全等三角形的概念透析

尹永洲

本章的主要內容是全等三角形，主要學習全等三角形的性質及各種三角形全等的判定方法. 如何利用全等三角形進行證明，掌握好相關概念是基本前提.

一、 全等形與全等三角形

形狀、大小相同的圖形放在一起能夠完全重合. 能夠完全重合的兩個圖形叫做全等形. 能夠完全重合的兩個三角形叫全等三角形.

注意：一個圖形經過平移、翻折、旋轉后，位置變化了，但形狀、大小都沒有改變，即平移、翻折、旋轉前后的圖形全等. 兩個全等形的周長相等，面積相等.

例1 下列每組中的兩個圖形，是全等圖形的為（ ）.

【答案】 A

【解析】 B、C、D選項中形狀相同，但大小不等.

【評注】 是不是全等形，既要看形狀是否相同，還要看大小是否相等.

【變式】 如圖，在5個條形方格圖中，圖中由實線圍成的圖形與①全等的有_____.

【答案】 ②、④

提示：找出與①形狀、大小相同的圖形.

二、 對應頂點、對應邊、對應角

1. 對應頂點、對應邊、對應角的定義

兩個全等三角形重合在一起，重合的頂點叫對應頂點，重合的邊叫對應邊，重合的角叫對應角.

在寫兩個三角形全等時，通常把對應頂點的字母寫在對應位置上，這樣容易找出對應邊和對應角. 如下圖，△ABC與△DEF全等，記作△ABC≌△DEF，其中點A和點D、點B和點E、點C和點F是對應頂點；AB和DE、BC和EF、AC和DF是對應邊；∠A和∠D、∠B和∠E、∠C和∠F是對應角.

2. 找對應邊、對應角的方法

（1） 全等三角形對應角所對的邊是對應邊，兩個對應角所夾的邊是對應邊；

（2） 全等三角形對應邊所對的角是對應角，兩條對應邊所夾的角是對應角；

（3） 有公共邊的，公共邊是對應邊；

（4） 有公共角的，公共角是對應角；

（5） 有對頂角的，對頂角一定是對應角；

（6） 兩個全等三角形中一對最長的邊（或最大的角）是對應邊（或角），一對最短的邊（或最小的角）是對應邊（或角），等等.

例2 如圖，△ABN≌△ACM，∠B和∠C是對應角，AB與AC是對應邊，寫出其他對應邊和對應角.

【答案與解析】 對應邊：AN與AM、BN與CM.

對應角：∠BAN與∠CAM、∠ANB與∠AMC.

【評注】 全等三角形對應角所對的邊是對應邊；全等三角形對應邊所對的角是對應角.

【變式】 如圖，△ABD≌△ACE，AB=AC，寫出圖中的對應邊和對應角.

【答案】 AB和AC是對應邊，AD和AE、BD和CE是對應邊，∠BAD和∠CAE是對應角，∠B和∠C，∠ADB和∠AEC是對應角. 在找對應邊和對應角時可以根據圖形進行，即最長邊與最長邊是對應邊，最短邊與最短邊是對應邊，最大角與最大角是對應角，最小角與最小角是對應角. 最關鍵是找出對應字母，按照字母來找對應線段和對應角. 這就要求我們平時在書寫時一定要注意規范，按照字母的對應方式書寫全等. 如△ABC≌△DEF與△ABC和△DEF全等是有區別的. 前者規定了A、D，B、E，C、F的對應，而后者就有好多種對應情況了.

三、 全等三角形的性質

全等三角形的對應邊相等；

全等三角形的對應角相等.

注意：全等三角形對應邊上的高相等，對應邊上的中線相等，周長相等，面積相等. 全等三角形的性質是今后研究其他全等圖形的重要工具.

例3 如圖△ABC≌△DEF，AB=8，BC=6，求DF的取值范圍.

【答案】 2

【解析】 由△ABC≌△DEF，得到對應邊相等. 即DE=AB=8，EF=BC=6.

根據△DEF三邊關系，2

【變式】 在此題目中，如果△ABC的面積為20，其他條件不變，那么△DEF的面積是多少？周長的范圍是什么？

【答案】 根據全等三角形面積、周長分別相等，△DEF的面積也為20. 又2

故16<△ABC的周長<28.

即16<△DEF的周長<28.

四、 全等三角形的條件

基本事實：

兩邊及其夾角分別相等的兩個三角形全等（SAS）.

兩角及其夾邊分別相等的兩個三角形全等（ASA）.

三邊分別相等的兩個三角形全等（SSS）.

推論：

兩角分別相等且其中一組等角的對邊相等的兩個三角形全等（AAS）.

定理：斜邊和一條直角邊分別相等的兩個直角三角形全等（HL）.

這5種判定方法中兩個三角形都具備3對元素（邊或角）分別相等的條件.

注意：（1）至少有一組邊；（2）沒有SSA的判定.

（作者單位：南師大第二附屬初級中學）

本章的主要內容是全等三角形，主要學習全等三角形的性質及各種三角形全等的判定方法. 如何利用全等三角形進行證明，掌握好相關概念是基本前提.

一、 全等形與全等三角形

形狀、大小相同的圖形放在一起能夠完全重合. 能夠完全重合的兩個圖形叫做全等形. 能夠完全重合的兩個三角形叫全等三角形.

注意：一個圖形經過平移、翻折、旋轉后，位置變化了，但形狀、大小都沒有改變，即平移、翻折、旋轉前后的圖形全等. 兩個全等形的周長相等，面積相等.

例1 下列每組中的兩個圖形，是全等圖形的為（ ）.

【答案】 A

【解析】 B、C、D選項中形狀相同，但大小不等.

【評注】 是不是全等形，既要看形狀是否相同，還要看大小是否相等.

【變式】 如圖，在5個條形方格圖中，圖中由實線圍成的圖形與①全等的有_____.

【答案】 ②、④

提示：找出與①形狀、大小相同的圖形.

二、 對應頂點、對應邊、對應角

1. 對應頂點、對應邊、對應角的定義

兩個全等三角形重合在一起，重合的頂點叫對應頂點，重合的邊叫對應邊，重合的角叫對應角.

在寫兩個三角形全等時，通常把對應頂點的字母寫在對應位置上，這樣容易找出對應邊和對應角. 如下圖，△ABC與△DEF全等，記作△ABC≌△DEF，其中點A和點D、點B和點E、點C和點F是對應頂點；AB和DE、BC和EF、AC和DF是對應邊；∠A和∠D、∠B和∠E、∠C和∠F是對應角.

2. 找對應邊、對應角的方法

（1） 全等三角形對應角所對的邊是對應邊，兩個對應角所夾的邊是對應邊；

（2） 全等三角形對應邊所對的角是對應角，兩條對應邊所夾的角是對應角；

（3） 有公共邊的，公共邊是對應邊；

（4） 有公共角的，公共角是對應角；

（5） 有對頂角的，對頂角一定是對應角；

（6） 兩個全等三角形中一對最長的邊（或最大的角）是對應邊（或角），一對最短的邊（或最小的角）是對應邊（或角），等等.

例2 如圖，△ABN≌△ACM，∠B和∠C是對應角，AB與AC是對應邊，寫出其他對應邊和對應角.

【答案與解析】 對應邊：AN與AM、BN與CM.

對應角：∠BAN與∠CAM、∠ANB與∠AMC.

【評注】 全等三角形對應角所對的邊是對應邊；全等三角形對應邊所對的角是對應角.

【變式】 如圖，△ABD≌△ACE，AB=AC，寫出圖中的對應邊和對應角.

【答案】 AB和AC是對應邊，AD和AE、BD和CE是對應邊，∠BAD和∠CAE是對應角，∠B和∠C，∠ADB和∠AEC是對應角. 在找對應邊和對應角時可以根據圖形進行，即最長邊與最長邊是對應邊，最短邊與最短邊是對應邊，最大角與最大角是對應角，最小角與最小角是對應角. 最關鍵是找出對應字母，按照字母來找對應線段和對應角. 這就要求我們平時在書寫時一定要注意規范，按照字母的對應方式書寫全等. 如△ABC≌△DEF與△ABC和△DEF全等是有區別的. 前者規定了A、D，B、E，C、F的對應，而后者就有好多種對應情況了.

三、 全等三角形的性質

全等三角形的對應邊相等；

全等三角形的對應角相等.

注意：全等三角形對應邊上的高相等，對應邊上的中線相等，周長相等，面積相等. 全等三角形的性質是今后研究其他全等圖形的重要工具.

例3 如圖△ABC≌△DEF，AB=8，BC=6，求DF的取值范圍.

【答案】 2

【解析】 由△ABC≌△DEF，得到對應邊相等. 即DE=AB=8，EF=BC=6.

根據△DEF三邊關系，2

【變式】 在此題目中，如果△ABC的面積為20，其他條件不變，那么△DEF的面積是多少？周長的范圍是什么？

【答案】 根據全等三角形面積、周長分別相等，△DEF的面積也為20. 又2

故16<△ABC的周長<28.

即16<△DEF的周長<28.

四、 全等三角形的條件

基本事實：

兩邊及其夾角分別相等的兩個三角形全等（SAS）.

兩角及其夾邊分別相等的兩個三角形全等（ASA）.

三邊分別相等的兩個三角形全等（SSS）.

推論：

兩角分別相等且其中一組等角的對邊相等的兩個三角形全等（AAS）.

定理：斜邊和一條直角邊分別相等的兩個直角三角形全等（HL）.

這5種判定方法中兩個三角形都具備3對元素（邊或角）分別相等的條件.

注意：（1）至少有一組邊；（2）沒有SSA的判定.

（作者單位：南師大第二附屬初級中學）

本章的主要內容是全等三角形，主要學習全等三角形的性質及各種三角形全等的判定方法. 如何利用全等三角形進行證明，掌握好相關概念是基本前提.

一、 全等形與全等三角形

形狀、大小相同的圖形放在一起能夠完全重合. 能夠完全重合的兩個圖形叫做全等形. 能夠完全重合的兩個三角形叫全等三角形.

注意：一個圖形經過平移、翻折、旋轉后，位置變化了，但形狀、大小都沒有改變，即平移、翻折、旋轉前后的圖形全等. 兩個全等形的周長相等，面積相等.

例1 下列每組中的兩個圖形，是全等圖形的為（ ）.

【答案】 A

【解析】 B、C、D選項中形狀相同，但大小不等.

【評注】 是不是全等形，既要看形狀是否相同，還要看大小是否相等.

【變式】 如圖，在5個條形方格圖中，圖中由實線圍成的圖形與①全等的有_____.

【答案】 ②、④

提示：找出與①形狀、大小相同的圖形.

二、 對應頂點、對應邊、對應角

1. 對應頂點、對應邊、對應角的定義

兩個全等三角形重合在一起，重合的頂點叫對應頂點，重合的邊叫對應邊，重合的角叫對應角.

在寫兩個三角形全等時，通常把對應頂點的字母寫在對應位置上，這樣容易找出對應邊和對應角. 如下圖，△ABC與△DEF全等，記作△ABC≌△DEF，其中點A和點D、點B和點E、點C和點F是對應頂點；AB和DE、BC和EF、AC和DF是對應邊；∠A和∠D、∠B和∠E、∠C和∠F是對應角.

2. 找對應邊、對應角的方法

（1） 全等三角形對應角所對的邊是對應邊，兩個對應角所夾的邊是對應邊；

（2） 全等三角形對應邊所對的角是對應角，兩條對應邊所夾的角是對應角；

（3） 有公共邊的，公共邊是對應邊；

（4） 有公共角的，公共角是對應角；

（5） 有對頂角的，對頂角一定是對應角；

（6） 兩個全等三角形中一對最長的邊（或最大的角）是對應邊（或角），一對最短的邊（或最小的角）是對應邊（或角），等等.

例2 如圖，△ABN≌△ACM，∠B和∠C是對應角，AB與AC是對應邊，寫出其他對應邊和對應角.

【答案與解析】 對應邊：AN與AM、BN與CM.

對應角：∠BAN與∠CAM、∠ANB與∠AMC.

【評注】 全等三角形對應角所對的邊是對應邊；全等三角形對應邊所對的角是對應角.

【變式】 如圖，△ABD≌△ACE，AB=AC，寫出圖中的對應邊和對應角.

【答案】 AB和AC是對應邊，AD和AE、BD和CE是對應邊，∠BAD和∠CAE是對應角，∠B和∠C，∠ADB和∠AEC是對應角. 在找對應邊和對應角時可以根據圖形進行，即最長邊與最長邊是對應邊，最短邊與最短邊是對應邊，最大角與最大角是對應角，最小角與最小角是對應角. 最關鍵是找出對應字母，按照字母來找對應線段和對應角. 這就要求我們平時在書寫時一定要注意規范，按照字母的對應方式書寫全等. 如△ABC≌△DEF與△ABC和△DEF全等是有區別的. 前者規定了A、D，B、E，C、F的對應，而后者就有好多種對應情況了.

三、 全等三角形的性質

全等三角形的對應邊相等；

全等三角形的對應角相等.

注意：全等三角形對應邊上的高相等，對應邊上的中線相等，周長相等，面積相等. 全等三角形的性質是今后研究其他全等圖形的重要工具.

例3 如圖△ABC≌△DEF，AB=8，BC=6，求DF的取值范圍.

【答案】 2

【解析】 由△ABC≌△DEF，得到對應邊相等. 即DE=AB=8，EF=BC=6.

根據△DEF三邊關系，2

【變式】 在此題目中，如果△ABC的面積為20，其他條件不變，那么△DEF的面積是多少？周長的范圍是什么？

【答案】 根據全等三角形面積、周長分別相等，△DEF的面積也為20. 又2

故16<△ABC的周長<28.

即16<△DEF的周長<28.

四、 全等三角形的條件

基本事實：

兩邊及其夾角分別相等的兩個三角形全等（SAS）.

兩角及其夾邊分別相等的兩個三角形全等（ASA）.

三邊分別相等的兩個三角形全等（SSS）.

推論：

兩角分別相等且其中一組等角的對邊相等的兩個三角形全等（AAS）.

定理：斜邊和一條直角邊分別相等的兩個直角三角形全等（HL）.

這5種判定方法中兩個三角形都具備3對元素（邊或角）分別相等的條件.

注意：（1）至少有一組邊；（2）沒有SSA的判定.

（作者單位：南師大第二附屬初級中學）