壓電陶瓷定位系統電容傳感器容錯控制

郭嘉亮+李朋志+李佩玥

摘 要： 針對壓電陶瓷定位系統中電容傳感器故障對定位精度的影響，對使用擴展卡爾曼濾波（EKF）進行容錯控制的方法進行了研究。以傳感器采樣電路故障和掉電故障為對象，對三階軌跡規劃算法下電容傳感器的EKF濾波公式進行了分析，提出以離散化迭代計算的EKF代替傳統的將非線性系統線性化的方法。在壓電陶瓷定位系統實驗平臺上，使用激光干涉儀作為測量基準，在傳感器采樣電路故障和掉電故障的情況下，實現了500 μm行程，絕對精度小于3.5 μm，誤差小于0.7%的定位控制。結果表明，基于EKF的電容傳感器容錯控制可以有效減小傳感器故障引起的控制誤差，增加壓電陶瓷定位系統的魯棒性。

關鍵詞： 壓電陶瓷； 電容傳感器； 擴展卡爾曼濾波（EKF）； 容錯控制

中圖分類號： TN820.3?34 ；TP273+.5 文獻標識碼： A 文章編號： 1004?373X（2014）21?0152?04

Fault tolerance control of capacitance transducer in

piezoelectric ceramic positioning system

GUO Jia?liang， LI Peng?zhi， LI Pei?yue

（State Key Laboratory of Applied Optics， Changchun Institute of Optics， Fine Mechanics and Physics， CAS， Changchun 130033， China）

Abstract： As the failure of capacitance transducer has a big impact on tracking accuracy of the piezoelectric ceramic positioning system， the methodology of using extended Kalman filter （EKF） to implement the fault tolerance control is investigated in this paper. Aiming at the sampling circuit failure and the power failure of the transducer， an EKF filtering formula of capacitance transducer under three?order trajectory planning algorithm is analysed. The method that the discrete iterative EKF algorithm is taken to replace the traditional method is introduced. Positioning control experiment is performed with the benchmark of the laser interferometer. The results indicate that the proposed method can achieve 0.7% maximum tracking errors， with the deviation of ±3.5 μm， in a stroke of 500 μm. The experimental results indicate that the fault tolerance control method based on EKF can the control error caused by transducer fault and increase the robustness of the piezoelectric ceramic positioning system.

Keywords： piezoelectric ceramic； capacitance transducer； extended Kalman filter； fault tolerance control

0 引 言

壓電陶瓷定位系統通常是由壓電陶瓷執行器作為驅動器及電容傳感器作為位移傳感器而構成的閉環定位系統[1]。由于壓電陶瓷定位系統具有高精度和高速度的特性，被廣泛地應用于光刻物鏡調節機構和干涉儀移相器等領域[2?3]。當這種閉環控制的反饋信號惟一依賴于電容傳感器測量值時，如果電容傳感器產生在線故障，未經過處理的故障信號會增大系統穩態誤差，嚴重時會造成系統不穩定[4?5]。

卡爾曼濾波是一種使用遞歸方法解決線性濾波問題的最優估計算法，可有效過濾掉隨機干擾，準確地恢復出原始信號[6]，在組合導航系統中，基于自適應卡爾曼濾波器的信息融合方法，可以有效增加系統的定位精度及魯棒性[7]；在多機器人協同控制中，擴展卡爾曼濾波（EKF）可以有效解決定位控制中非線性模型的預測問題[8]；由于不需要對非線性系統的狀態方程和觀測方程進行線性化，并且不需要計算狀態轉移矩陣的雅可比矩陣，無跡卡爾曼濾波（UKF）在飛行器軌跡跟蹤領域也有廣泛應用[9]；近年來，EKF在控制系統傳感器故障容錯控制領域得到廣泛應用，EKF是針對經典卡爾曼濾波方法的非線性化推廣，在永磁同步電機控制系統中，EKF可以根據電機的先驗狀態參數準確估計當前轉子位置，實現無傳感器電機控制[10]或者故障診斷[5]；在發動機故障診斷和容錯控制中EKF的應用也取得了一定的進展[11]。

本文首先對壓電陶瓷定位系統電容傳感器典型故障進行分析；其次，針對三階軌跡規劃算法，將位移軌跡作為被估計的過程，通過對被估計過程EKF濾波公式的分析，提出一種基于離散迭代的EKF算法以替代傳統非線性系統近似線性化的方法；最后，通過實驗對基于EKF的容錯控制方法的效果進行了驗證，結果表明該方法行之有效。

1 問題描述

光刻物鏡可調機構的壓電陶瓷定位系統如圖1所示，控制算法通過PC機端的Matlab/Simulink設計完成之后，通過RTW下載至目標機的xPC Target實時內核，目標機內置有NI公司的PCI?6229數據采集卡，xPC Target通過PCI?6229的D/A通道向驅動控制箱發送控制指令，驅動控制箱根據指令驅動壓電陶瓷執行器，并將讀回的電容傳感器測量數值傳送至PCI?6229的A/D通道，反饋給xPC Target。

如圖1所示，xPC Target目標機與驅動控制箱之間采用模擬信號連接，電容傳感器與驅動控制箱之間也采用模擬信號連接，相比于其他鏈路，這些模擬通道出現故障的概率更大。圖2是模擬通道典型故障的反饋值，在0.6～0.8 s之間電容傳感器第8個數據位出現故障、在1 s之后電容傳感器出現掉電故障?？梢?，故障時位移測量值與實際值出現較大偏差。因此，在將這些包括不準確值的測量值反饋至控制器之前，對其進行必要的容錯處理顯得尤為重要。

圖1 壓電陶瓷定位系統

2 擴展卡爾曼濾波

將壓電陶瓷定位系統的位移軌跡作為被估計的過程[X]，那么這個過程的狀態變量[xk]即表示[k]時刻的位移值，對于文獻[1]中應用于壓電陶瓷定位系統的三階軌跡規劃算法，這個過程[X]的狀態變量[xk]可以由以下離散差分方程描述：

[xk=xk-1+vk-1ts+ak-1t2s2+Jmt3s6] （1）

式中：[ts]為采樣周期；[Jm]為最大沖擊值常量；[ak-1，][vk-1，][xk-1]分別為[k-1]時刻加速度值、速度值、位移值。顯然[ak，][vk，][xk]均為時變參數，可見被估計過程的[X]是一個離散的非線性過程。

圖2 電容傳感器故障時位移測量值

針對離散非線性過程，卡爾曼濾波變形為如下離散的擴展卡爾曼濾波公式[6]：

[xk/k-1=xk-1+f（xk-1）?Ts] （2）

[Pkk-1=Φkk-1Pk-1Φkk-1T+Qk-1] （3）

[xk=xkk-1+Kk（yk-Hkxkk-1）] （4）

[Pk=Pkk-1-KkHkPkk-1] （5）

[Kk=Pkk-1HkT（HkPkk-1HkT+R）-1] （6）

在傳統的擴展卡爾曼濾波中，公式（2）中的[f（?）]是由非線性函數經過泰勒級數展開，截去高階項后得到的近似線性化函數。這種線性化的近似計算存在兩個方面的缺陷：一方面，需要通過大量的在線仿真或實驗才能獲得精度和速度相對較好的濾波系數[5]；另一方面，隨著遞歸算法的向前推移，泰勒級數高階項權重可能不斷增加，導致最終估計量誤差較大[6]。

為解決以上問題，將公式（1）改寫為公式（7）的形式：

[xk=xk-1+f（xk-1）ts] （7）

而公式（7）中的[f（?）]可以由公式（8）遞推求得[1]，公式（8）中各參數意義與公式（1）相同：

[f（xk）=vk+akts2+Jmt2s6vk=vk-1+ak-1ts+Jmt2s2ak=ak-1+Jmts] （8）

由公式（7）和公式（8）可見，在將壓電陶瓷定位系統的位移軌跡視作被估計過程[X]時，其擴展卡爾曼濾波公式（2）中的線性化函數[f（?）]同樣可以由三階軌跡規劃的遞推過程求得，避免了傳統的將非線性系統線性化的復雜計算過程。

離散擴展卡爾曼濾波式（2）～式（6）中其余參數的含義說明如表1所示。

至此，在三階軌跡規劃算法下，壓電陶瓷定位系統位移量的擴展卡爾曼濾波器可由圖3表示，其中，狀態預測對應公式（2），協方差預測對應公式（3），狀態校正對應公式（4），協方差校正對應公式（5），增益更新對應公式（6）。

表1 離散擴展卡爾曼濾波器參數表

[參數＼&參數含義＼&[xk/k-1]＼&[k]時刻基于[k-1]時刻的預測估計＼&[xk-1]＼&[k-1]時刻的最優估計＼&[Ts]＼&采樣周期＼&[Pkk-1]＼&[xk/k-1]的協方差＼&[Φkk-1]＼&轉移矩陣＼&[Pk-1]＼&[xk-1]的協方差＼&[Qk-1]＼&過程噪聲的協方差＼&[xk]＼&[k]時刻的最優估計＼&[Kk]＼&卡爾曼濾波增益＼&[yk]＼&觀測變量＼&[Hk]＼&為觀測增益＼&[Pk]＼&[xk]的協方差＼&[R]＼&觀測噪聲的協方差＼&]

圖3 擴展卡爾曼濾波器

3 實驗與分析

為了對如圖1所示的壓電陶瓷定位系統中位移的測量值和EKF估計值做出準確評價，實驗過程中使用Renishaw公司的XL?80型激光測長干涉儀作為測量基準，搭建了如圖4所示的實驗平臺。其中，執行器為Physik Instrumente公司的N?111型壓電陶瓷驅動器，傳感器為D?E30型電容傳感器。

實驗采用的控制方案如圖5所示，其中，擴展卡爾曼濾波器將電容傳感器信號濾波之后反饋至PID控制器，PID控制器根據此反饋信號和三階軌跡規劃的輸出信號，對壓電陶瓷執行器的控制量做出計算。

實驗中EKF濾波公式各參數賦值如下：采樣周期[Ts]與系統相同，為0.001 s；過程噪聲與N?111型壓電陶瓷執行器的定位精度相關，根據對N?111大量實驗數據的統計分析結果，過程噪聲方差[Qk-1]取值[5×10-4]；觀測變量[yk]為電容傳感器在線測量值，觀測噪聲與電容傳感器精度相關，經過對D?E30型電容傳感器大量實驗數據的統計分析結果，觀測噪聲方差[R]取值為[2.5×10-4]；觀測增益[Hk]取值為1，轉移矩陣[Φkk-1]由算式[Φkk-1=I+f（tk-1）Ts]在線求得；EKF的初始條件為[x0=0，][P0=1]。

圖4 壓電陶瓷定位系統實驗平臺

圖5 電容傳感器容錯控制方案

實驗過程中，當電容傳感器在0.6～0.8 s之間第8個數據位出現故障、在1 s之后出現掉電故障，干涉儀測量值與EKF的估計值結果如圖6所示，EKF估計值誤差的絕對值如圖7所示。

圖6 干涉儀測量值與EKF估計值

圖7 EKF估計值誤差絕對值

由圖6和圖7的實驗結果可知，當電容傳感器出現故障時，雖然EKF估計值的絕對誤差和方差均有所增加，但絕對誤差仍被控制在3.5 μm之內，相比于圖2中未加EKF時的結果，濾波效果顯著。對于壓電陶瓷定位系統而言，EKF可以有效實現對電容傳感器的容錯控制。

4 結 語

本文將壓電陶瓷定位系統位移軌跡作為被估計的過程，對其擴展卡爾曼濾波分析后，提出基于三階軌跡規劃離散迭代算法的擴展卡爾曼濾波方法，這種方法可以有效避免非線性系統近似線性化的截斷誤差，避免大量的尋優實驗。實驗結果表明所提出的EKF算法能夠準確地估計出壓電陶瓷定位系統的位移軌跡，實現了電容傳感器容錯控制，提高了控制系統的魯棒性。

參考文獻

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圖4 壓電陶瓷定位系統實驗平臺

圖5 電容傳感器容錯控制方案

實驗過程中，當電容傳感器在0.6～0.8 s之間第8個數據位出現故障、在1 s之后出現掉電故障，干涉儀測量值與EKF的估計值結果如圖6所示，EKF估計值誤差的絕對值如圖7所示。

圖6 干涉儀測量值與EKF估計值

圖7 EKF估計值誤差絕對值

由圖6和圖7的實驗結果可知，當電容傳感器出現故障時，雖然EKF估計值的絕對誤差和方差均有所增加，但絕對誤差仍被控制在3.5 μm之內，相比于圖2中未加EKF時的結果，濾波效果顯著。對于壓電陶瓷定位系統而言，EKF可以有效實現對電容傳感器的容錯控制。

4 結 語

本文將壓電陶瓷定位系統位移軌跡作為被估計的過程，對其擴展卡爾曼濾波分析后，提出基于三階軌跡規劃離散迭代算法的擴展卡爾曼濾波方法，這種方法可以有效避免非線性系統近似線性化的截斷誤差，避免大量的尋優實驗。實驗結果表明所提出的EKF算法能夠準確地估計出壓電陶瓷定位系統的位移軌跡，實現了電容傳感器容錯控制，提高了控制系統的魯棒性。

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圖4 壓電陶瓷定位系統實驗平臺

圖5 電容傳感器容錯控制方案

實驗過程中，當電容傳感器在0.6～0.8 s之間第8個數據位出現故障、在1 s之后出現掉電故障，干涉儀測量值與EKF的估計值結果如圖6所示，EKF估計值誤差的絕對值如圖7所示。

圖6 干涉儀測量值與EKF估計值

圖7 EKF估計值誤差絕對值

由圖6和圖7的實驗結果可知，當電容傳感器出現故障時，雖然EKF估計值的絕對誤差和方差均有所增加，但絕對誤差仍被控制在3.5 μm之內，相比于圖2中未加EKF時的結果，濾波效果顯著。對于壓電陶瓷定位系統而言，EKF可以有效實現對電容傳感器的容錯控制。

4 結 語

本文將壓電陶瓷定位系統位移軌跡作為被估計的過程，對其擴展卡爾曼濾波分析后，提出基于三階軌跡規劃離散迭代算法的擴展卡爾曼濾波方法，這種方法可以有效避免非線性系統近似線性化的截斷誤差，避免大量的尋優實驗。實驗結果表明所提出的EKF算法能夠準確地估計出壓電陶瓷定位系統的位移軌跡，實現了電容傳感器容錯控制，提高了控制系統的魯棒性。

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