二次函數(shù)最值問題及其解決方法

楊寒英

學(xué)生在初中階段接觸最多的，而且覺得比較難以理解的函數(shù)便是二次函數(shù).為了使學(xué)生更好地理解函數(shù)的單調(diào)性的作用，筆者補(bǔ)充了一節(jié)關(guān)于求二次函數(shù)最值問題的探究性的課.這節(jié)課一方面起到了擴(kuò)充知識的作用，提高學(xué)生對知識的應(yīng)用能力；另一方面培養(yǎng)學(xué)生的探究意識和數(shù)形結(jié)合的思想方法.

一、分類舉例

1.軸定區(qū)間定問題

【例1】 求二次函數(shù)f（x）=x2-2x-3在以下區(qū)間上的最值.

（1）x∈[-2，0]；（2）x∈[0，3]；（3）x∈[2，4].

分析： f（x）=（x-1）2-4.

①若對稱軸在給定區(qū)間的右側(cè)或左側(cè)，此時函數(shù)在該區(qū)間上是單調(diào)函數(shù)，最大值和最小值分別在區(qū)間端點(diǎn)處取得，比如本題的（1）（3）小題；

②若對稱軸穿過區(qū)間，此時函數(shù)在該區(qū)間上先減后增，最小值在對稱軸處取得.而最大值在端點(diǎn)處取得.此時只需計(jì)算哪個端點(diǎn)處的函數(shù)值較大即可，或比較哪個端點(diǎn)距離對稱軸較遠(yuǎn)（端點(diǎn)離對稱軸越遠(yuǎn)，函數(shù)值越大）即可，比如本題的（2）小題；

③函數(shù)的最大、最小值只在區(qū)間的端點(diǎn)或?qū)ΨQ軸處取得.

2.軸定區(qū)間變問題

【例2】 求二次函數(shù)f（x）=x2-2x-3在區(qū)間[t，t+2]上的值域.

分析：隨著區(qū)間位置的改變，對稱軸和區(qū)間的相對位置對函數(shù)值域的影響便一目了然了.

①當(dāng)對稱軸位于區(qū)間的左側(cè)，即t≥1時，函數(shù)f（x）在區(qū)間[t，t+2]上為增函數(shù)，此時f（x）的取值范圍是f（t）≤f（x）≤f（t+2）；

②當(dāng)對稱軸位于左半?yún)^(qū)間，即t≤1≤t+1時，函數(shù)f（x）在區(qū)間[t，t+2]上是先減后增，右端點(diǎn)t+2距離對稱軸較遠(yuǎn)，此時f（x）的取值范圍是f（1）≤f（x）≤f（t+2）；

③當(dāng)對稱軸位于右半?yún)^(qū)間，即t+1≤1≤t+2時，函數(shù)f（x）在區(qū)間[t，t+2]上也是先減后增，此時是左端點(diǎn)t距離對稱軸較遠(yuǎn)，所以f（x）的取值范圍是f（1）≤f（x）≤f（t）；

④當(dāng)對稱軸位于區(qū)間的右側(cè)，即t+2≤1時，函數(shù)f（x）在區(qū)間[t，t+2]上為減函數(shù)，此時f（x）的取值范圍是f（t+2）≤f（x）≤f（t）.

部分學(xué)生可能只討論了三種情況，將②③合并，這是出錯的主要原因.

3.軸變區(qū)間定問題

【例3】 求函數(shù)f（x）=x2-2mx+2在區(qū)間[-1，1]上的值域.

分析：對稱軸x=m可改變，對稱軸與區(qū)間[-1，1]的相對位置也是變化的，仿照例2可以求出函數(shù)的值域.

①當(dāng)對稱軸位于區(qū)間的左側(cè)，即m≤-1時，有f（-1）≤f（x）≤f（1）；

②當(dāng)對稱軸位于左半?yún)^(qū)間，即-1≤m≤0時，有f（m）≤f（x）≤f（1）；

③當(dāng)對稱軸位于右半?yún)^(qū)間，即0≤m≤1時，有f（m）≤f（x）≤f（-1）；

④當(dāng)對稱軸位于區(qū)間的右側(cè)，即m≥1時，有f（1）≤f（x）≤f（-1）.

4.軸變區(qū)間變問題

【例4】 求函數(shù)f（x）=x2-2mx+2在區(qū)間[a，b]上的值域.

分析：還是同前面的例子相同的討論.

①當(dāng)對稱軸位于區(qū)間的左側(cè)，即當(dāng)m

②當(dāng)對稱軸位于左半?yún)^(qū)間，即a≤m≤

學(xué)生在初中階段接觸最多的，而且覺得比較難以理解的函數(shù)便是二次函數(shù).為了使學(xué)生更好地理解函數(shù)的單調(diào)性的作用，筆者補(bǔ)充了一節(jié)關(guān)于求二次函數(shù)最值問題的探究性的課.這節(jié)課一方面起到了擴(kuò)充知識的作用，提高學(xué)生對知識的應(yīng)用能力；另一方面培養(yǎng)學(xué)生的探究意識和數(shù)形結(jié)合的思想方法.

一、分類舉例

1.軸定區(qū)間定問題

【例1】 求二次函數(shù)f（x）=x2-2x-3在以下區(qū)間上的最值.

（1）x∈[-2，0]；（2）x∈[0，3]；（3）x∈[2，4].

分析： f（x）=（x-1）2-4.

①若對稱軸在給定區(qū)間的右側(cè)或左側(cè)，此時函數(shù)在該區(qū)間上是單調(diào)函數(shù)，最大值和最小值分別在區(qū)間端點(diǎn)處取得，比如本題的（1）（3）小題；

②若對稱軸穿過區(qū)間，此時函數(shù)在該區(qū)間上先減后增，最小值在對稱軸處取得.而最大值在端點(diǎn)處取得.此時只需計(jì)算哪個端點(diǎn)處的函數(shù)值較大即可，或比較哪個端點(diǎn)距離對稱軸較遠(yuǎn)（端點(diǎn)離對稱軸越遠(yuǎn)，函數(shù)值越大）即可，比如本題的（2）小題；

③函數(shù)的最大、最小值只在區(qū)間的端點(diǎn)或?qū)ΨQ軸處取得.

2.軸定區(qū)間變問題

【例2】 求二次函數(shù)f（x）=x2-2x-3在區(qū)間[t，t+2]上的值域.

分析：隨著區(qū)間位置的改變，對稱軸和區(qū)間的相對位置對函數(shù)值域的影響便一目了然了.

①當(dāng)對稱軸位于區(qū)間的左側(cè)，即t≥1時，函數(shù)f（x）在區(qū)間[t，t+2]上為增函數(shù)，此時f（x）的取值范圍是f（t）≤f（x）≤f（t+2）；

②當(dāng)對稱軸位于左半?yún)^(qū)間，即t≤1≤t+1時，函數(shù)f（x）在區(qū)間[t，t+2]上是先減后增，右端點(diǎn)t+2距離對稱軸較遠(yuǎn)，此時f（x）的取值范圍是f（1）≤f（x）≤f（t+2）；

③當(dāng)對稱軸位于右半?yún)^(qū)間，即t+1≤1≤t+2時，函數(shù)f（x）在區(qū)間[t，t+2]上也是先減后增，此時是左端點(diǎn)t距離對稱軸較遠(yuǎn)，所以f（x）的取值范圍是f（1）≤f（x）≤f（t）；

④當(dāng)對稱軸位于區(qū)間的右側(cè)，即t+2≤1時，函數(shù)f（x）在區(qū)間[t，t+2]上為減函數(shù)，此時f（x）的取值范圍是f（t+2）≤f（x）≤f（t）.

部分學(xué)生可能只討論了三種情況，將②③合并，這是出錯的主要原因.

3.軸變區(qū)間定問題

【例3】 求函數(shù)f（x）=x2-2mx+2在區(qū)間[-1，1]上的值域.

分析：對稱軸x=m可改變，對稱軸與區(qū)間[-1，1]的相對位置也是變化的，仿照例2可以求出函數(shù)的值域.

①當(dāng)對稱軸位于區(qū)間的左側(cè)，即m≤-1時，有f（-1）≤f（x）≤f（1）；

②當(dāng)對稱軸位于左半?yún)^(qū)間，即-1≤m≤0時，有f（m）≤f（x）≤f（1）；

③當(dāng)對稱軸位于右半?yún)^(qū)間，即0≤m≤1時，有f（m）≤f（x）≤f（-1）；

④當(dāng)對稱軸位于區(qū)間的右側(cè)，即m≥1時，有f（1）≤f（x）≤f（-1）.

4.軸變區(qū)間變問題

【例4】 求函數(shù)f（x）=x2-2mx+2在區(qū)間[a，b]上的值域.

分析：還是同前面的例子相同的討論.

①當(dāng)對稱軸位于區(qū)間的左側(cè)，即當(dāng)m

②當(dāng)對稱軸位于左半?yún)^(qū)間，即a≤m≤

學(xué)生在初中階段接觸最多的，而且覺得比較難以理解的函數(shù)便是二次函數(shù).為了使學(xué)生更好地理解函數(shù)的單調(diào)性的作用，筆者補(bǔ)充了一節(jié)關(guān)于求二次函數(shù)最值問題的探究性的課.這節(jié)課一方面起到了擴(kuò)充知識的作用，提高學(xué)生對知識的應(yīng)用能力；另一方面培養(yǎng)學(xué)生的探究意識和數(shù)形結(jié)合的思想方法.

一、分類舉例

1.軸定區(qū)間定問題

【例1】 求二次函數(shù)f（x）=x2-2x-3在以下區(qū)間上的最值.

（1）x∈[-2，0]；（2）x∈[0，3]；（3）x∈[2，4].

分析： f（x）=（x-1）2-4.

①若對稱軸在給定區(qū)間的右側(cè)或左側(cè)，此時函數(shù)在該區(qū)間上是單調(diào)函數(shù)，最大值和最小值分別在區(qū)間端點(diǎn)處取得，比如本題的（1）（3）小題；

②若對稱軸穿過區(qū)間，此時函數(shù)在該區(qū)間上先減后增，最小值在對稱軸處取得.而最大值在端點(diǎn)處取得.此時只需計(jì)算哪個端點(diǎn)處的函數(shù)值較大即可，或比較哪個端點(diǎn)距離對稱軸較遠(yuǎn)（端點(diǎn)離對稱軸越遠(yuǎn)，函數(shù)值越大）即可，比如本題的（2）小題；

③函數(shù)的最大、最小值只在區(qū)間的端點(diǎn)或?qū)ΨQ軸處取得.

2.軸定區(qū)間變問題

【例2】 求二次函數(shù)f（x）=x2-2x-3在區(qū)間[t，t+2]上的值域.

分析：隨著區(qū)間位置的改變，對稱軸和區(qū)間的相對位置對函數(shù)值域的影響便一目了然了.

①當(dāng)對稱軸位于區(qū)間的左側(cè)，即t≥1時，函數(shù)f（x）在區(qū)間[t，t+2]上為增函數(shù)，此時f（x）的取值范圍是f（t）≤f（x）≤f（t+2）；

②當(dāng)對稱軸位于左半?yún)^(qū)間，即t≤1≤t+1時，函數(shù)f（x）在區(qū)間[t，t+2]上是先減后增，右端點(diǎn)t+2距離對稱軸較遠(yuǎn)，此時f（x）的取值范圍是f（1）≤f（x）≤f（t+2）；

③當(dāng)對稱軸位于右半?yún)^(qū)間，即t+1≤1≤t+2時，函數(shù)f（x）在區(qū)間[t，t+2]上也是先減后增，此時是左端點(diǎn)t距離對稱軸較遠(yuǎn)，所以f（x）的取值范圍是f（1）≤f（x）≤f（t）；

④當(dāng)對稱軸位于區(qū)間的右側(cè)，即t+2≤1時，函數(shù)f（x）在區(qū)間[t，t+2]上為減函數(shù)，此時f（x）的取值范圍是f（t+2）≤f（x）≤f（t）.

部分學(xué)生可能只討論了三種情況，將②③合并，這是出錯的主要原因.

3.軸變區(qū)間定問題

【例3】 求函數(shù)f（x）=x2-2mx+2在區(qū)間[-1，1]上的值域.

分析：對稱軸x=m可改變，對稱軸與區(qū)間[-1，1]的相對位置也是變化的，仿照例2可以求出函數(shù)的值域.

①當(dāng)對稱軸位于區(qū)間的左側(cè)，即m≤-1時，有f（-1）≤f（x）≤f（1）；

②當(dāng)對稱軸位于左半?yún)^(qū)間，即-1≤m≤0時，有f（m）≤f（x）≤f（1）；

③當(dāng)對稱軸位于右半?yún)^(qū)間，即0≤m≤1時，有f（m）≤f（x）≤f（-1）；

④當(dāng)對稱軸位于區(qū)間的右側(cè)，即m≥1時，有f（1）≤f（x）≤f（-1）.

4.軸變區(qū)間變問題

【例4】 求函數(shù)f（x）=x2-2mx+2在區(qū)間[a，b]上的值域.

分析：還是同前面的例子相同的討論.

①當(dāng)對稱軸位于區(qū)間的左側(cè)，即當(dāng)m

②當(dāng)對稱軸位于左半?yún)^(qū)間，即a≤m≤