基于GM(1，1)與灰區間估計的SPE通量水平長期預測

王中宇 李 強 燕 虎 王 倩

(北京航空航天大學 精密光機電一體化技術教育部重點實驗室，北京100191)

太陽質子事件(SPE，Solar Proton Events)是日地空間爆發的一種強烈太陽活動[1－5]，其每次爆發都會產生大量的高能質子，這些高能質子會引起在軌運行空間站所在區域空間環境變化，影響空間站的通信、導航、電力以及空間試驗等諸多領域，有時甚至引發在軌空間站關鍵部位控制功能的崩潰，造成巨大的經濟損失[4，6－8];強烈的高能質子對宇航員的危害也不容小覷，短暫數分鐘的高能質子輻射便會導致宇航員致盲，嚴重時甚至危及生命安全[1，3，7－9].預測太陽質子事件通量水平在長時間范圍內的變化，便可以提前預知即將在軌運行空間站全壽命周期的空間環境狀況，為空間站的防輻射及安全保護設計提供科學依據[4，7，9].

目前將通量大于10 MeV的粒子在連續15 min時間以內的數目超過10 cm2·s·sr的空間現象稱為一個太陽質子事件.目前對于太陽質子事件的預測分為短期預測和中長期預測[1，3－4，7].短期預測一般提前1～10 d;中期預測提前半個或1個太陽自轉周至幾個月;長期預測提前1年或幾年.預測類型的不同采用的方法有巨大差別，中、短期主要是依據預測因子數據來間接預測質子事件發生概率[2，5，8]，目前中、短期預測的研究相對較成熟;而長期預測主要是采用統計方法處理質子事件數據，進行定性預測(有、無預測)[4]，對其具體參數如對其通量水平預測較少.通量水平預測目前有3個類型:King模型、JPL模型和ESP 模型[4，6].King于 1978 年開發了第 1 個基于經驗統計的太陽質子通量King模型[10]，鑒于極端SPE對總體樣本的影響，King在進行通量數據統計處理時將其分離出來.JPL模型是用來預測太陽質子通量的標準模型，并且是目前最常用的計劃航天任務模型[11－12]，該模型建立在理想假設的基礎上:①除極端SPE外，SPE的通量服從對數正態分布;②不同太陽活躍年份質子事件的爆發頻率是一致的.對于這兩種假設目前爭論較大.ESP模型是由NASA戈達得空間飛行中心(GSFC)開發的一種用于預測太陽質子通量和最壞情況下太陽質子事件模型，主要特點是將一般SPE通量的分布定義為一個截斷的冪律形式[13－15]，忽視作為小概率的極端SPE.由于沒有考慮極端質子事件的影響，以及SPE少數據的特性局限，以上3種模型所得預測結果都存在較大誤差.

目前仍主要是從處理方法上著手來提高SPE通量水平預測精度，但是將極端SPE剔除的處理方式不合理;將極端SPE通量數據當作異常值予以剔除，不僅會減少有用的信息，而且造成預測精度偏高的假象.對已有SPE數據進行合理判斷和區分，將極端質子事件與一般事件分開預測然后疊加合成最終結果，是獲得較好預測結果的一個重要途徑.

目前為止，人們對于SPE起因、質子加速、能量產生和傳播機制等問題仍然沒有定論;而且現有的SPE數據少，有資料記載的、可信的質子事件數據僅有253組，可以說SPE通量水平預測是一個典型的乏信息問題，很難用經典的統計學方法解決，而灰色系統理論在處理這類問題時顯示出一定的優越性[16－17].本文綜合灰色系統理論的GM(1，1)(Grey Model(1，1))與灰區間估計的知識，綜合考慮一般SPE通量水平和極端SPE通量水平變化規律，提出一種實現乏信息條件下SPE通量水平的長期預測方法.

1 太陽質子事件長期預測

1.1 SPE通量灰色預測原理

GM(1，1)模型和灰區間估計是灰色系統理論的重要組成部分[16]，該方法不同于經典統計理論——不要求大樣本量，允許概率分布未知，因此它更適合于解決少數據、貧信息和不確定系統的建模問題[16－17];而少數據、貧信息正是 SPE 通量預測問題的典型特征.

SPE通量水平的灰色預測原理是:首先對已發生的SPE通量數據進行甄別，識別出一般SPE和極端SPE，對一般SPE通量數據進行年均值化處理、對極端SPE通量數據進行對數化處理.然后分別建立以時間為序的一般SPE通量年均值序列和極端SPE通量對數化序列;以模型接續法分別對兩個序列進行處理，生成各自動態模型序列，對各自序列進行一次累加生成、緊鄰均值生成，得到灰微分方程，解方程得到系數估計值.最后對各個序列所得到的方程系數進行比較，得到最大、最小系數，依據所得系數建立上界、下界預測函數;極端SPE由上下界函數得到預測區間邊界值;一般SPE，需結合SPE調節系數，生成一般SPE分量預測區間;將一般SPE分量預測區間與極端SPE分量預測區間疊加合成，生成最終預測結果.SPE通量水平灰色預測的詳細原理如圖1所示.

圖1 SPE通量水平灰色預測原理Fig.1 Grey prediction principle of SPE’s flux levels

1.2 SPE通量灰色預測的具體實現

依據SPE類型的不同，將已發生的SPE通量水平數據進行年均值化或對數化預處理;對于沒有極端SPE的年份，其對數化后的結果按0處理;然后依據預處理后的通量數據建立一個以發生年份為序通量序列為

對式(1)所得序列進行模型接續合成，該方法首先將SPE通量原始數據序列按照時刻劃分成時刻子序列，并分別建立相應的時刻模型.時刻模型的第1位數據與原始序列的第1位數據相同，則將原始序列的第1位數據與其他各個時刻模型的第2位數據依次連接構成合成序列，合成序列如式(2)，所得結果如圖2所示.

式中k為合成序列中數據的序號.

下面以X數列為例進行講述.對X數列進行一次累加生成，得到一個非負遞增序列x(1):

圖2 SPE通量原始數據序列的模型接續合成Fig.2 Modeling approach of primitive flux sequence of SPE

式中

至此利用得到的原始序列值和緊鄰均值生成序列值構建SPE通量的灰色微分方程為

式中，a為發展系數;b為灰作用量，統稱為辨識參數.

將式(5)所示的灰色微分方程用矩陣形式表示為

式中

式(6)為n－1維二元超定方程組，其中Y和φ為已知量，θ為系統的辨識參數.

求解式(6)超定方程組，可得θ的最小二乘估計值:

依照X數列處理方法，分別計算數列X0，X1，X2，…，Xt所建立灰色微分方程系數估計值.

設序列x(1)的上界與下界函數分別為fs(n+t)和fu(n+t)，其表達式可分別表示為式(11)與式(12).以上界函數為例，則有n時刻的時間響應上界序列為(設σmax=at)

類似可以得到預測區間的下界為

對于極端SPE，其預測間即為

一般SPE的預測區間則需要進行活躍性處理.

一般SPE由于存在一個10～11的交替活動的周期性變化;通常認為太陽活躍年持續7 a，并且活躍極大年的前2.5 a到后4.5 a，并依此作為判斷 SPE 趨勢的重要指標[2，4－7，10];另外在活躍性不同年份，SPE的通量分布具有顯著彌散性.為了反映這些特性，本文提出一種刻畫這類特性對活躍年份趨勢變化影響的指標——SPE活躍性調節系數l，如式(13)所示，活躍極大年l=1.

基于一般SPE的上界值(式(11))與下界值(式(12))，結合相應的活躍性調節系數，即可得到一般SPE通量預測區間:

最后將一般SPE通量預測區間與極端SPE通量預測區間進行疊加合成，即得到預測年份通量水平.

表1 不同通量水平所對應的sTable1 The s corresponding to different flux levels

2 預測分析

2.1 SPE通量數據分析

為驗證所提出SPE質子通量預測方法的有效性，選取1976—2012年發生的有記錄的253次SPE數據，并將SPE數據以發生時間為序進行排列，圖3為選用的SPE通量數據;從圖3可以看出，多數SPE 的通量水平介于[10，500]MeV，稱其為一般SPE，該類SPE占據已發生SPE數目的80%以上，少量介于[500，45 000]MeV，稱其為極端SPE，該類SPE數量不足50個，從圖3可以發現，極端SPE年際分布極為不均，具有集中爆發效應.

SPE的分布不均性也體現在發生數量上，圖4為已發生質子事件數按發生時間的分布圖，從圖4可看出，除極端SPE，SPE事件爆發數量具有規律性變化趨勢，呈現出一個大約11a的周期性;本文通過設置SPE活躍性調節系數反映這一特性對一般SPE的影響.

另外從圖4還可以看出，極端SPE主要集中在[1978，1982]，[1989，1994]和[1998，2006]3個年份段，該時間段占據了極端SPE數目的94%，這種數量極少、能量極大的極端SPE具有很強的群聚性，普遍認為它已經突破了一般SPE運行規律;由于已知極端SPE樣本小、信息少、單個事件的通量極大，為了減小極端SPE對預測的影響，JPL與King模型選擇的處理方式是將這類極端SPE數據剔除，這種處理方式會減少有用的信息，做法具有不合理性.已發生極端SPE與一般SPE數據作為該類事件的表征，缺一不可;本文將一般SPE與極端SPE分離分開處理，分別預測各自通量分量，通過疊加合成方式生成最終結果，完整還原兩類SPE因素對通量水平變化的作用.

圖3 1976—2013年5月發生的所有SPE數據Fig.3 Flux levels of SPE occurred from 1976 to May 2013

圖4 SPE的年份分布Fig.4 The total of SPE occurred in every year

2.2 通量水平預測合成中的一般SPE分量

圖5為分離后的一般SPE樣本數據，濾除極端SPE后，1976—2013年有SPE事件發生的年份為31個;對同一年份的SPE通量數據進行均值化處理，得到一個年SPE事件通量均值化數列，其值變化如圖6所示.從圖6可以發現，一般性的SPE在3～4 a內呈現出相同變化趨勢，并且在變化趨勢發生改變時，其通量波動幅度較小，一般小于30 MeV，這些特征都是極端SPE不具備的.

下面以一般 SPE通量預測為例，結合以1976—2010年數據，對預測過程進行詳細講解，分別對2011年和2012年的SPE通量水平進行預測.X為剔除極端SPE數據后所得年均SPE通量所組成的原始數據序列，X0，X1，X2，X3和 X4為基于X所組成的合成序列.

圖5 一般SPE通量水平Fig.5 Flux levels of normal SPE

圖6 SPE年通量的均值化Fig.6 Mean value of SPE’s flux levels in a year

對 X，X0，X1，X2，X3和 X46 個序列分別進行一次累加生成，得到遞增數列，然后分別建立白化方程(即GM(1，1)模型):

估計參數得

又因為

故發展帶上界序列響應公式為

由于上式是由X4序列得到，由此可得2011年與2012年最高預測值為

同理可求得發展帶下界序列時間響應公式:

上式由數列 X1得到，由此可得2011年與2012年最低預測值為

根據太陽活躍周期律，可以得出2011年處在活躍年份，活躍性處于急劇變化狀況，而2012年已經進入活躍極大年，活躍性達到峰值.依據式(14)并根據計算的初步通量值，從表1中選取相應的 s，計算2011年預測區間的 SPE活躍性系數:

依據SPE活躍性指標，2012年為活動極大年，因此SPE活躍性系數為:lu2012=ls2012=1.

根據式(14)可得2011年SPE通量水平預測區間為:[47.074，56.396]，2012 年為:[90.976，113.794].為了進一步驗證方法的可靠性，同理，運用1976—2010年間數據，分為5個批次，預測已發生年份SPE通量水平，預測年限為未來2～3 a不等，所得結果如圖7所示.

圖7 一般SPE多年多次預測結果Fig.7 Predictions of normal SPE’s flux levels for many batches in many years

圖7中標注批次1為運用1976—1995年間SPE數據預測1996—1998年SPE通量水平情況;批次2為運用1979—1998年間 SPE數據預測1999—2001年SPE通量水平情況;批次3為運用1981—2000年間 SPE數據預測 2002—2004年SPE通量水平情況;批次4為運用1985—2004年間SPE數據預測2005年和2010年SPE通量水平情況;批次5為運用1986—2010年間SPE數據預測2011年和2012年SPE通量水平情況.從圖7中可以發現，單批次的預測區間隨預測年限增長而變大.

2.3 通量水平預測合成中的極端SPE分量

圖8為1976—2012年間發生的極端SPE通量數據，從圖8可以看出極端SPE其通量水平介于[500，45000]MeV 之間，SPE 通量相差大，最大通量差異可達10倍以上.

圖8 極端SPE通量水平Fig.8 Flux levels of extreme SPE

為了弱化巨大差異的影響，使用對數方式對極端SPE通量數據進行預處理，然后計算各年的通量均值;對于沒有極端SPE發生的年份，設定其預處理后結果為0.圖9為極端SPE通量水平對數化年均值化后的結果，從圖中可以看出，經過對數化年均值化處理后，非零通量值介于[2.8，4]MeV之間，預處理后極端SPE通量數據變化趨于平緩，這對預測是極為有利的.

圖9 極端SPE通量水平對數化年均值化結果Fig.9 Logarithmic and average flux levels of extreme SPE in every year

結合圖9所示數據，分為5個批次，分別運用圖9中1976—1995年間極端 SPE數據預測1996—1998年極端SPE通量水平情況(即圖10中批次1);運用圖9中1979—1998年間極端SPE數據預測1999—2001年極端SPE通量水平情況(即圖10中批次2);運用圖9中1981—2000年間極端SPE數據預測2002年和2003年極端SPE通量水平情況(即圖10中批次3);運用圖9中1985—2004年間極端SPE數據預測2004年和2005年極端SPE通量水平情況(即圖10中批次4);運用圖9中1986—2009年間極端SPE數據預測2010—2012年極端SPE通量水平情況(即圖10中批次5).

圖10為極端SPE通量數據經過灰色GM(1，1)與灰色區間估計處理后所得多年多批次預測結果，圖中所得通量結果是經過對數還原的;從圖10可以看出，2000年、2001年、2003年、2005年和2012年的SPE通量值較大，說明極端SPE主導著這些年份的通量變化;從圖10還可以看出，對于沒有極端SPE發生的年份，經過處理后所得通量值極小.

2.4 預測結果的合成

圖11為一般SPE與極端SPE所得結果的疊加合成，可以看出，1996—2012各年實際通量均值水平均位于合成區間內，說明本文所提出的方法是正確的，將一般SPE與極端SPE分開處理結果疊加合成的處理策略是合理的.

圖10 極端SPE多年多批次預測結果Fig.10 Predictions of extreme SPE’s flux levels for many batches in many years

圖11 疊加合成的預測結果Fig.11 Composed predictions of flux levels of extreme SPE and normal SPE

將一般SPE所得結果稱為一般SPE結果分量，極端SPE所得結果稱為極端SPE結果分量，將圖7(一般SPE所得結果)、圖10(極端SPE所得結果)及圖11(疊加合成結果)對比后發現，對于沒有極端SPE發生年份，一般SPE結果分量對其最終的結果合成起主導作用(如圖11的1996年、1997年、1999年和2004年等)，而對于有一定數目極端SPE發生且通量水平較大年份，極端SPE結果分量主導著該年份的通量變化(如圖11的2000年、2001年和2003年等).這里的結果也說明部分SPE通量預測模型(如JPL與King模型)將極端SPE數據剔除的做法是不合理的.

通過分析圖11所得各年的通量預測區間，發現1996—1999年、2002年、2004年、2010—2012年的預測區間最大偏差小于27.43%，且這些年份實際發生的SPE有一個特征——通量水平較低;2000年、2001年、2003年、2005年和2012年預測年限內的預測區間最大偏差小于20.35%，通過查看圖4數據可以發現，2000年、2001年、2003年、2005年和2012年這幾個年份均有一定數目的極端SPE發生.

上述結果表明，在極端SPE發生年份，由于通量水平較大，如果預測算法穩定，反而可以取得較好的預測精度.

另外通過分析圖11中各年預測偏差發現，一般SPE通量預測與極端SPE通量預測合成的預測結果隨著各自預測年限的增長，包含實際值的預測區間有增大趨勢(即偏差增大);如一般SPE通量預測與極端SPE通量預測的批次1均預測了1996—1998年3 a內的SPE通量水平情況，經計算，1996年合成結果的實際偏差為19.67%，1997年合成結果的實際偏差為22.36%，1998年合成結果的實際偏差為25.87%;一般SPE通量預測與極端SPE通量預測的批次2均預測了1999—2001年3 a內的SPE通量水平情況，經計算，1999年合成結果的實際偏差為16.51%，2000年合成結果的實際偏差為18.13%，2001年合成結果的實際偏差為20.35%.因此，綜合考慮偏差和預測年限因素，一般SPE通量預測與極端SPE通量預測的單次預測時長以2～3 a為宜.另外，單從偏差數據上看，本文所提預測方法所得精度不高，但相比較目前著名的King模型和JPL模型而言，它們僅是對SPE通量水平出現在一個量級上的預測，所得結果變化范圍大，而本文所提出的方法能將預測年份的通量值縮小到一個狹小區間，這顯然更有價值和意義.

3 結論

鑒于SPE產生的機理和特點，本文在灰色GM(1，1)模型與灰區間估計的基礎上，將SPE通量水平預測問題分解為一般SPE通量預測與極端SPE通量預測，結合反映一般SPE彌散特性的活躍性調節系數，提出了一種SPE通量水平灰色預測新方法并建立了模型.

1)文中運用了1976—2012年間發生的質子事件數據，分多批次預測1996—1998和1999—2001等年間SPE通量均值區間，結果表明各年實際發生SPE的通量均值均位于預測區間內，并且多年預測區間偏差最大值小于26%;另外實驗結果還表明單次預測時長以2～3年為宜.

2)將SPE通量水平預測問題分解為一般SPE通量預測與極端SPE通量預測，之后疊加一般SPE結果分量與極端SPE結果分量合成所預測年份的SPE通量水平，該方法完整地利用了已有SPE通量數據信息，克服了SPE基于大樣本統計預測方法的局限性和少數據的約束，預測效果較好.

3)本文所提的建模方法所需SPE通量樣本量少，對通量數據的分布狀況無要求;模型采用了灰色新陳代謝的思想，建立通量隨時間變化模型序列代替單一模型，使模型具有動態性，可以很好表征SPE通量水平周期性變化中的隨機動態性.

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