一類擬Hamilton碰振系統(tǒng)的全局分岔及多解共存現(xiàn)象分析

張思進(jìn)+尹磊磊+文桂林

基金項(xiàng)目：國(guó)家杰出青年科學(xué)基金資助項(xiàng)目（11225212）；國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（11372101，11002052）

作者簡(jiǎn)介：張思進(jìn)（1971-），男，安徽潛山人，湖南大學(xué)教授，博士

通訊聯(lián)系人，Email：sj_zh@sina.com

（湖南大學(xué) 汽車車身先進(jìn)設(shè)計(jì)制造國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，湖南 長(zhǎng)沙410082） 摘要：研究了一類擬Hamilton碰振系統(tǒng)的全局動(dòng)力學(xué)特性，參照同宿軌道的Melnikov函數(shù)形式，構(gòu)造了周期軌道次諧Melnikov函數(shù).并用一類擬Hamilton碰振系統(tǒng)詳細(xì)介紹了其計(jì)算方法和運(yùn)用，數(shù)值結(jié)果驗(yàn)證了構(gòu)造的次諧Melnikov函數(shù)的有效性.另外用改進(jìn)的胞映射方法對(duì)這類系統(tǒng)的全局分岔和多解共存現(xiàn)象進(jìn)行了分析，發(fā)現(xiàn)隨著外激勵(lì)力的變動(dòng)吸引子數(shù)量發(fā)生變化，各個(gè)吸引域形態(tài)復(fù)雜且相互纏繞.

關(guān)鍵詞：擬Hamilton系統(tǒng)；Melnikov方法；同宿軌道；分岔；多解共存；胞映射

中圖分類號(hào)：O322

非光滑動(dòng)力系統(tǒng)廣泛地存在于工程力學(xué)、工程機(jī)械、電子電路、生態(tài)種群等多個(gè)科學(xué)領(lǐng)域，主要形式包括碰撞、沖擊和干摩擦等.由于非光滑系統(tǒng)的相空間中的流不連續(xù)，這類系統(tǒng)常常有非常復(fù)雜的動(dòng)力學(xué)行為，包括傳統(tǒng)上的倍周期分岔、鞍結(jié)點(diǎn)分岔，也會(huì)產(chǎn)生新的分岔形式，如擦邊分岔、黏滯滑移分岔等＼[1-4＼].在光滑非線性動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)中，通過(guò)計(jì)算穩(wěn)定流形和不穩(wěn)定流形之間的距離，Melnikov 方法廣泛運(yùn)用于計(jì)算擬Hamilton系統(tǒng)產(chǎn)生混沌運(yùn)動(dòng)的參數(shù)閾值＼[5-7＼]；鄭吉兵等＼[5＼]計(jì)算了擬Hamilton系統(tǒng)的Melnikov函數(shù)，并得出了系統(tǒng)的Hopf分岔?xiàng)l件.趙躍宇等＼[7＼]研究了杜芬方程同宿軌道所對(duì)應(yīng)的Melnikov函數(shù)，并且得到了產(chǎn)生混沌時(shí)的系統(tǒng)參數(shù)閾值.由于非光滑擬Hamilton系統(tǒng)相空間中的流在切換面附近的可微性被破壞，直接采用Melnikov方法變得不可行.針對(duì)非光滑動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)必須構(gòu)建新的Melnikov函數(shù)來(lái)分析系統(tǒng)的全局特性，目前國(guó)內(nèi)外研究的還比較少＼[8-10＼].Xu等＼[9＼]構(gòu)建了非光滑碰振系統(tǒng)同宿軌道的Melnikov函數(shù)，能很好地預(yù)測(cè)在碰撞面和外激勵(lì)共同作用下同宿軌道發(fā)生破裂產(chǎn)生混沌的參數(shù)范圍.Liang等[10]研究了分段形式的擬Hamilton系統(tǒng)，給出了有關(guān)極限環(huán)分岔以及Melnikov函數(shù)展開形式的結(jié)果.但是這些少量關(guān)于非光滑系統(tǒng)的Melnikov函數(shù)計(jì)算方法的文章也只是針對(duì)同宿軌道而言的，并沒(méi)有考慮同時(shí)存在的同宿軌道內(nèi)部周期軌道族在碰撞面和激勵(lì)力共同作用下的多種非線性動(dòng)力學(xué)現(xiàn)象.

湖南大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版）2014年第10期張思進(jìn)等：一類擬Hamilton碰振系統(tǒng)的全局分岔及多解共存現(xiàn)象分析本文首先介紹了擬Hamilton碰振系統(tǒng)同宿軌道的Melnikov函數(shù)的計(jì)算方法，得到同宿軌破裂產(chǎn)生混沌的參數(shù)范圍；然后參照同宿軌道的Melnikov函數(shù)形式，類似給出了周期軌道次諧Melnikov函數(shù)形式，并用一類擬Hamilton碰振系統(tǒng)作為算例，詳細(xì)介紹了其計(jì)算方法和運(yùn)用，數(shù)值結(jié)果驗(yàn)證了我們構(gòu)造的Melnikov函數(shù)的有效性.另外根據(jù)同宿軌道的Melnikov函數(shù)和次諧軌道Melnikov函數(shù)確定的區(qū)域?qū)⒄麄€(gè)參數(shù)范圍分為3個(gè)區(qū)域，并對(duì)其中運(yùn)動(dòng)形式較復(fù)雜的重疊區(qū)域繪制了全局分岔圖，運(yùn)用改進(jìn)的胞映射方法進(jìn)行全局動(dòng)力學(xué)分析，發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)存在多種吸引子共存現(xiàn)象，隨著激勵(lì)力變化吸引子數(shù)目形態(tài)發(fā)生變動(dòng)，且各個(gè)吸引域形態(tài)復(fù)雜、相互纏繞.

1同宿軌道的Melnikov方法

2周期軌道次諧Melnikov函數(shù)及混沌分析

雖然針對(duì)非光滑碰振系統(tǒng)同宿軌道的Melnikov函數(shù)已給出，能很好地預(yù)測(cè)同宿軌道破裂產(chǎn)生混沌的參數(shù)范圍，但是并不能解釋（在非混沌區(qū)域）同宿軌道內(nèi)部存在的一簇簇周期軌道在激勵(lì)力和碰撞面的共同作用下產(chǎn)生的各種非線性運(yùn)動(dòng)現(xiàn)象.本文嘗試給出非光滑碰振系統(tǒng)共振周期軌道次諧Melnikov函數(shù)，用以確定系統(tǒng)可能出現(xiàn)的次諧周期解參數(shù)范圍.考慮雙邊剛性的約束廣義碰振系統(tǒng)，系統(tǒng)的模型方程同上，具體表達(dá)式見(jiàn)（1）.在同宿軌道內(nèi)部圍繞中心有以參數(shù)為α的周期軌道族（如圖1所示），左右對(duì)稱，本文分析x>0部分.

參照同宿軌形式，類似給出周期軌道次諧Melnikov函數(shù)的形式，也是分為兩個(gè)部分：類似光滑非線性動(dòng)力系統(tǒng)部分和碰撞面部分，分別為第一部分和第二部分（如公式（3））.則次諧軌道Melnikov函數(shù)可以假定定義為：

2.1周期軌道次諧Melnikov函數(shù)運(yùn)用算例

基金項(xiàng)目：國(guó)家杰出青年科學(xué)基金資助項(xiàng)目（11225212）；國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（11372101，11002052）

作者簡(jiǎn)介：張思進(jìn)（1971-），男，安徽潛山人，湖南大學(xué)教授，博士

通訊聯(lián)系人，Email：sj_zh@sina.com

（湖南大學(xué) 汽車車身先進(jìn)設(shè)計(jì)制造國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，湖南 長(zhǎng)沙410082） 摘要：研究了一類擬Hamilton碰振系統(tǒng)的全局動(dòng)力學(xué)特性，參照同宿軌道的Melnikov函數(shù)形式，構(gòu)造了周期軌道次諧Melnikov函數(shù).并用一類擬Hamilton碰振系統(tǒng)詳細(xì)介紹了其計(jì)算方法和運(yùn)用，數(shù)值結(jié)果驗(yàn)證了構(gòu)造的次諧Melnikov函數(shù)的有效性.另外用改進(jìn)的胞映射方法對(duì)這類系統(tǒng)的全局分岔和多解共存現(xiàn)象進(jìn)行了分析，發(fā)現(xiàn)隨著外激勵(lì)力的變動(dòng)吸引子數(shù)量發(fā)生變化，各個(gè)吸引域形態(tài)復(fù)雜且相互纏繞.

關(guān)鍵詞：擬Hamilton系統(tǒng)；Melnikov方法；同宿軌道；分岔；多解共存；胞映射

中圖分類號(hào)：O322

非光滑動(dòng)力系統(tǒng)廣泛地存在于工程力學(xué)、工程機(jī)械、電子電路、生態(tài)種群等多個(gè)科學(xué)領(lǐng)域，主要形式包括碰撞、沖擊和干摩擦等.由于非光滑系統(tǒng)的相空間中的流不連續(xù)，這類系統(tǒng)常常有非常復(fù)雜的動(dòng)力學(xué)行為，包括傳統(tǒng)上的倍周期分岔、鞍結(jié)點(diǎn)分岔，也會(huì)產(chǎn)生新的分岔形式，如擦邊分岔、黏滯滑移分岔等＼[1-4＼].在光滑非線性動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)中，通過(guò)計(jì)算穩(wěn)定流形和不穩(wěn)定流形之間的距離，Melnikov 方法廣泛運(yùn)用于計(jì)算擬Hamilton系統(tǒng)產(chǎn)生混沌運(yùn)動(dòng)的參數(shù)閾值＼[5-7＼]；鄭吉兵等＼[5＼]計(jì)算了擬Hamilton系統(tǒng)的Melnikov函數(shù)，并得出了系統(tǒng)的Hopf分岔?xiàng)l件.趙躍宇等＼[7＼]研究了杜芬方程同宿軌道所對(duì)應(yīng)的Melnikov函數(shù)，并且得到了產(chǎn)生混沌時(shí)的系統(tǒng)參數(shù)閾值.由于非光滑擬Hamilton系統(tǒng)相空間中的流在切換面附近的可微性被破壞，直接采用Melnikov方法變得不可行.針對(duì)非光滑動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)必須構(gòu)建新的Melnikov函數(shù)來(lái)分析系統(tǒng)的全局特性，目前國(guó)內(nèi)外研究的還比較少＼[8-10＼].Xu等＼[9＼]構(gòu)建了非光滑碰振系統(tǒng)同宿軌道的Melnikov函數(shù)，能很好地預(yù)測(cè)在碰撞面和外激勵(lì)共同作用下同宿軌道發(fā)生破裂產(chǎn)生混沌的參數(shù)范圍.Liang等[10]研究了分段形式的擬Hamilton系統(tǒng)，給出了有關(guān)極限環(huán)分岔以及Melnikov函數(shù)展開形式的結(jié)果.但是這些少量關(guān)于非光滑系統(tǒng)的Melnikov函數(shù)計(jì)算方法的文章也只是針對(duì)同宿軌道而言的，并沒(méi)有考慮同時(shí)存在的同宿軌道內(nèi)部周期軌道族在碰撞面和激勵(lì)力共同作用下的多種非線性動(dòng)力學(xué)現(xiàn)象.

湖南大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版）2014年第10期張思進(jìn)等：一類擬Hamilton碰振系統(tǒng)的全局分岔及多解共存現(xiàn)象分析本文首先介紹了擬Hamilton碰振系統(tǒng)同宿軌道的Melnikov函數(shù)的計(jì)算方法，得到同宿軌破裂產(chǎn)生混沌的參數(shù)范圍；然后參照同宿軌道的Melnikov函數(shù)形式，類似給出了周期軌道次諧Melnikov函數(shù)形式，并用一類擬Hamilton碰振系統(tǒng)作為算例，詳細(xì)介紹了其計(jì)算方法和運(yùn)用，數(shù)值結(jié)果驗(yàn)證了我們構(gòu)造的Melnikov函數(shù)的有效性.另外根據(jù)同宿軌道的Melnikov函數(shù)和次諧軌道Melnikov函數(shù)確定的區(qū)域?qū)⒄麄€(gè)參數(shù)范圍分為3個(gè)區(qū)域，并對(duì)其中運(yùn)動(dòng)形式較復(fù)雜的重疊區(qū)域繪制了全局分岔圖，運(yùn)用改進(jìn)的胞映射方法進(jìn)行全局動(dòng)力學(xué)分析，發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)存在多種吸引子共存現(xiàn)象，隨著激勵(lì)力變化吸引子數(shù)目形態(tài)發(fā)生變動(dòng)，且各個(gè)吸引域形態(tài)復(fù)雜、相互纏繞.

1同宿軌道的Melnikov方法

2周期軌道次諧Melnikov函數(shù)及混沌分析

雖然針對(duì)非光滑碰振系統(tǒng)同宿軌道的Melnikov函數(shù)已給出，能很好地預(yù)測(cè)同宿軌道破裂產(chǎn)生混沌的參數(shù)范圍，但是并不能解釋（在非混沌區(qū)域）同宿軌道內(nèi)部存在的一簇簇周期軌道在激勵(lì)力和碰撞面的共同作用下產(chǎn)生的各種非線性運(yùn)動(dòng)現(xiàn)象.本文嘗試給出非光滑碰振系統(tǒng)共振周期軌道次諧Melnikov函數(shù)，用以確定系統(tǒng)可能出現(xiàn)的次諧周期解參數(shù)范圍.考慮雙邊剛性的約束廣義碰振系統(tǒng)，系統(tǒng)的模型方程同上，具體表達(dá)式見(jiàn)（1）.在同宿軌道內(nèi)部圍繞中心有以參數(shù)為α的周期軌道族（如圖1所示），左右對(duì)稱，本文分析x>0部分.

參照同宿軌形式，類似給出周期軌道次諧Melnikov函數(shù)的形式，也是分為兩個(gè)部分：類似光滑非線性動(dòng)力系統(tǒng)部分和碰撞面部分，分別為第一部分和第二部分（如公式（3））.則次諧軌道Melnikov函數(shù)可以假定定義為：

2.1周期軌道次諧Melnikov函數(shù)運(yùn)用算例

基金項(xiàng)目：國(guó)家杰出青年科學(xué)基金資助項(xiàng)目（11225212）；國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（11372101，11002052）

作者簡(jiǎn)介：張思進(jìn)（1971-），男，安徽潛山人，湖南大學(xué)教授，博士

通訊聯(lián)系人，Email：sj_zh@sina.com

（湖南大學(xué) 汽車車身先進(jìn)設(shè)計(jì)制造國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，湖南 長(zhǎng)沙410082） 摘要：研究了一類擬Hamilton碰振系統(tǒng)的全局動(dòng)力學(xué)特性，參照同宿軌道的Melnikov函數(shù)形式，構(gòu)造了周期軌道次諧Melnikov函數(shù).并用一類擬Hamilton碰振系統(tǒng)詳細(xì)介紹了其計(jì)算方法和運(yùn)用，數(shù)值結(jié)果驗(yàn)證了構(gòu)造的次諧Melnikov函數(shù)的有效性.另外用改進(jìn)的胞映射方法對(duì)這類系統(tǒng)的全局分岔和多解共存現(xiàn)象進(jìn)行了分析，發(fā)現(xiàn)隨著外激勵(lì)力的變動(dòng)吸引子數(shù)量發(fā)生變化，各個(gè)吸引域形態(tài)復(fù)雜且相互纏繞.

關(guān)鍵詞：擬Hamilton系統(tǒng)；Melnikov方法；同宿軌道；分岔；多解共存；胞映射

中圖分類號(hào)：O322

非光滑動(dòng)力系統(tǒng)廣泛地存在于工程力學(xué)、工程機(jī)械、電子電路、生態(tài)種群等多個(gè)科學(xué)領(lǐng)域，主要形式包括碰撞、沖擊和干摩擦等.由于非光滑系統(tǒng)的相空間中的流不連續(xù)，這類系統(tǒng)常常有非常復(fù)雜的動(dòng)力學(xué)行為，包括傳統(tǒng)上的倍周期分岔、鞍結(jié)點(diǎn)分岔，也會(huì)產(chǎn)生新的分岔形式，如擦邊分岔、黏滯滑移分岔等＼[1-4＼].在光滑非線性動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)中，通過(guò)計(jì)算穩(wěn)定流形和不穩(wěn)定流形之間的距離，Melnikov 方法廣泛運(yùn)用于計(jì)算擬Hamilton系統(tǒng)產(chǎn)生混沌運(yùn)動(dòng)的參數(shù)閾值＼[5-7＼]；鄭吉兵等＼[5＼]計(jì)算了擬Hamilton系統(tǒng)的Melnikov函數(shù)，并得出了系統(tǒng)的Hopf分岔?xiàng)l件.趙躍宇等＼[7＼]研究了杜芬方程同宿軌道所對(duì)應(yīng)的Melnikov函數(shù)，并且得到了產(chǎn)生混沌時(shí)的系統(tǒng)參數(shù)閾值.由于非光滑擬Hamilton系統(tǒng)相空間中的流在切換面附近的可微性被破壞，直接采用Melnikov方法變得不可行.針對(duì)非光滑動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)必須構(gòu)建新的Melnikov函數(shù)來(lái)分析系統(tǒng)的全局特性，目前國(guó)內(nèi)外研究的還比較少＼[8-10＼].Xu等＼[9＼]構(gòu)建了非光滑碰振系統(tǒng)同宿軌道的Melnikov函數(shù)，能很好地預(yù)測(cè)在碰撞面和外激勵(lì)共同作用下同宿軌道發(fā)生破裂產(chǎn)生混沌的參數(shù)范圍.Liang等[10]研究了分段形式的擬Hamilton系統(tǒng)，給出了有關(guān)極限環(huán)分岔以及Melnikov函數(shù)展開形式的結(jié)果.但是這些少量關(guān)于非光滑系統(tǒng)的Melnikov函數(shù)計(jì)算方法的文章也只是針對(duì)同宿軌道而言的，并沒(méi)有考慮同時(shí)存在的同宿軌道內(nèi)部周期軌道族在碰撞面和激勵(lì)力共同作用下的多種非線性動(dòng)力學(xué)現(xiàn)象.

湖南大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版）2014年第10期張思進(jìn)等：一類擬Hamilton碰振系統(tǒng)的全局分岔及多解共存現(xiàn)象分析本文首先介紹了擬Hamilton碰振系統(tǒng)同宿軌道的Melnikov函數(shù)的計(jì)算方法，得到同宿軌破裂產(chǎn)生混沌的參數(shù)范圍；然后參照同宿軌道的Melnikov函數(shù)形式，類似給出了周期軌道次諧Melnikov函數(shù)形式，并用一類擬Hamilton碰振系統(tǒng)作為算例，詳細(xì)介紹了其計(jì)算方法和運(yùn)用，數(shù)值結(jié)果驗(yàn)證了我們構(gòu)造的Melnikov函數(shù)的有效性.另外根據(jù)同宿軌道的Melnikov函數(shù)和次諧軌道Melnikov函數(shù)確定的區(qū)域?qū)⒄麄€(gè)參數(shù)范圍分為3個(gè)區(qū)域，并對(duì)其中運(yùn)動(dòng)形式較復(fù)雜的重疊區(qū)域繪制了全局分岔圖，運(yùn)用改進(jìn)的胞映射方法進(jìn)行全局動(dòng)力學(xué)分析，發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)存在多種吸引子共存現(xiàn)象，隨著激勵(lì)力變化吸引子數(shù)目形態(tài)發(fā)生變動(dòng)，且各個(gè)吸引域形態(tài)復(fù)雜、相互纏繞.

1同宿軌道的Melnikov方法

2周期軌道次諧Melnikov函數(shù)及混沌分析

雖然針對(duì)非光滑碰振系統(tǒng)同宿軌道的Melnikov函數(shù)已給出，能很好地預(yù)測(cè)同宿軌道破裂產(chǎn)生混沌的參數(shù)范圍，但是并不能解釋（在非混沌區(qū)域）同宿軌道內(nèi)部存在的一簇簇周期軌道在激勵(lì)力和碰撞面的共同作用下產(chǎn)生的各種非線性運(yùn)動(dòng)現(xiàn)象.本文嘗試給出非光滑碰振系統(tǒng)共振周期軌道次諧Melnikov函數(shù)，用以確定系統(tǒng)可能出現(xiàn)的次諧周期解參數(shù)范圍.考慮雙邊剛性的約束廣義碰振系統(tǒng)，系統(tǒng)的模型方程同上，具體表達(dá)式見(jiàn)（1）.在同宿軌道內(nèi)部圍繞中心有以參數(shù)為α的周期軌道族（如圖1所示），左右對(duì)稱，本文分析x>0部分.

參照同宿軌形式，類似給出周期軌道次諧Melnikov函數(shù)的形式，也是分為兩個(gè)部分：類似光滑非線性動(dòng)力系統(tǒng)部分和碰撞面部分，分別為第一部分和第二部分（如公式（3））.則次諧軌道Melnikov函數(shù)可以假定定義為：

2.1周期軌道次諧Melnikov函數(shù)運(yùn)用算例