模糊可靠性模型的收斂性及改進的截集分布

張 萌 陸 山

(西北工業大學 動力與能源學院，西安710072)

可靠性工程的研究對象是工程中的不確定性因素，這些不確定因素既包括隨機因素，又包括模糊因素[1－2].經典的可靠性模型僅僅考慮了隨機不確定性，因此稱為隨機可靠性模型.工程中的基本變量除了隨機性之外，往往還具有模糊性，因此稱為模糊隨機變量(簡稱為模糊變量).近年來，隨著人們在各領域中對模糊因素研究的深入，模糊可靠性理論與方法得以建立和發展[3－7].

模糊可靠性理論中，對模糊變量的處理，通常都是通過各種方法對變量進行去模糊化，將其轉化為隨機變量，再利用經典可靠性理論進行研究.目前，最常用的去模糊化方法是截集法，即通過在截集內引入隨機概率分布將模糊問題轉化為隨機問題.這種定義在截集上的概率分布稱為截集分布.顯然，截集分布的不同，將會導致可靠度分析結果的不同.因此引入合適的截集分布是十分重要的.基于此，本文通過理論證明分析了常用截集分布的缺點和不足，并提出了一種新的截集分布-修正的正態截尾分布.最后通過數值算例對理論分析結果進行驗證.

1 基于截集法的模糊可靠性模型

1.1 基于截集法的基本模糊可靠性模型

假設可靠性問題中有n個在實數域上相互獨立的基本變量x=(x1，x2，…，xn)，其中前m個變量xi(i=1，2，…，m)為實數域( －∞，+∞)上的隨機變量，其概率密度函數為fi(xi)(i=1，2，…，m);其余變量xj(j=m+1，m+2，…，n)為模糊變量，其隸屬函數為 μj(xj)(j=m+1，m+2，…，n)(0≤μj(xj)≤1).則基本可靠度模型的一般形式為

式中，IAR(x)為安全域示性函數，由失效準則確定;λ∈[0，1]為截集水平;[aj，λ，bj，λ]={xj:μj(xj)≥λ}(j=m+1，m+2，…，n)為模糊變量 xj的 λ 截集，即模糊變量經過去模糊化轉化為隨機變量后的定義域;fj，λ(xj)(j=m+1，m+2，…，n)為 xj的截集分布，即xj在該截集上的隨機概率密度函數.

由于隨機變量可以看作隸屬函數在實數域上恒等于1的特殊的模糊變量，即對xi(i=1，2，…，m)，其隸屬函數為μi(xi)≡1;xi∈(－∞，+∞)，因此可將式(1)中隨機變量部分表示成與模糊變量部分相同的形式.只是對隨機變量而言，對任意的 λ∈[0，1]，其截集[ai，λ，bi，λ]={xi:μi(xi)≥λ}恒為(－∞，+∞)，并取隨機變量的截集分布為其概率密度，即 fi，λ(xi)=fi(xi).因此，式(1)中Rλ有如下簡單表示:

可見，隨機變量的截集與截集分布都與λ無關，這是由于隨機變量不具有模糊性所致.

特別地，若模糊變量xj(j=m+1，m+2，…，n)隸屬函數μj(xj)均為常函數μj(xj)≡1;xj∈(－∞，+∞)，則xj退化為(－∞，+∞)上的隨機變量，不再具有模糊性.此時，由式(1)及式(2)可得

式(3)即為經典的隨機可靠性分析模型.

1.2 常見的模糊可靠性模型

基于截集法的基本模糊可靠度模型已被廣泛應用于可靠性工程問題中.目前，常見的模糊可靠性模型[8－14]主要為兩變量模型.根據安全域的不同，可分為2類.

第1類單側無限安全域模糊可靠性模型.

這類模型主要包括應力-強度模糊干涉可靠性模型[8－10]和疲勞壽命模糊可靠性模型[11]等，其安全域示性函數形如:

第2類雙側無限安全域模糊可靠性模型.

這類模型以結構抗共振的模糊可靠性模型[12－14]最為典型，其安全域示性函數為

其中c為失效域的寬度.

2 常用截集分布及其不足

截集分布對可靠性評估結果影響較大，因此截集分布的選取是十分重要的.目前常用的截集分布主要有 3種:均勻分布(UD，Uniform Distribution)[8－11]、線性分布(LD，Linear Distribution)[15]和截尾正態分布(TND，Truncated Normal Distribution)[10].其表達式如下，分布曲線如圖1所示.

1)均勻分布.

2)線性分布.

圖1 3種常用的截集分布Fig.1 Three commonly used cut-set distributions

3)截尾正態分布.

C為引入的截尾正態分布標準差系數.

截集分布是模糊變量去模糊化后轉化成的隨機變量的概率分布，應體現變量的隨機特性.均勻分布、線性分布和截尾正態分布在較短的截集內具有明顯的形狀(尤其是后兩種分布)，但當截集足夠長且趨于實數域時，線性分布(式(7))和截尾正態分布(式(8))的形狀逐步消失，并且逐步收斂于均勻分布(見圖2)，即認為變量在實數域(－∞，+∞)上的概率特性幾乎處處相等，這顯然與工程實際不符.下面將提出具體定理并給予證明.

圖2 常用截集分布隨截集的變化規律Fig.2 Variation of commonly used cut-set distributions with cut-set

定理1基于截集法的模糊可靠性模型的收斂性定理.基于截集法的兩變量模糊可靠性模型，若以均勻分布、線性分布或截尾正態分布為截集分布，則當模糊變量的λ截集收斂于實數域時，相應的截集可靠度將收斂于某一固定常數，該常數為失效準則所確定的安全域測度與全域測度的比值，只與失效準則的形式有關，而與具體結構無關.

證明當模糊變量的λ截集收斂于實數域時，線性分布和截尾正態分布逼近于均勻分布，因此只需以均勻分布作為截集分布進行證明即可.

不妨假設x1為模糊變量.若截集分布為均勻分布，由式(2)和式(6)可得

其中，P(·) 表示測度;R0，x2取決于安全域函數、x2取值以及 x1取值區間[a1，λ，b1，λ].對任意的 x'2和，有

其中r為有界常數[16].從而當[a1，λ，b1，λ]→(－∞，+∞)時，R0，x2'和R0，x2″將趨于同一數值，不再與x2有關，即

而p只取決于安全域ΘR和全域Θ，因此只跟失效準則的形式有關，與基本變量(即具體結構)無關.

推論1第1類模型收斂性定理.當模糊變量逐漸收斂于實數域上的隨機變量時，以均勻分布、線性分布或截尾正態分布為截集分布的第1類模型，其可靠度評估值收斂于0.5，與具體結構無關.

證明模糊變量逐漸收斂于實數域上的隨機變量，即其隸屬函數收斂于實數域上的常函數μj(xj)≡1;xj∈(－∞，+∞).此時，對任意的截集水平 λ，都有[aj，λ，bj，λ]→(－∞，+ ∞).對單側無限安全域的模糊可靠性問題，由上述收斂性定理可知，對任意的1/2，因此 Rλ→1/2，進而

對推論1進行驗證.工程中，模糊變量xj(j=m+1，m+2，…，n)的隸屬函數常取對稱型，則截集[aj，λ，bj，λ]的中點 Tj=(aj，λ+bj，λ)/2 為常數.不妨設x1為模糊變量.對第1類模糊模型，當x1的 λ 截集[a1，λ，b1，λ]→(－∞，+ ∞ )時，由式(2)、式(4)、式(6)得

推論2第2類模型收斂性定理.當模糊變量退化為實數域上的隨機變量時，以均勻分布、線性分布或截尾正態分布為截集分布的第2類模型，其可靠度評估值必收斂于1，與具體結構無關.

證明模糊變量逐漸收斂于實數域上的隨機變量時，對任意的 λ，都有[aj，λ，bj，λ]→( －∞，+∞).對雙側無限安全域的模糊可靠性問題，由收斂性定理得

因此 Rλ→1，進而

對推論2進行驗證.不妨設x1為模糊變量.對第2 類模糊模型，當 x1的 λ 截集[a1，λ，b1，λ]→(－∞，+∞)，由式(2)、式(5)、式(6)得

由上述定理可知，若采用均勻分布、線性分布和截尾正態分布作為截集分布，當模糊變量的λ截集收斂于實數域時，模糊模型的可靠度分析結果將收斂于某一固定值，且該數值與具體結構無關.這使得模糊可靠性模型在截集較長時是不準確甚至是不適用的.特別當模糊變量逐步退化為實數域上的隨機變量時，任意閾值λ所對應的截集都足夠長，可靠度將收斂于上述固定值;而由2.1節分析及式(3)可知，此時模糊可靠度分析結果應收斂于經典的隨機可靠性分析結果.可見，常用的截集分布使模型在截集趨于實數域時不具有良好的收斂性.因此，本文提出一種新的截集分布.

3 新的截集分布的提出

截集分布應該體現變量的隨機特性.工程中隨機變量的概率分布，以正態分布最為常用.當這些變量額外具有模糊性時，其隨機性仍然保持與正態分布基本一致的特性，因此截集分布選取截尾型正態分布是合適的.由于[aj，λ，bj，λ]?(－ ∞，+ ∞)，故而同一變量在[aj，λ，bj，λ]上的隨機分散性不應大于其在(－∞，+∞)上的分散性.因此，本文對式(8)所示截尾正態型截集分布進行如下修正(后文中稱修正截尾正態分布)，作為新的截集分布:

式中σj可由專家經驗給出，一般情況下，σj多取隨機可靠性評估中變量xj的標準差.易知，當模糊變量的截集[aj，λ，bj，λ]→(－ ∞ ，+ ∞ )時，修正的截尾正態分布 fj，λ(xj)→N(μj，σj)，這與隨機模型中變量 xj的分布一致.如圖3所示，當截集為時，修正截尾正態分布與N(μj，σj)幾乎完全重合.因而，模糊可靠性模型收斂于常用分布下的隨機可靠性模型.

圖3 修正截尾正態分布隨截集的變化規律Fig.3 Variation of modified truncated normal distribution with cut-set

4 數值算例

分別采用文獻[9，11，14]中算例，對結構的可靠性進行模糊評估.

例1(文獻[9]) 某結構應力(MPa)為隨機變量，服從正態分布 N(75.758，2.29).強度(MPa)為對稱正態型模糊變量(m，β)，其中m=80，β=3.333.表1給出了不同截集分布下該結構的模糊可靠度評估結果.表2給出了β→+∞(即截集收斂于實數域)時，該結構應力-強度干涉模糊可靠度的變化規律.

例2(文獻[11]) 如圖4所示的變截面拉桿，其載荷歷程如圖5所示.各參數可參見文獻[11].經計算可知該結構在當前載荷譜下的疲勞壽命為隨機變量，服從均值為15.445，標準差為0.532的對數正態分布.設計壽命為模糊變量，其隸屬函數為對稱三角分布(m，α)，其中m=1.5×106，α =0.15 ×106.

表3給出了不同截集分布下該變截面拉桿的模糊可靠度評估結果.表4給出了結構疲勞壽命模糊可靠度隨α→+∞(截集收斂于實數域)的變化規律.

例3(文獻[14]) 某壓氣機工作葉片的一階扭轉自振頻率和激振頻率為模糊變量，其隸屬函數分別為對稱三角分布(mn，αn)=(2976.47，733.95)和(me，αe)=(2031.8，851.3).

表5給出了不同截集分布下該壓氣機葉片抗一階扭轉共振的模糊可靠度.表6給出了抗共振模糊可靠度隨αe→+∞且αn→+∞(即截集收斂于實數域)的變化規律.

圖4 某變截面拉桿Fig.4 Variable cross-section rod

圖5 載荷歷程Fig.5 Load history

表1 不同截集分布下的例1可靠度評估結果Table 1 Reliability assessments with different cut-set distributions in example 1

表2 例1中可靠度評估值隨參數β的變化規律Table 2 Variation of reliability assessments with parameter β in example 1

表3 不同截集分布下的例2可靠度評估結果Table 3 Reliability assessments with different cut-set distributions in example 2

表4 例2中可靠度評估值隨參數α的變化規律Table 4 Variation of reliability assessments with parameter α in example 2

表5 不同截集分布下的例3可靠度評估結果Table 5 Reliability assessments with different cut-set distributions in example 3

表6 例3中可靠度評估值隨參數αe和αn的變化規律Table 6 Variation of reliability assessments with parameters αeand αnin example 3

表1、表3和表5說明:采用不同截集分布所得可靠度評估值有所不同.其中，以均勻分布作為截集分布的可靠度評估值最小.以截尾正態分布和修正的截尾正態分布作為截集分布時，可靠度評估值隨標準差系數C的增大而增大.

由表2、表4和表6可以看出:當采用常用的均勻分布、線性分布和截尾正態分布作為截集分布時，例1和例2的模糊可靠度評估值均收斂于固定值0.5，例3的模糊可靠度評估值收斂于固定值1.也就是說，當模糊變量逐漸退化為隨機變量時，以均勻分布、線性分布和截尾正態分布為截集分布的可靠度評估值收斂于與實際問題無關的某一固定值，這與常規隨機可靠性理論矛盾，也與2.2節的理論分析結果一致.而采用本文提出的修正截尾正態分布時，例1的可靠度評估值收斂于0.9016，例2的可靠度評估值收斂于0.9892，即經典隨機可靠性評估結果;例3的可靠度評估值收斂于0.9876，該數值即為文獻[12]中一階扭轉頻率和激振頻率均為正態隨機變量時的可靠度評估結果.

由此可見，相較于之前常用的3種截集分布，采用修正截尾正態分布作為截集分布，可以使模型在模糊變量收斂于隨機變量時，其評估值收斂于隨機模型的評估值，具有良好的收斂性.因此采用修正截尾正態分布作為截集分布的模糊可靠性模型適用范圍更廣泛，更具一般性和普遍性.

5 結論

數值算例結果驗證了所提的定理及推論，當模糊變量退化為隨機變量時，①以均勻分布、線性分布和截尾正態分布作為截集分布:任何第1類模糊可靠性模型，其可靠度評估值都收斂于0.5;任何第2類模糊可靠性模型，其可靠度評估值都收斂于1.該結果與具體的問題和結構無關，顯然是不合理的.②以本文提出的修正的截尾正態分布作為截集分布的模糊可靠性模型，其評估結果收斂于經典的隨機可靠度評估結果，實現了模糊變量退化為隨機變量時，模糊評估結果到隨機評估結果的同步退化.

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