飛機結構MSD失效概率的敏感性分析

杜永恩 王生楠

(西北工業大學 航空學院，西安710072)

可靠性分析是結構分析的重要內容，是評估結構安全性能的主要手段.概率方法是進行可靠性分析最精確也是最常用的方法，對各隨機變量的聯合概率分布函數在安全(失效)域內進行積分即可得到結構的安全(失效)概率.各隨機變量對概率響應的影響不同，因此其在可靠性分析中的“重要性”也不同.通過概率敏感性分析，可以定量地分析各隨機變量對概率響應的影響，進而確定可靠性分析中最“關鍵”的因素，作為結構設計和維護的重要參考依據.2006年起，文獻[1－2]等開始了對概率敏感度的分析研究，定義了一種衡量失效概率對隨機變量的敏感度概念，并給出了計算方法.2010年文獻[3]通過概率敏感度分析對損傷容限分析的隨機參數進行了重要性分類，并將該方法應用于T-38機翼分析.

廣布疲勞損傷是影響老齡飛機結構完整性的重要因素.在同一元件上同時存在多條疲勞裂紋的情況稱為多部位損傷(MSD，Multiple Site Dam-age)，是導致廣布疲勞損傷的重要源之一.通常對MSD結構進行壽命分析是通過裂紋萌生的S-N曲線分別確定各部位的裂紋萌生壽命，然后通過裂紋擴展分析得到結構的全壽命[4－11].MSD結構初始裂紋萌生的位置不同會對結構在給定壽命下失效概率產生影響，通過分析失效概率對不同部位裂紋萌生壽命對數均值和應力的敏感性可以量化各部位結構可靠性的影響，從而確定對結構安全最關鍵的部位.關于MSD結構疲勞損傷的概率敏感性分析，國內尚未見相關文獻.本文通過定義核函數建立各應力集中位置裂紋萌生壽命對數均值和應力對失效概率的敏感性分析模型，采用Monte-Carlo模擬的方法計算概率敏感度.

1 概率敏感性

通常分析結構的失效概率是通過對各隨機變量的聯合概率密度函數在失效域進行積分得到:

式中，x為隨機變量向量;g(x，t)為斷裂準則確定的功能函數，g(x，t)≤0表示結構在使用時間為t時失效.定義函數:

則結構的失效概率為

文獻[1－2]通過結構失效概率對各隨機參數的偏微分定義無量綱的概率敏感性因子為

該因子的物理意義為單位隨機參數變化對應的失效概率的線性變化量.例如，隨機參數 μi增加1%，則失效概率的增加量為

若各隨機變量為獨立分布的，則聯合概率密度函數為

式中n為隨機變量個數.則對于隨機變量Xi所對應的參數θi，式(4)中的概率敏感性因子中的微分可通過下式計算:

式中κθi為一個核函數，定義如下:

該函數只與相應的隨機變量xi及其參數θi有關，可對各隨機變量分別獨立計算.

Monte-Carlo模擬是結構疲勞可靠性分析的一種常用概率方法，通過確定性算法得到每個抽樣的分析結果I(xj)(j=1，2，…，M)，則對某隨機變量xi的參數θi，其對失效概率的敏感性因子可通過下式得到:

式中M為Monte-Carlo模擬次數.該算法利用了概率分析的結果，只需在其上增加少許計算量即可得到失效概率對有關參數的概率敏感度.

2 MSD結構的概率敏感性分析

在MSD結構中，可能出現裂紋的位置定義為關鍵位置.設關鍵位置的個數為k個，每個關鍵位置的裂紋萌生壽命定義為該部位裂紋尺寸超過最小可檢裂紋尺寸aini時的使用時間.在位置i，恒幅載荷下裂紋萌生的壽命公式為

式中，Ni為恒幅載荷循環數;σi為對應位置的最大應力;m和Ci是該位置的材料常數.在裂紋萌生的概率模型中，Ci為隨機變量，其服從對數均值為μ，對數標準差為s的對數正態分布.

由式(10)可得

則各裂紋萌生壽命也服從對數正態分布，其概率密度函數為

其對數均值為ωi=μ－mlnσi，對數標準差為s.

在材料確定的情況下，關鍵部位的應力大小是決定裂紋萌生壽命的關鍵因素，通過分析結構失效概率對各關鍵部位裂紋萌生壽命的對數均值ωi和應力σi的敏感性，可量化各位置對結構可靠性的影響，從而確定對結構安全影響最大的位置，為結構設計和改進提供參考.對于參數和σi，式(8)中核函數分別為

函數圖像如圖1和圖2所示.

圖1 最大應力核函數

圖2 裂紋萌生壽命對數均值核函數

將式(13)代入式(9)中，即可得到失效概率對各部位萌生壽命對數均值和應力的敏感性，從而確定對可靠度影響最大的部位.

3 共線多孔板失效概率敏感性分析

采用以上提出的概率敏感性分析方法，選取飛機結構中易發生MSD的共線多孔板進行分析.算例的幾何構形如圖3所示，材料選用2027-T3鋁合金，其主要材料性能值列于表1.對模擬試件兩端施加σ=152.6 MPa的恒幅載荷，計算其在給定使用時間下的失效概率及其對可能出現裂紋位置初始應力和各裂紋萌生壽命對數均值的概率敏感度.

圖3 共線五孔結構幾何構形圖

表1 主要的材料參數

各孔水平方向的左右邊緣是可能出現裂紋的位置，將這些位置由左至右分別編號為1～10.通過有限元計算可得各位置最大應力和裂紋萌生壽命的對數均值為

通過Monte-Carlo模擬進行概率分析得到的在不同壽命下的結構失效累積概率如圖4所示.

圖4 累積失效概率

將Monte-Carlo模擬每次抽樣的Xi和模擬結果I(Xi)代入式(13)和式(9)即可得失效概率對各部位應力和裂紋萌生壽命對數均值的敏感度.經計算得到給定壽命N=1.55×105時失效概率對各部位應力和裂紋萌生壽命對數均值的敏感度如表2所示(由于板的對稱性，只選取部位1～5的數據進行分析)

表2 概率敏感度S

這表示當最大應力和裂紋萌生壽命的對數均值增加1%時，結構在N=1.55×105時失效概率提高S×0.01.由表2中可以看出失效概率隨著最大應力的增大而提高，隨著萌生壽命對數均值的增大而降低，這與實際情況是相符的.不同壽命下失效概率對各部位最大應力和裂紋萌生壽命對數均值的敏感度如圖5和圖6所示.

圖5 失效概率對最大應力的敏感度

圖6 失效概率對裂紋萌生壽命對數均值的敏感度

對比圖5～圖6中曲線可以看出失效概率對位置1(邊緣孔外端)的最大應力和裂紋萌生的對數均值敏感度明顯高于其他部位，而對其他各部位的敏感度大體相同，這說明該部位對結構的疲勞可靠度影響最大.在進行結構設計時，通過改善幾何構型降低該部位應力水平或提高該部位強度達到提高結構可靠度的最大效果.

4 結論

1)通過分析MSD結構失效概率對不同部位裂紋萌生壽命對數均值和應力的敏感性可以量化各部位結構可靠性的影響，從而確定影響結構安全的最關鍵部位.

2)本文的共線多孔板模擬結構顯示邊緣孔外端的應力和裂紋萌生壽命對數均值對結構失效概率影響最大，是影響結構安全的最關鍵部位.

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