（t＝1，2，…，n）處的指數項 m（Φ0，Φ）、n（Φ0，Φ）、p（Φ0，Φ）相同，對式（3）兩邊取對數可得式（4）。

根據式（4），通過線性回歸方式得到同一疊加角度范圍下各采樣點的指數項：m（Φ0，Φ）、n（Φ0，Φ）、p（Φ0，Φ）。則對于角度疊加范圍分別為Φ0－Φ1、Φ2－Φ3、Φ4－Φ5的三個疊加阻抗體則有9個常指數，帶入到式（3）中可得到式（5）。

利用疊加阻抗井旁道反演結果，結合相關測井曲線解方程組（5），可以得到彈性參數A、B、C。結合附錄中推導的各種形式的疊加阻抗方程，可實現縱波、橫波速度及阻抗、密度、拉梅參數、剪切模量、流體項、泊松比等彈性參數的反演。

圖1 基于疊加阻抗理論的彈性參數反演流程technological inversion process of elastic parameter based on the theory of Stack impedance

1.3 實施流程

基于疊加阻抗理論的彈性參數反演流程（圖1），主要有以下五個關鍵步驟：

（1）地震資料處理。主要是對地震資料進行保幅疊前時間偏移，然后抽取角度部分疊加地震道集，一般需要近、中、遠三個不同角度部分疊加道集數據體。

（2）測井資料處理。主要是對測井曲線進行基線校正、環境校正、橫向標準化等處理，利用縱波、橫波速度測井曲線根據疊加阻抗方程，計算出井旁道疊加阻抗曲線，結合層位、鉆井等地質信息進行低頻模型的構建。

（3）角度子波提取與合成記錄標定。對每個角度道集分別提取不同的角度子波，然后用提取的子波做合成記錄標定，標定后再提子波，如此反復直到合成記錄與地震記錄吻合較好。

（4）疊加阻抗數據體反演。基于測井約束反演的思想對各角度部分疊加地震道集進行反演，得到相應的三個疊加阻抗數據體。

（5）彈性參數數據體反演。基于上述步驟得到的三個疊加阻抗數據體，求解方程組（5），可得到各道任意采樣點處的彈性參數。

2 效果分析

2.1 近似精度分析

以EI＿Shuey彈性阻抗方程及其疊加阻抗方程SI＿Shuey（見附錄式（x））為例，進一步論證疊加阻抗方程較彈性阻抗方程更加符合角度部分疊加道集。如圖2所示為三類AVO模型，由上到下依次是第三類、第二類、第一類AVO砂泥巖模型。采用5°到35°的合成角度道，進行疊加得到角度部分疊加道記錄，如3（a）、（b）中黑色波動線所示。分別利用EI＿Shuey、SI＿Shuey方程計算模型的反射系數，然后與30Hz雷克子波褶積得到合成地震記錄道，如圖3（a）、（b）中紅色波動曲線所示，其中SI＿Shuey方程角度疊加范圍取5至35°，EI＿Shuey方程角度值取角度疊加范圍的中間值20°。

由圖3可以看到，基于SI＿Shuey方程得到的合成地震記錄，比EI＿Shuey方程合成記錄與角度部分疊加地震記錄整體匹配得更好，尤其對于第二類含氣砂巖（1 800ms左右處），兩種方程差別尤為明顯。這與振幅在含氣砂巖與泥巖界面處相位發生了反轉而EI＿Shuey方程并沒有考慮到角度疊加效應有關。因此利用疊加阻抗方程替代彈性阻抗方程進行阻抗數據體反演，可以得到更加符合實際地震道集的阻抗體，這與Li等人［12］的結論一致。

2.2 穩定性分析

由矩陣理論可知，方程（5）中9個與角度有關的指數項組成的系數矩陣的條件數大小，關系到矩陣方程（5）求解的穩定性［13］。假設背景橫波、縱波速度比值的平方（Vs／Vp）2取“0.25”，彈性阻抗方程近角度θ1取10°，遠角度θ3從25°到45°范圍內取值，中角度θ2取近角度與遠角度的中間值。疊加阻抗方程的近、中、遠角度取值范圍為彈性阻抗方程所取角度θ±5°。分別計算表1中彈性阻抗方程及其相應疊加阻抗方程（見附錄）的指數項矩陣條件數，如圖4所示。可以看到：①當遠角度小于35°時，疊加阻抗方程系數矩陣條件數均小于相應的彈性阻抗方程，此時利用疊加阻抗方程提取彈性參數的穩定性，要高于相應的彈性阻抗方程；②當遠角度大于35°時，疊加阻抗與彈性方程的系數矩陣條件數均較小，這時兩種方程穩定性相當。因此可以認為，利用疊加阻抗方程進行彈性參數反演是相對穩定的。

圖2 模型縱、橫波速度以及密度參數Fig.2 The model parameters of P wave velocity，S wave velocity and density

2.3 實際應用分析

圖3 合成地震記錄與角度部分疊加記錄對比Fig.3 The contrast of the record between synthetic seismic and angle stacked seismic

圖4 彈性阻抗方程與疊加阻抗方程系數矩陣條件數對比Fig.4 The contrast of the condition number of the coefficient matrix between the elastic impedance equation and stack impedance equation

不同巖石以及同一種巖石含不同流體時其彈性的性質也不一樣，具體表現為彈性參數的數值大小不同。巖石物理理論及實際應用均表明，砂巖的泊松比要小于泥巖的泊松比，且砂巖含氣時差異尤為明顯，含氣砂巖泊松比值一般不超過“0.2”［14］。因此，泊松比參數常被用來識別油氣儲層。將本文方法應用于某研究區，該研究區主產層為砂泥巖巖性氣藏，呈高電阻率特征。巖石物理交匯分析表明，泊松比在該地區具備較好的氣藏識別效果，因此我們基于三個角度部分疊加地震道集，分別利用包含泊松比項的彈性阻抗方程EI＿Shuey與疊加阻抗方程SI＿Shuey進行泊松比的反演，反演結果如圖5、圖6所示。該地區電阻率測井顯示在剖面1.40s～1.43 s之間存在氣藏（剖面中橢圓框所示為氣藏，投影曲線為電阻率測井曲線）。從圖5、圖6中可以看到，EI＿Shuey、SI＿Shuey方程反演得到的泊松比在氣藏處均呈低值，均在一定程度上指示出了氣藏。但對比圖5、圖6可以發現，圖6氣藏處泊松比值在“0.2”以下，泊松比低值異常比圖5中的EI＿Shuey方程反演結果更加突出且與圍巖區分更加清晰，這非常有利于地質解釋工作者圈定出氣藏的分布，實際試氣結果與巖芯取樣也證實了這一點。這說明本文提出的彈性參數反演方法，比傳統方法更加適合常規的角度部分疊加地震道集，反演得到的彈性參數更加準確。

3 結論

圖5 EI＿Shuey方程反演得到的泊松比剖面Fig.5 The Poisson＇s ratio inverted by the equation of EI＿Shuey

圖6 SI＿Shuey方程反演得到的泊松比剖面Fig.6 The Poisson＇s ratio inverted by the equation of SI＿Shuey

彈性參數在儲層預測中具有極其重要的作用，其精度關系到儲層預測的可信度。疊加阻抗方程解決了彈性阻抗反演在實際過程中所使用的角度地震道集并非單角度疊加的問題，疊加阻抗方程更加符合實際情況，得到的阻抗數據體更為精確。更為重要的是將疊加阻抗的思想引入到彈性參數的反演當中，僅需將常見彈性阻抗方程改寫為疊加阻抗的形式、按照原有的彈性參數反演流程，即可更加穩定、精確地反演出縱橫波速度、縱橫波阻抗、拉梅參數、剪切模量、泊松比等多種在儲層預測中較為重要的彈性參數。理論分析以及實際資料應用均表明，該方法具有較好的應用效果及應用前景。

附錄

當角度疊加范圍為Φ0－Φ時，對R（θ）進行角度積分：

記SI為疊加阻抗，疊加阻抗同彈性阻抗一樣，是聲波阻抗的推廣，反射系數可以用阻抗的對數值表示［6，12］：

將上式帶入到式（i）中得到：

利用對數運算法則得到：

對上式取積分：

與彈性阻抗方程類似，利用方程（v）計算得到的阻抗值，會隨著角度疊加范圍的變化而發生量綱尺度的變化，引入三個標準化常數A0、B0、C0，分別由目的層段相應彈性參數取平均值得到，采用Whitecomb的標準化方法得到［15］：

上式即為疊加阻抗方程的最終推導形式，其中SI0為與A0、B0、C0有關的標準化系數，其取值同EI0。式（vi）即為疊加阻抗方程的一般表達式，當終止角度Φ趨近于起始角度Φ0時，式（vi）即變為傳統的彈性阻抗方程。

按照這種推導過程，彈性阻抗方程EI＿Fatti可以改寫為包含縱波、橫波阻抗、密度Ip、Is、ρ的疊加阻抗方程：

彈性阻抗方程EI＿Gray可以改寫為包含拉梅參數λ、剪切模量μ、密度ρ的疊加阻抗方程：

彈性阻抗方程EI＿Russell可以改寫為包含Gassmann流體項f、剪切模量μ、密度ρ的疊加阻抗方程：

彈性阻抗方程EI＿Shuey可以改寫為包含泊松比σ、縱波速Vp、密度ρ的疊加阻抗方程：

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