一類離散SIRS傳染病模型的Lyapunov函數?

王穎,滕志東

(新疆大學 數學與系統科學學院，新疆 烏魯木齊830046)

0 引言

眾所周知,許多學者對不同類型連續時間的SIS,SIR,SIRS傳染病動力學模型進行了大量的研究,并得到了許多很好的結果.但是,由于許多傳染病的數據是按天,周,月或年來收集的,因此,就需要建立離散時間的傳染病動力學模型進行研究.此時,離散傳染病模型比連續模型更加符合實際.目前,許多學者已經對各類不同的離散傳染病動力學模型做了廣泛的研究.研究的主要課題有:基本再生數的計算,平衡點的存在性,無病平衡點的局部和全局穩定性,地方病平衡點的局部和全局穩定性,疾病的持續流行和滅絕性,等等.許多重要的研究工作能在文獻[1～4]中可看到.例如,Sekiguchi與Ishiwata在[1]對具有時滯離散的SIRS做了研究,得到了地方病平衡點的持久性與無病平衡點的全局漸進穩定性.

在文獻[5～8]中,如下連續的SIRS傳染病模型被研究

其中A是總人口的輸入率,β是傳播系數,μ表示易感者,染病者以及恢復者的死亡率,γ表示恢復率,δ表示染病者失去免疫率,α是染病者的死亡率.假設α,δ是非負數,A,β,γ都是正數.對模型(1),作者計算得到了基本再生數R0,并且證明了當R0≤1時,模型(1)的無病平衡點E0=(S0,0,0)是全局漸近穩定的,且當R0>1時,模型(1)的地方病平衡點E?=(S?,I?,R?)是全局漸近穩定的.

在文獻[9,10]中,作者討論了具有染病者輸入的SIRS傳染病模型:

其中a>0,b≥0,c≥0分別表示易感者,染病者以及恢復者在總人口輸入所占的比例,且滿足a+b+c=1.作者分別對b=和b>0的情形進行的研究,分別建立了模型(2)無病平衡點與地方病平衡點全局漸近穩定性的判斷準則.這篇文章研究模型(1)與(2)所對應的離散化模型.

利用歐拉向后差分法得到模型(1)與(2)如下的離散化模型:

和

這里,Sn,In,Rn分別為第n個時間步長的易感者,感染者和移出者,d1,d2,d2分別表示易感者,染病者以及恢復者的死亡率.特別地,在模型(3)和(4)中,作為模型(1)和(2)的推廣,要求易感者,染病者和恢復著的死亡率可以不相同.此外,模型(3)和(4)中的其他參數與連續模型中的意義一樣.

文章組織如下,第二部分證明了模型(3)的解的正性和有界性,并通過構造Lyapunov函數證明了無病平衡點E0和地方病平衡點E?的全局漸近穩定性.第三部分證明了模型(4)的地方病E?的存在性并用Laypunov函數證明了地方病平衡點是全局漸近穩定的.

1 模型(3)的全局性質分析

而當R0≤1時,I?≤0,這說明模型(3)不存在地方病平衡點.

根據模型(3)的生物學意義,假定所研究的解滿足如下的正初始條件

關于模型(3)的解在正初始條件(5)下的正性,有如下結論.

定理1設(Sn,In,Rn)是模型(3)滿足初始條件(5)的解,則(Sn,In,Rn)對任意的n>0都是正的,且最終有界.

證明首先證明解的正性.模型(3)可寫為:

把(6)的第一個方程與第三個方程代入第二個方程得

令C1=1+δ+d3,C2=1+γ+d2+α,代入上式整理得

最后整理為關于In+1的二元一次方程

當n=0時,則有a0I21+a1I1+a2=0.令I1=x和?(x)=a0x2+a1x+a2.對于?(x)的二次項系數a0,由于C1C2=(1+d3)(1+γ+d2+α)+δ(1+d2+α)+δγ,且初始值S0>0,I0>0,R0>0,所以a0=β(C1C2?δγ)=β[(1+d3)(1+γ+d2+α)+δ(1+d2+α)]>0.又由于常數項a2<0.故由二次函數的性質得知,方程?(x)=0有唯一的正根,設為x1.于是I1=x1>0,再由(7)的第一個方程與第三個方程得知,S1>0和R1>0.

當n=1時,同理可得證I2>0,進而有S2>0和R2>0.最后,使用數學歸納方法可得,對任意的n>0,(Sn,In,Rn)都是正的.

現證明解的最終有界性.設Nn=Sn+In+Rn,由模型(3)得Nn+1?Nn=A?d1Sn+1?(d2+α)In+1?d3Rn+1.令d=min(d1,d2,d3),則有(1+d)Nn+1≤A+Nn.所以

定理2若R0≤1時,則模型(3)的無病平衡點E0是全局漸近穩定的.

證明由于E0是模型(3)的無病平衡點,所以模型(3)又可寫為

構造如下Lyapunov函數

則有

因此,由關于全局漸近穩定的Lyapunov函數定理得知,當R0≤1時則無病平衡點E0是全局漸近穩定的.

定理3若R0>1,則模型(3)的地方病平衡點E?是全局漸近穩定的.

證明模型(3)的地方病平衡點E?滿足下列方程:

因此,模型(3)又可表示為

構造如下Lyapunov函數

則有

因此,由關于全局漸近穩定的Lyapunov函數定理得知,當R0>1時地方病平衡點E?是全局漸近穩定的.

2 模型(4)的全局性質分析

模型(4)滿足初始條件(5)的解的正性與有界性的論證與模型(3)的論證完全類似,故這里略去.對模型(4)的平衡點的穩定性,分兩種情況討論.

情形1b=0

此時,模型(4)變為

定理4當R0≤1時模型(10)的無病平衡點E0是全局漸近穩定的;而當R0>1時模型(10)的地病平衡點E?是全局漸近穩定的.

其證明方法與模型(3)的證明完全類似,故這里從略.

情形2b>0

當b>0時,由于有染病者輸入,所以模型(4)沒有無病平衡點.對地方病平衡點存在性,有如下結果.

定理5模型 (4)存在一個地方病平衡點其中并且I?是如下方程的唯一解:

證明設E?=(S?,I?,R?)是模型(4)的地方病平衡點,則其滿足如下方程

由方程(*)的第二和第三個方程解得

將(11)代入(*)的第一個方程,整理可得

定理6模型(4)的地方病平衡點E?是全局漸近穩定的.

證明根據地方病平衡點E?滿足的方程(*)得知,模型(4)又可表示為

類似于定理2,構造如下Lyapunov函數

則有

因此,由關于全局漸近穩定的Lyapunov函數定理得知,地方病平衡點E?是全局漸近穩定的.