基于距離測(cè)量的機(jī)器人誤差標(biāo)定及參數(shù)選定

張 鐵 戴孝亮 杜 亮

(華南理工大學(xué) 機(jī)械與汽車(chē)工程學(xué)院，廣州510640)

由于加工制造和裝配，機(jī)器人的實(shí)際運(yùn)動(dòng)學(xué)偏離控制器中的名義運(yùn)動(dòng)學(xué)，導(dǎo)致機(jī)器人末端定位精度不足，通常需要建立運(yùn)動(dòng)學(xué)標(biāo)定模型，識(shí)別實(shí)際運(yùn)動(dòng)學(xué)參數(shù)以提高定位精度.機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)標(biāo)定方法包括軸線測(cè)量法[1]和誤差模型法[2].軸線測(cè)量法是由關(guān)節(jié)軸線特征辨識(shí)實(shí)際運(yùn)動(dòng)學(xué)參數(shù)[1];誤差模型則是建立了關(guān)節(jié)參數(shù)誤差同機(jī)器人末端誤差的線性解析關(guān)系.

對(duì)于誤差模型法，模型應(yīng)滿足完整性、連續(xù)性和最小化[3].模型中存在的冗余參數(shù)導(dǎo)致模型奇異，使模型不滿足連續(xù)性和最小化，降低了參數(shù)辨識(shí)的有效性.首先需要選用合適的運(yùn)動(dòng)學(xué)模型.DH模型是最常見(jiàn)的機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)形式，但描述平行關(guān)節(jié)時(shí)存在奇異.為消除DH模型的奇異，國(guó)內(nèi)外提出了很多運(yùn)動(dòng)學(xué)模型包括:修正DH模型[4－5]、MCPC(Modified Complete and Parametrically Continuous)模型[6]、指數(shù)積模型[7]等.

消除模型中冗余參數(shù)的方法包括解析法和數(shù)值法:①解析法從理論上分析參數(shù)的一般關(guān)系.文獻(xiàn)[8]驗(yàn)證了標(biāo)定模型的可辨識(shí)參數(shù)應(yīng)為4R+2P+6個(gè)，其中，R為旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)數(shù)，P為移動(dòng)關(guān)節(jié)數(shù).文獻(xiàn)[9]對(duì)每個(gè)關(guān)節(jié)設(shè)定6個(gè)參數(shù)，推導(dǎo)出連桿參數(shù)誤差之間的冗余關(guān)系式，指出測(cè)量位置而忽略姿態(tài)時(shí)的可辨識(shí)參數(shù)降為4R+2P+3個(gè)，當(dāng)末端關(guān)節(jié)的連桿長(zhǎng)度和連桿距離為零時(shí)，會(huì)進(jìn)一步減少參數(shù)可辨識(shí)的個(gè)數(shù).②數(shù)值法是在特定的模型和關(guān)節(jié)位形下，處理雅可比矩陣，有QR(Orthogonal－triangular decomposition)分解法[10]、奇異值分解后的正交陣進(jìn)行初等行變換的方法[11]等，來(lái)消除冗余參數(shù).

本文建立了關(guān)節(jié)連桿參數(shù)誤差同機(jī)器人末端距離平方差的誤差模型，分析了模型的冗余參數(shù)關(guān)系式及其物理解釋?zhuān)_定可辨識(shí)參數(shù)個(gè)數(shù)后獲得了參數(shù)完整的非奇異模型，迭代的最小二乘法用于辨識(shí)參數(shù).最后，使用激光跟蹤儀，對(duì)某公司的6R(旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié))工業(yè)機(jī)器人進(jìn)行了標(biāo)定實(shí)驗(yàn).

1 基于距離平方差的標(biāo)定模型

1.1 機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)

考慮到平行關(guān)節(jié)軸線的微小偏移引起連桿距離di的極大變化，采用修正DH模型[4]描述機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué).五參數(shù)的修正DH模型包括關(guān)節(jié)角度θi、連桿距離di、連桿長(zhǎng)度ai、繞X軸的扭角αi和繞Y軸的扭角βi，相鄰兩關(guān)節(jié)的齊次變換矩陣為

其中，i=0～N，N為機(jī)器人自由度;當(dāng)相鄰關(guān)節(jié)平行或近似平行時(shí)，di≡0;當(dāng)相鄰關(guān)節(jié)不平行時(shí)，βi≡0.

當(dāng)機(jī)器人末端法蘭盤(pán)上安裝末端執(zhí)行器，運(yùn)動(dòng)學(xué)上需增加工具坐標(biāo)系{T}，采用六參數(shù){tx，ty，tz，tα，tβ，tγ}描述末端關(guān)節(jié)坐標(biāo)系到{T}的變換:

其中tx，ty，tz，tα，tβ和tγ分別表示沿X，Y和Z軸的移動(dòng)量及繞各軸的旋轉(zhuǎn)量;Ttrans(tx，ty，tz)為沿X，Y，Z軸平移tx，ty，tz對(duì)應(yīng)的齊次變換矩陣;Trot(J，ζ)為繞J軸旋轉(zhuǎn)ζ角對(duì)應(yīng)的齊次變換矩陣(J=X，Y，Z;ζ=α，β，γ).

如圖1，對(duì)于N自由度的機(jī)器人，正運(yùn)動(dòng)學(xué)為

其中，R為位姿T的姿態(tài)矩陣;p為位姿T的位置向量;A0為機(jī)器人基坐標(biāo)系{B}相對(duì)世界坐標(biāo)系{W}的齊次變換矩陣，當(dāng)選取的{W}同{B}重合時(shí)，可以去掉A0.

當(dāng)僅取T的位置部分p，用簡(jiǎn)化形式表示為

其中，關(guān)節(jié)角度θ=(θ1，θ2，…，θN)T;關(guān)節(jié)參數(shù)向量η=(γ0，d0，a0，α0，…，γi，di，ai，αi，βi，…，tx，ty，tz，tα，tβ，tγ)T，γi為θi處于零位時(shí)的關(guān)節(jié)角度值;函數(shù)f為正運(yùn)動(dòng)學(xué)位置部分的簡(jiǎn)化形式.某軌跡第j個(gè)位形的位置向量表示為pj=(px，j，py，j，pz，j)T.

圖1 連桿坐標(biāo)系示意圖

1.2 標(biāo)定模型

式(4)兩邊對(duì)η取一階導(dǎo)，得到

其中，Δp為機(jī)器人末端位置誤差向量;Δη為關(guān)節(jié)參數(shù)誤差向量;B為相對(duì)基坐標(biāo)系的擴(kuò)展雅可比.

在任意坐標(biāo)系中，描述某軌跡第j個(gè)位形和第j+1個(gè)位形的末端之間距離為

上式兩邊對(duì)p取一階導(dǎo)，有

將式(5)代入式(7)，得到

式(8)中，Δη為待辨識(shí)的未知量，其余量均可計(jì)算得到.當(dāng)某次測(cè)量M個(gè)位形的位置，每相鄰兩點(diǎn)可以得到一個(gè)式(8)，共M－1個(gè)式子，當(dāng)M－1大于η參數(shù)的個(gè)數(shù)，聯(lián)立方程組，得到線性方程組:

其中

式(9)為辨識(shí)方程，反映了關(guān)節(jié)參數(shù)誤差到機(jī)器人末端距離平方差的誤差傳遞關(guān)系.求解式(9)的線性方程組，即可辨識(shí)關(guān)節(jié)參數(shù)誤差Δη.

2 參數(shù)辨識(shí)

2.1 冗余參數(shù)的消除

為使模型滿足完整非奇異，必須對(duì)Δη包含的參數(shù)進(jìn)行選取.如圖2，可以將Δη中的參數(shù)劃分為3類(lèi):①獨(dú)立參數(shù)，表現(xiàn)為對(duì)應(yīng)H矩陣的列與其他列不相關(guān);②相關(guān)參數(shù)，表現(xiàn)為對(duì)應(yīng)H矩陣的列成絕對(duì)的線性關(guān)系;③不起作用參數(shù)，即對(duì)末端誤差無(wú)影響，表現(xiàn)為對(duì)應(yīng)H矩陣的列全為零.

圖2 消除冗余參數(shù)示意圖

冗余參數(shù)包含了第3類(lèi)參數(shù)和第2類(lèi)的部分參數(shù)，消除這2類(lèi)冗余參數(shù)如下:①H矩陣的列全為零的情況，該項(xiàng)誤差對(duì)模型的建模誤差無(wú)影響，應(yīng)當(dāng)直接剔除.②H矩陣的列絕對(duì)線性相關(guān)的情況，設(shè)有I個(gè)參數(shù)，對(duì)應(yīng)的辨識(shí)方程的列有K個(gè)線性等式，剔除其中的K個(gè)參數(shù)，剩余的I－K個(gè)參數(shù)如果不再含有線性等式，剩余參數(shù)獨(dú)立，為可辨識(shí)參數(shù).

對(duì)于兩參數(shù)相關(guān)的特殊情況描述如下:假設(shè)某兩個(gè)參數(shù)Δηm和Δηn對(duì)應(yīng)辨識(shí)方程的列成比例Hm=λHn，其中λ為比例常數(shù).該二項(xiàng)誤差對(duì)機(jī)器人末端誤差聯(lián)合作用效果為HmΔηm+HnΔηn=λHnΔηm+HnΔηn=Hn(λΔηm+Δηn)，可以令Δη*n=λΔηm+Δηn.實(shí)際上，模型只能辨識(shí)參數(shù)Δη*n，而無(wú)法辨識(shí)單獨(dú)的參數(shù)Δηm或Δηn.將辨識(shí)得到的參數(shù)Δη*n賦給Δηn，而忽略Δηm.該做法等價(jià)于將Δηm和對(duì)應(yīng)的列Hm刪除.

2.2 距離平方差模型的可辨識(shí)參數(shù)

參照文獻(xiàn)[12]，Bd1和 Bγ1的求解如下式:

左乘S和右乘κ代表提取矩陣第4列的前3個(gè)數(shù).按照式(10)，使用字符運(yùn)算方法，總存在下式:

將上式代入式(8)，得到Δd1和Δγ1對(duì)應(yīng)Hj向量中的兩元素 Hj，d1和 Hj，γ1為 0 ，故總存在

式(13)顯示，Δd1和Δγ1對(duì)末端距離平方差沒(méi)有貢獻(xiàn)，為冗余參數(shù)，應(yīng)當(dāng)從標(biāo)定模型中剔除.如圖3，參數(shù)d1和γ1同基坐標(biāo)系的選取有關(guān).相對(duì)于位置測(cè)量模型，距離測(cè)量模型省去了測(cè)量坐標(biāo)系{C}到{B}的變換[13]，模型中不需要A0，Δd1和Δγ1.

圖3 基坐標(biāo)系的選定影響參數(shù)d1和γ1值

相鄰關(guān)節(jié)軸線平行時(shí)的情況如圖4所示.對(duì)于關(guān)節(jié)i和關(guān)節(jié)i+1平行時(shí)，同一結(jié)構(gòu)的連桿關(guān)節(jié)，di和di+1對(duì)連桿坐標(biāo)系的影響是一致的，兩參數(shù)相關(guān)，如式(14).其中一個(gè)參數(shù)多余，可剔除di，保留di+1.這就是文獻(xiàn)[4]中平行關(guān)節(jié)引入?yún)?shù)βi時(shí)，應(yīng)去掉di.

文獻(xiàn)[9]指出當(dāng)aN=0(運(yùn)動(dòng)學(xué)模型與本文有區(qū)別，等價(jià)于本文aN=tx=ty=0且αN=0情況)且末關(guān)節(jié)為旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)時(shí)，模型將減少2個(gè)可辨識(shí)參數(shù).故在設(shè)計(jì)末端執(zhí)行器時(shí)，測(cè)量點(diǎn)應(yīng)偏離末端關(guān)節(jié)軸線，否則將存在下式:

圖4 平行關(guān)節(jié)參數(shù)di和di+1的相關(guān)性

對(duì)于工具坐標(biāo)系參數(shù)，AT六參數(shù)和AN四參數(shù)相關(guān)，需剔除AN參數(shù).對(duì)于位置測(cè)量和距離測(cè)量模型，AT中只能辨識(shí)3個(gè)位置參數(shù)tx，ty和tz.按照式(13)～式(14)的冗余關(guān)系式，將冗余參數(shù)剔除，得到非奇異的模型，模型可辨識(shí)參數(shù)見(jiàn)表1.

表1 距離測(cè)量模型的可辨識(shí)參數(shù)

2.3 辨 識(shí)

采用迭代的最小二乘法[7]求解式(9)的線性方程組:

當(dāng)H的秩rank(H)等于Δη的參數(shù)個(gè)數(shù)時(shí)，HTH非奇異，是式(16)計(jì)算的前提.當(dāng)Δη＜ε時(shí)，停止迭代并輸出結(jié)果，其中，ε為一個(gè)很小的數(shù)，如10－5.用Δη＜ε作為終止條件，判斷辨識(shí)過(guò)程是否趨于穩(wěn)定.

3 測(cè)量與補(bǔ)償實(shí)驗(yàn)

使用激光跟蹤儀，應(yīng)用距離平方差的標(biāo)定模型，對(duì)某公司的6R工業(yè)機(jī)器人進(jìn)行標(biāo)定見(jiàn)圖5.

圖5 實(shí)驗(yàn)現(xiàn)場(chǎng)

所使用的激光跟蹤儀測(cè)量系統(tǒng)為德國(guó)萊卡公司的Leica AT901－B，對(duì)于2.5 m×5 m×10 m空間的測(cè)量精度為±10 μm+5 μm/m.該測(cè)量系統(tǒng)包括絕對(duì)跟蹤儀、控制器、安裝有Polyworks V11軟件的應(yīng)用計(jì)算機(jī)、反射球和球座.

末端執(zhí)行器安裝于機(jī)器人末端法蘭盤(pán)上，末端執(zhí)行器上的強(qiáng)磁鐵將球座吸引，反射球置于球座上，被球座上的強(qiáng)磁鐵吸引.在設(shè)計(jì)末端執(zhí)行器結(jié)構(gòu)時(shí)，反射球的球心點(diǎn)作為目標(biāo)測(cè)量點(diǎn)，應(yīng)偏離末關(guān)節(jié)軸線一定距離，以保證A5參數(shù)的可辨識(shí).

對(duì)于6R機(jī)器人，可辨識(shí)參數(shù)的個(gè)數(shù)應(yīng)為4R－3=21個(gè)，包括18個(gè)機(jī)器人本體參數(shù)和3個(gè)工具參數(shù).冗余參數(shù)包括:對(duì)末端誤差無(wú)貢獻(xiàn)，或者可將對(duì)末端貢獻(xiàn)的誤差轉(zhuǎn)移到可辨識(shí)參數(shù)上.故令模型中所有冗余參數(shù)值為零，包括γ1，d1，d2，γ6，d6，a6，α6，tα，tβ，tγ.如圖6所示.連桿坐標(biāo)系存在以下關(guān)系:①由于γ6，d6，a6和α6為零，當(dāng)θ6為零時(shí)，連桿5固連的坐標(biāo)系O5X5Y5Z5與連桿6固連的坐標(biāo)系O6X6Y6Z6絕對(duì)重合;②tα，tβ，tγ為零，坐標(biāo)系O6X6Y6Z6與工具坐標(biāo)系{T}平行.

圖6 末端坐標(biāo)系示意圖

工具參數(shù)的初值需要事先測(cè)定.①單獨(dú)旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)5而令其余關(guān)節(jié)處于零位，末端測(cè)量點(diǎn)形成一圓軌跡，根據(jù)圓軌跡獲得關(guān)節(jié)5的軸線;同理，獲得關(guān)節(jié)6的軸線.提取關(guān)節(jié)5和關(guān)節(jié)6的公垂線，以關(guān)節(jié)6軸線為Z5軸，公垂線為X5軸，關(guān)節(jié)6軸線與公垂線的交點(diǎn)為原點(diǎn)O5，建立坐標(biāo)系O5X5Y5Z5.②當(dāng)θ6為零時(shí)，O5X5Y5Z5與O6X6Y6Z6重合，此時(shí)以O(shè)5X5Y5Z5為參考坐標(biāo)系，將目標(biāo)測(cè)量點(diǎn)的三維坐標(biāo)作為(tx，ty，tz)的初值.該過(guò)程可以在軟件Polyworks中完成.

示教機(jī)器人位形，編制機(jī)器人運(yùn)動(dòng)程序:示教點(diǎn)盡量充滿整個(gè)工作空間，且末端反射球朝向激光跟蹤儀;保存示教數(shù)據(jù)后，編制機(jī)器人運(yùn)動(dòng)程序，機(jī)器人每運(yùn)動(dòng)到一個(gè)位形，機(jī)器人暫停3 s，激光跟蹤儀自動(dòng)觸發(fā)采集反射球中心的三維坐標(biāo)值;將位形的測(cè)量坐標(biāo)數(shù)據(jù)和控制器中示教關(guān)節(jié)數(shù)據(jù)分別通過(guò)USB接口輸出.

實(shí)驗(yàn)共采集了2批數(shù)據(jù):第1批包含70組位形的數(shù)據(jù)，用于辨識(shí)運(yùn)動(dòng)學(xué)參數(shù);第2批包含32組位形的數(shù)據(jù)，用于檢驗(yàn)新運(yùn)動(dòng)學(xué)參數(shù)對(duì)精度的改善.測(cè)量數(shù)據(jù)的空間位置分布如圖7所示.

圖7 測(cè)量點(diǎn)的空間位置分布圖

如圖8所示，由70組位形數(shù)據(jù)計(jì)算運(yùn)動(dòng)學(xué)參數(shù)，經(jīng)過(guò)1次迭代，32組檢驗(yàn)位形的距離誤差均方根由3.172 mm下降到0.220 mm，經(jīng)過(guò)第2～3次迭代，距離誤差有微量的減少，說(shuō)明:迭代已趨于穩(wěn)定，且實(shí)際模型的線性度很高.經(jīng)過(guò)3次迭代，辨識(shí)得到的新運(yùn)動(dòng)學(xué)參數(shù)如表2～表3所示，校正前后32組檢驗(yàn)點(diǎn)距離誤差對(duì)比如圖9所示，表4顯示檢驗(yàn)點(diǎn)距離誤差的均方根減少了93.1%，機(jī)器人的定位精度得到顯著提高.

圖8 檢驗(yàn)點(diǎn)距離誤差均方根隨迭代次數(shù)的變化

表2 工具參數(shù)標(biāo)定前后值 mm

表3 辨識(shí)得到的運(yùn)動(dòng)學(xué)參數(shù)

圖9 檢驗(yàn)點(diǎn)校正前后誤差對(duì)比圖

表4 檢驗(yàn)點(diǎn)距離誤差統(tǒng)計(jì)量 mm

4 結(jié)論

1)使用相對(duì)基坐標(biāo)系的雅可比矩陣，建立關(guān)節(jié)參數(shù)誤差到機(jī)器人末端距離平方差的標(biāo)定模型，為距離測(cè)量的一種形式，不需要測(cè)量坐標(biāo)系到機(jī)器人基坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換，簡(jiǎn)化了測(cè)量過(guò)程.

2)從冗余關(guān)系式和物理解釋的角度，分析了距離平方差模型的冗余參數(shù)，確定可辨識(shí)參數(shù)，獲得參數(shù)完整的非奇異模型，提高了辨識(shí)可靠性，為距離測(cè)量模型的參數(shù)選定提供了依據(jù).

3)實(shí)驗(yàn)中，為保證倒數(shù)第2關(guān)節(jié)參數(shù)的可辨識(shí)，設(shè)計(jì)末端執(zhí)行器時(shí)，測(cè)量點(diǎn)應(yīng)偏離末端關(guān)節(jié)的軸線一定距離.實(shí)驗(yàn)結(jié)果顯示機(jī)器人誤差減少了93.1%.

References)

[1]Santolaria J，Ginés M.Uncertainty estimation in robot kinematic calibration[J].Robotics and Computer－Integrated Manufacturing，2013，29(2):370－384

[2]Lightcap C，Hamner S，Schmitz T，et al.Improved positioning accuracy of the PA10－6CE robot with geometric and flexibility calibration[J].IEEE Transactions on Robotics，2008，24(2):452－456

[3]Schr?er K，Albright S L，Grethlein M.Complete，minimal and model－continuous kinematic models for robot calibration[J].Robotics and Computer－Integrated Manufacturing，1997，13(1):73－85

[4]Hayati S A.Robot arm geometric link parameter estimation[C]//Proceedings of the 22nd IEEE Conference on Decision and Control.Piscataway，NJ:IEEE，1983:1477－1483

[5]丁希侖，周樂(lè)來(lái)，周軍.機(jī)器人的空間位姿誤差分析方法[J].北京航空航天大學(xué)學(xué)報(bào)，2009，35(2):241－245

Ding Xilun，Zhou Lelai，Zhou Jun.Pose error analysis of robot in three dimension[J].Journal of Beijing University of Aeronautics and Astronautics，2009，35(2):241－245(in Chinese)

[6]陳鋼，賈慶軒，李彤，等.基于誤差模型的機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)參數(shù)標(biāo)定方法與實(shí)驗(yàn)[J].機(jī)器人，2012，34(6):680－688

Chen Gang，Jia Qingxuan，Li Tong，et al.Calibration method and experiments of robot kinematics parameters based on error model[J].Robot，2012，34(6):680－688(in Chinese)

[7]He R B，Zhao Y J，Yang S N，et al.Kinematic－parameter identification for serial－robot calibration based on POE formula[J].IEEE Transactions on Robotics，2010，26(3):411－423

[8]Everett L J，Suryohadiprojo A H.A study of kinematic models for forward calibration of manipulators[C]//Proceedings of the 1988 IEEE International Conference on Robotics and Automation.Piscataway，NJ:IEEE，1988，2:798－800

[9]Meggiolaro M A，Dubowsky S.An analytical method to eliminate the redundant parameters in robot calibration[C]//Proceedings of the 2000 IEEE International Conference on Robotics and Automation.Piscataway，NJ:IEEE，2000:3609－3615

[10]Khalil W，Besnard S，Lemoine P.Comparison study of the geometric parameter calibration methods[J].International Journal of Robotics and Automation，2000，15(2):56－67

[11]王品，廖啟征，莊育鋒，等.一般7R串聯(lián)機(jī)器人標(biāo)定的仿真與實(shí)驗(yàn)[J].機(jī)器人，2006，28(5):483－487，494

Wang Pin，Liao Qizheng，Zhuang Yufeng，et al.Simulation and experimentation for calibration of general 7R serial robots[J].Robot，2006，28(5):483－487，494(in Chinese)

[12]張鐵，戴孝亮.基于距離誤差的機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)標(biāo)定[J].華南理工大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版，2011，39(11):98－103

Zhang Tie，Dai Xiaoliang.Kinematic calibration of robot based on distance error[J].Journal of South China University of Technology:Natural Science Edition，2011，39(11):98－103(in Chinese)

[13]譚月勝，孫漢旭，賈慶軒，等.基于旋量理論及距離誤差的機(jī)械臂標(biāo)定新方法[J].北京航空航天大學(xué)學(xué)報(bào)，2006，32(9):1104－1108

Tan Yuesheng，Sun Hanxu，Jia Qingxuan，et al.New manipulator calibration method based on screw theory and distance error[J].Journal of Beijing University of Aeronautics and Astronautics，2006，32(9):1104－1108(in Chinese)