三角形面積的求解方法研究

姜麗娟

【摘 要】通過調(diào)查顯示，在近幾年全國各地中考試題中經(jīng)常會涉及到求解三角形面積有關(guān)的問題，而在求解這類試題的過程中往往需要有機(jī)結(jié)合一次函數(shù)、二次函數(shù)與反比例函數(shù)的圖像才能得出正確結(jié)果。因此出題的形式可以靈活多樣，具有一定的綜合性。鑒于此，我們在求解的過程中一定要看清題目中所給出的條件，然后總結(jié)同類題目的解題訣竅。本文將歸納出三角形面積的常見幾種求解策略，希望能夠?yàn)閺V大師生所用。

【關(guān)鍵詞】三角形；面積；直角坐標(biāo)系；考試

就目前而言，關(guān)于求解三角形面積的方法種類繁多，其中也不乏許多奇思妙想，讓人回味無窮。但是大多數(shù)時候依然會利用S=1/2bcsinA=1/2acsinB=1/2absinC來解決該類問題，比較有趣味的是，我們在解題過程中可以將該公式根據(jù)題目的要求進(jìn)行變形，使其坐標(biāo)化以后在加以運(yùn)用。這樣使用起來就會感覺思路清晰，而且可以讓人賞心悅目。

1 當(dāng)三角形的其中一邊與坐標(biāo)軸平行或者直接在坐標(biāo)軸上

舉一個例子，如圖1所示，在該平面直角坐標(biāo)系中的一次函數(shù)（y1=kx+b（k≠0））與反比例函數(shù)（y2=a/x（a≠0））相交于A（2，1）和B（-1，-2）兩點(diǎn)，與x軸的C點(diǎn)相交。求解：（1）分別求一次函數(shù)與反比例函數(shù)的解析式；（2）連接OA，計算三角形AOC的面積。

解：（1）依據(jù)一次函數(shù)（y1=kx+b（k≠0）），將A（2，1）和B（-1，-2）兩點(diǎn)分別代入其中，可得2k+b=1 ，-k+b=-2，從而可以求出k=1，b=-1，此時便求出一次函數(shù)的方程式為y1=x-1。然后將A（2，1）代入到y(tǒng)2=a/x，得出a=2，所以反比例函數(shù)的方程式為y2=a/x；（2）從圖中可以看出，三角形AOC的一邊OC在x軸上，因此我們只需要想辦法求出OC長，然后依據(jù)相關(guān)公式便能夠求解了。具體地說，因?yàn)橹本€AB和x軸與點(diǎn)C相交，所以點(diǎn)C的縱坐標(biāo)為0。而y1=0的時候，x=1，因此OC=1，又因?yàn)辄c(diǎn)A（2，1），因此三角形AOC的OC邊上的高為1，所以S△AOC=1/2×1×1=1/2。這是一道關(guān)于一次函數(shù)與反比例函數(shù)相交的基礎(chǔ)性試題，所考查的知識點(diǎn)主要是運(yùn)用待定系數(shù)法求解三角形的面積。其主要目的是在于考查學(xué)生對解題方法是否已經(jīng)掌握，該種類型的題目解法具有一定的代表性，其他在平面直角坐標(biāo)系中秋季三角形面積的題目的原理都是萬變不離其宗的。

2 當(dāng)題目之中給出的條件無法直接計算出所求三角形面積的情況求解

通常情況下，對于這種類型的題目我們可以先將三角形面積的和或者差計算出來以后再去求解原三角形的面積。下面舉例進(jìn)行說明。如圖2所示，拋物線y=ax2+bx-4與x軸相交于C點(diǎn)，而點(diǎn)P為AB線段上的一個動點(diǎn)，過點(diǎn)P作PD∥AC，并且與BC線段相交于點(diǎn)D，連接CP。求：①該拋物線的方程式；②點(diǎn)P運(yùn)動到什么位置的時候，BP2=BC×BD；③當(dāng)三角形PCD的面積是最大值的時候，求點(diǎn)P的坐標(biāo)。

解：（1）因?yàn)閺膱D2可知，拋物線y=ax2+bx-4與x軸的兩點(diǎn)A（4，0）、B（-2，0）相交，代入方程中可得4a-2b-4=0 ，16a+4b-4=0，可以求出a=1/2，b=-1。所以可以得出拋物線的解析式方程為y=1/2x2-x-4；

（2）因?yàn)閽佄锞€的解析式方程為y=1/2x2-x-4，令x=0時，y=-4，此時點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，-4）。由于PD∥AC，所以三角形BPD與三角形BAC相似，所以BD/BC=BP/BA。因?yàn)锽C=（OB2+OC2）的平方根=2×5的平方根，AB=6，BP=x+2，所以BD=5的平方根/3×（x+2），因?yàn)锽P2=BC×BD，我們可以得出（x+2）2=5的平方根/3×（x+2）×2×5的平方根，從而可以解出x1=4/3，x2=-2（與題意不符合，舍去），所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為（4/3，0），換言之，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動到（4/3，0）時，BP2=BC×BD；

（3）因?yàn)椤鰾AC相似于△BPD，所以S△BPD/S△BAC=（BP/AB）2我們可以得出S△BPD=（BP/AB）2×S△BAC=1/2×（x+2）×4=2（x+2），得出S△PCD=S△BPC-S△BPD=2（x+2）-1/3（x+2）2=-1/3（x-1）2+3。因此當(dāng)x=1的時候，S△PCD的最大值為3。這是一道有關(guān)二次函數(shù)的綜合性題目，重點(diǎn)考查的內(nèi)容是拋物線上點(diǎn)的坐標(biāo)與方程二者之間的關(guān)系、相似三角形的性質(zhì)、二次函數(shù)的最值（最大值或者最小值）以及平面直角坐標(biāo)系中求解三角面積的方法，知識點(diǎn)比較多，綜合性也比較強(qiáng)。我們這這種類型的題目中無法直接計算出所求三角形的面積，就需要綜合其他的相關(guān)知識點(diǎn)輔助求解了。

綜上所述，由于在現(xiàn)在的高考中求解三角形面積的題目出現(xiàn)的頻率比較高，因此在教學(xué)過程中需要想方設(shè)法讓學(xué)生們掌握求解的方法，能夠做到舉一反三，觸類旁通。值得注意的是，本文只是列舉了兩種最容易出現(xiàn)的題型，還有很多其他的題型以及解題方法，但是有一點(diǎn)可以肯定的那就是需要在解題過程中有效運(yùn)用題目中所給出的條件，然后再通過應(yīng)用一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)的相關(guān)知識，充分的利用數(shù)形結(jié)合思想。

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