基于Esscher 變換的巨災債券定價模型研究

韓雪

摘 要：本文基于Esscher變換這一精算工具，建立以損失指數為觸發條件的巨災債券定價模型，并利用1996—2012年我國臺風災害損失數據，運用該定價模型測算不同觸發條件下臺風巨災債券的發行價格。本文采用Merton的方法，因為該方法直接適用于如巨災衍生產品，作為原生品的損失指數并不是一種可投資資產的狀況。而巨災風險損失的非交易性可以通過引進自然風險的市場價格來解決。

關鍵詞：臺風災害；Esscher 變換；巨災債券

中圖分類號：F830.91 文獻標識碼：A

文章編號：1000-176X（2014）06-0063-05

一、引 言

巨災債券是一種對巨災風險進行證券化的產品，保險公司通過風險證券化將風險轉移到資本市場上去。而價格的合理與否也就成了巨災債券發行成功的關鍵。目前對巨災債券（衍生品）價格的研究主要借鑒比較成熟的資產定價理論，采用無風險套利定價方法來為其定價。

針對普通金融資產的定價模型是基于金融資產價格連續變動的假設，也就是其對應的風險是可預料的，用無風險套利定價方法具有可行性。但對巨災債券所要轉移的巨災風險，如地震、臺風等自然風險來說，對應的損失（指數）是不可預料的。這就要求用一種在隨機的時間點上存在跳躍的隨機過程來描述這一風險，一般使用復合泊松分布來描述這一損失過程。正是損失（指數）的隨機跳躍導致了不完全市場的出現。

而要想使用無風險套利定價方法來為巨災債券等證券化產品定價，還必須解決不完全市場和保險損失指數不可交易這兩個問題。既然存在著不完全市場，那么復制技術就無法應用。對此有幾種解決方法：一是Merton[1]假設具有跳躍特征的風險可以被分散，也就是只含有此種非系統風險投資組合的β為0，其期望收益等于無風險利率；二是Fllmer 和 Schweizer[2]和Schweizer[3]采用一種方差最小化的對沖方法來求得等價鞅測度；三是Davis[4]基于歷史概率，通過投資者效用函數的最大化來確定價格；四是Cox 和 Ross[5]和Shirawaka[6]提出構造一個完全市場的框架。

當然，在無風險套利定價理論的實際應用中，如何求得Radon-Nikodym導數以進行概率測度變換是又一關鍵和難點。通常使用傅利葉變換和偏微分方程這樣復雜的方法，十分不便。之后，Hans和Elias[7]將精算學中的Esscher變換引入了資產定價領域，該方法極大地簡化了計算。Christensen[8]利用其對PCS期權進行定價，本文將在此基礎上研究如何為巨災債券定價，并求出了巨災債券價格的顯式表達式。

參考文獻：

[1] Victor， E. V. Pricing Catastrophe Bonds by an Arbitrage Approach[J].The Quarterly Review of Economics and Finance， 2003， 43（1）：119-132.

[2] Maciej， R. Pricing the Risk-Transfer Financial Instruments via Monte Carlo Methods[J]. Systems Analysis Modelling Simulation， 2003， 43（8）：1043-1064.

[3] Merton， R. C. Option Pricing when Underlying Stock Returns Are Discontinuous[J]. Journal of Financial Economics， 1976， 3（1-2）：125-144.

[2] Fllmer， H.， Schweizer， M. Hedging of Contingent Claims under Incomplete Information[A]. Davis，M. H. A.，Elliott，R. J.Applied Stochastic Analysis[C]. New York： Stochastic Monographs， Gordon and Breach， 1991.

[3] Schweizer， M. Mean-Variance Hedging for General Claims[J]. Annals of Applied Probabilities， 1992， 2（2）：171-179.

[4] Davis， M. H. A. Option Pricing in Incomplete Markets[A].Dempster，M. A. H.，Pliska，S. R.Mathematics of Derivative Securities[C]. Cambridge： Cambridge University Press， 1997.216-226.

[5] Cox， J. C.， Ross， S. A. The Valuation of Options for Alternative Stochastic Processes[J]. Journal of Financial Economics， 1976， 3（1-2）：145-166.

[6] Shirawaka， H. Interest-Rate Option Pricing with Poisson-Gaussian forward Rate Curve Processes[J]. Mathematical Finance， 1991， 4（1）：77-94.

[9] Alexander， M.Pricing Catastrophe Insurance Derivatives[R]. Financial Markets Group and The Wharton School， 2001.

[7] Hans， U. G.， Elias， S.W. S. Actuarial Bridges to Dynamic Hedging and Option Pricing[J]. Insurance： Mathematics and Economics， 1996，18 （3）：183-218.

[8] Christensen， C. V. A New Model for Pricing Catastrophe Insurance Derivatives[A]. Korsholm， L.CAFs Working Paper Series No.28[C]. Aarhus： University of Aarhus， 1999.

[12] Hoyt， R. E.， McCullough， K. A. Catastrophe Insurance Options： Are They Zero-Beta Assets？ [J]. The Journal of Insurance Issues， 1999， 22（2）： 147-163.

（責任編輯：孟 耀）

摘 要：本文基于Esscher變換這一精算工具，建立以損失指數為觸發條件的巨災債券定價模型，并利用1996—2012年我國臺風災害損失數據，運用該定價模型測算不同觸發條件下臺風巨災債券的發行價格。本文采用Merton的方法，因為該方法直接適用于如巨災衍生產品，作為原生品的損失指數并不是一種可投資資產的狀況。而巨災風險損失的非交易性可以通過引進自然風險的市場價格來解決。

關鍵詞：臺風災害；Esscher 變換；巨災債券

中圖分類號：F830.91 文獻標識碼：A

文章編號：1000-176X（2014）06-0063-05

一、引 言

巨災債券是一種對巨災風險進行證券化的產品，保險公司通過風險證券化將風險轉移到資本市場上去。而價格的合理與否也就成了巨災債券發行成功的關鍵。目前對巨災債券（衍生品）價格的研究主要借鑒比較成熟的資產定價理論，采用無風險套利定價方法來為其定價。

針對普通金融資產的定價模型是基于金融資產價格連續變動的假設，也就是其對應的風險是可預料的，用無風險套利定價方法具有可行性。但對巨災債券所要轉移的巨災風險，如地震、臺風等自然風險來說，對應的損失（指數）是不可預料的。這就要求用一種在隨機的時間點上存在跳躍的隨機過程來描述這一風險，一般使用復合泊松分布來描述這一損失過程。正是損失（指數）的隨機跳躍導致了不完全市場的出現。

而要想使用無風險套利定價方法來為巨災債券等證券化產品定價，還必須解決不完全市場和保險損失指數不可交易這兩個問題。既然存在著不完全市場，那么復制技術就無法應用。對此有幾種解決方法：一是Merton[1]假設具有跳躍特征的風險可以被分散，也就是只含有此種非系統風險投資組合的β為0，其期望收益等于無風險利率；二是Fllmer 和 Schweizer[2]和Schweizer[3]采用一種方差最小化的對沖方法來求得等價鞅測度；三是Davis[4]基于歷史概率，通過投資者效用函數的最大化來確定價格；四是Cox 和 Ross[5]和Shirawaka[6]提出構造一個完全市場的框架。

當然，在無風險套利定價理論的實際應用中，如何求得Radon-Nikodym導數以進行概率測度變換是又一關鍵和難點。通常使用傅利葉變換和偏微分方程這樣復雜的方法，十分不便。之后，Hans和Elias[7]將精算學中的Esscher變換引入了資產定價領域，該方法極大地簡化了計算。Christensen[8]利用其對PCS期權進行定價，本文將在此基礎上研究如何為巨災債券定價，并求出了巨災債券價格的顯式表達式。

參考文獻：

[1] Victor， E. V. Pricing Catastrophe Bonds by an Arbitrage Approach[J].The Quarterly Review of Economics and Finance， 2003， 43（1）：119-132.

[2] Maciej， R. Pricing the Risk-Transfer Financial Instruments via Monte Carlo Methods[J]. Systems Analysis Modelling Simulation， 2003， 43（8）：1043-1064.

[3] Merton， R. C. Option Pricing when Underlying Stock Returns Are Discontinuous[J]. Journal of Financial Economics， 1976， 3（1-2）：125-144.

[2] Fllmer， H.， Schweizer， M. Hedging of Contingent Claims under Incomplete Information[A]. Davis，M. H. A.，Elliott，R. J.Applied Stochastic Analysis[C]. New York： Stochastic Monographs， Gordon and Breach， 1991.

[3] Schweizer， M. Mean-Variance Hedging for General Claims[J]. Annals of Applied Probabilities， 1992， 2（2）：171-179.

[4] Davis， M. H. A. Option Pricing in Incomplete Markets[A].Dempster，M. A. H.，Pliska，S. R.Mathematics of Derivative Securities[C]. Cambridge： Cambridge University Press， 1997.216-226.

[5] Cox， J. C.， Ross， S. A. The Valuation of Options for Alternative Stochastic Processes[J]. Journal of Financial Economics， 1976， 3（1-2）：145-166.

[6] Shirawaka， H. Interest-Rate Option Pricing with Poisson-Gaussian forward Rate Curve Processes[J]. Mathematical Finance， 1991， 4（1）：77-94.

[9] Alexander， M.Pricing Catastrophe Insurance Derivatives[R]. Financial Markets Group and The Wharton School， 2001.

[7] Hans， U. G.， Elias， S.W. S. Actuarial Bridges to Dynamic Hedging and Option Pricing[J]. Insurance： Mathematics and Economics， 1996，18 （3）：183-218.

[8] Christensen， C. V. A New Model for Pricing Catastrophe Insurance Derivatives[A]. Korsholm， L.CAFs Working Paper Series No.28[C]. Aarhus： University of Aarhus， 1999.

[12] Hoyt， R. E.， McCullough， K. A. Catastrophe Insurance Options： Are They Zero-Beta Assets？ [J]. The Journal of Insurance Issues， 1999， 22（2）： 147-163.

（責任編輯：孟 耀）

摘 要：本文基于Esscher變換這一精算工具，建立以損失指數為觸發條件的巨災債券定價模型，并利用1996—2012年我國臺風災害損失數據，運用該定價模型測算不同觸發條件下臺風巨災債券的發行價格。本文采用Merton的方法，因為該方法直接適用于如巨災衍生產品，作為原生品的損失指數并不是一種可投資資產的狀況。而巨災風險損失的非交易性可以通過引進自然風險的市場價格來解決。

關鍵詞：臺風災害；Esscher 變換；巨災債券

中圖分類號：F830.91 文獻標識碼：A

文章編號：1000-176X（2014）06-0063-05

一、引 言

巨災債券是一種對巨災風險進行證券化的產品，保險公司通過風險證券化將風險轉移到資本市場上去。而價格的合理與否也就成了巨災債券發行成功的關鍵。目前對巨災債券（衍生品）價格的研究主要借鑒比較成熟的資產定價理論，采用無風險套利定價方法來為其定價。

針對普通金融資產的定價模型是基于金融資產價格連續變動的假設，也就是其對應的風險是可預料的，用無風險套利定價方法具有可行性。但對巨災債券所要轉移的巨災風險，如地震、臺風等自然風險來說，對應的損失（指數）是不可預料的。這就要求用一種在隨機的時間點上存在跳躍的隨機過程來描述這一風險，一般使用復合泊松分布來描述這一損失過程。正是損失（指數）的隨機跳躍導致了不完全市場的出現。

而要想使用無風險套利定價方法來為巨災債券等證券化產品定價，還必須解決不完全市場和保險損失指數不可交易這兩個問題。既然存在著不完全市場，那么復制技術就無法應用。對此有幾種解決方法：一是Merton[1]假設具有跳躍特征的風險可以被分散，也就是只含有此種非系統風險投資組合的β為0，其期望收益等于無風險利率；二是Fllmer 和 Schweizer[2]和Schweizer[3]采用一種方差最小化的對沖方法來求得等價鞅測度；三是Davis[4]基于歷史概率，通過投資者效用函數的最大化來確定價格；四是Cox 和 Ross[5]和Shirawaka[6]提出構造一個完全市場的框架。

當然，在無風險套利定價理論的實際應用中，如何求得Radon-Nikodym導數以進行概率測度變換是又一關鍵和難點。通常使用傅利葉變換和偏微分方程這樣復雜的方法，十分不便。之后，Hans和Elias[7]將精算學中的Esscher變換引入了資產定價領域，該方法極大地簡化了計算。Christensen[8]利用其對PCS期權進行定價，本文將在此基礎上研究如何為巨災債券定價，并求出了巨災債券價格的顯式表達式。

參考文獻：

[1] Victor， E. V. Pricing Catastrophe Bonds by an Arbitrage Approach[J].The Quarterly Review of Economics and Finance， 2003， 43（1）：119-132.

[2] Maciej， R. Pricing the Risk-Transfer Financial Instruments via Monte Carlo Methods[J]. Systems Analysis Modelling Simulation， 2003， 43（8）：1043-1064.

[3] Merton， R. C. Option Pricing when Underlying Stock Returns Are Discontinuous[J]. Journal of Financial Economics， 1976， 3（1-2）：125-144.

[2] Fllmer， H.， Schweizer， M. Hedging of Contingent Claims under Incomplete Information[A]. Davis，M. H. A.，Elliott，R. J.Applied Stochastic Analysis[C]. New York： Stochastic Monographs， Gordon and Breach， 1991.

[3] Schweizer， M. Mean-Variance Hedging for General Claims[J]. Annals of Applied Probabilities， 1992， 2（2）：171-179.

[4] Davis， M. H. A. Option Pricing in Incomplete Markets[A].Dempster，M. A. H.，Pliska，S. R.Mathematics of Derivative Securities[C]. Cambridge： Cambridge University Press， 1997.216-226.

[5] Cox， J. C.， Ross， S. A. The Valuation of Options for Alternative Stochastic Processes[J]. Journal of Financial Economics， 1976， 3（1-2）：145-166.

[6] Shirawaka， H. Interest-Rate Option Pricing with Poisson-Gaussian forward Rate Curve Processes[J]. Mathematical Finance， 1991， 4（1）：77-94.

[9] Alexander， M.Pricing Catastrophe Insurance Derivatives[R]. Financial Markets Group and The Wharton School， 2001.

[7] Hans， U. G.， Elias， S.W. S. Actuarial Bridges to Dynamic Hedging and Option Pricing[J]. Insurance： Mathematics and Economics， 1996，18 （3）：183-218.

[8] Christensen， C. V. A New Model for Pricing Catastrophe Insurance Derivatives[A]. Korsholm， L.CAFs Working Paper Series No.28[C]. Aarhus： University of Aarhus， 1999.

[12] Hoyt， R. E.， McCullough， K. A. Catastrophe Insurance Options： Are They Zero-Beta Assets？ [J]. The Journal of Insurance Issues， 1999， 22（2）： 147-163.

（責任編輯：孟 耀）