數學教學知識評價工具評介及啟示*

陳碧芬， 張維忠

（浙江師范大學教師教育學院，浙江金華 321004）

學科教學知識(PCK)是由舒爾曼(Lee S.Shulman)提出的，它指的是教師在面對特定的學科主題或問題時，如何針對學生的不同興趣與能力，將學科知識組織、調整與呈現，實行有效教學的知識。［1］這是一種使教師與學科專家有所區別的專門知識，是教師專業知識的核心成分和教師專業化的重要標志。［2］PCK具有個體性、緘默性、情境性、動態生成性等特點，而數學教師的PCK被稱為數學教學知識(MPCK)，因此MPCK也具有與一般PCK同樣的特點。MPCK雖然有公共知識，但由于其主要是教師個人教學建構的結果，［3］因此更多地認為它是個體知識，即具有個體性及動態生成性。又由于MPCK不是外顯于個體的，因此它是緘默的。再由于教師的PCK與特定的主題相聯系，某教師在某一主題或問題上擁有豐富的、良好的MPCK，但是并不表示此教師在其它課題上的MPCK也表現良好。因此，在眾多的關于MPCK的研究中，其評價問題一直是一個難點。本文旨在介紹幾種MPCK的評價工具，以期對我國數學教師MPCK評價有所啟示。

一、MPCK評價工具評介

MPCK的評價從總體上看，主要采用試題(問卷)、課堂觀察、訪談等工具。但是，由于目的不同，在評價工具的使用上也有不同側重。下面以美國康乃狄克州基礎教育教師資格考試中采用的PCK評價工具、數學教師教育與發展研究(TEDM)采用的MPCK評價工具及運用德爾菲(Delphi)法設計的MPCK評價工具為例，介紹幾種常見的MPCK評價工具。

(一)美國康乃狄克州基礎教育教師資格考試中采用的PCK評價工具［3］

20世紀80年代末90年代初，美國康乃狄克州實施了基礎教育教師資格考試。這是康乃狄克州教師評估體系中三個層次中的一個。其中，第一個層次是基本技能考試;第二個層次是完成大學本科學位及參加一個教師教育項目;第三個層次是教學第一年進行的各種評價，包括觀察及工作評價，也包括PCK評價。由于考試人數眾多，因此采用紙筆考試及多項選擇題來評價這些教師的PCK。

此考試機構認為適合評估教師PCK的題目應是以下幾種:(1)給一個課時計劃，被測者必須給出此計劃的最理想的補充內容或者最適合此課題的行為目標;(2)給四個工作單或者學生學習活動的描述，被測者必須給出當前工作單或者活動接下來最合適的情形，或者最切合具體目標的工作單或活動;(3)給一個已經完成的工作單或者已經完成的學生工作，被測者必須給出此學生工作最合適的評價，或者提供給學生最合適的反饋、解釋或者補救活動;(4)給出一個學生學習活動的描述，被測者必須給出學生完成此活動所需的技能，或者對此活動最有用的技能;(5)給出一節課的教學目的，被測者必須選擇最適合此課題教學的資源。

通過這些題目選拔了一批數學教師。但是，后來發現被選拔出來的教師的教學效果不一定好，而有一些在測試中取得較差成績的教師的教學效果比有些成績好的教師還要好。分析這些現象，原因可能有以下幾點:一是有些教師不善于表達，而有些教師善于表達;二是有些教師在答題時較為認真，而有些教師卻不夠認真;三是靜態的測試題不能完全反映教師頭腦中“鮮活”的MPCK，這也被認為是最主要的一點。

(二)TEDS-M中采用的MPCK評價工具［4］

國際教育成就評價協會(IEA)從20世紀開始，組織了多次關于數學教育成就的國際比較研究，研究發現:一些發達國家的學生的成績不如包括中國在內的儒家文化圈下的國家的學生。這引起了數學教育研究者尤其是西方學者的思考。他們從課程、課堂教學等方面尋找原因，其中數學教師的專業知識的比較研究也是一個重要方面。為了考察不同國家是如何培養中小學數學教師的，此協會發起并組織了一項關于中小學數學教師教育的國際比較研究——“數學教師教育與發展研究”(TEDS-M)。這項研究主要考察未來教師“為了教學的數學知識”(MKT)與MPCK。

為了能夠體現研究的科學性與客觀性，TEDSM研究人員在“21世紀數學教學”(MT21)項目研究的基礎上借鑒“以德國人為本的COACTIV研究”成果，最終制定了MPCK評價框架和評價工具。此評價框架由三個指標構成，即數學課程知識、數學教學計劃知識和數學教學實施知識。每個指標下又有若干子指標構成，具體如下:

指標1:數學課程知識。其中又分為以下5個子指標:(1)知道數學課程;(2)確立合適的學習目標;(3)明確學習過程中的關鍵點;(4)選擇達到學習目標的可能路徑并且知道課程之間的內在聯系;(5)知道不同的評價目的和形式。

指標2:數學教學計劃知識。其中又分為以下6個子指標:(1)選擇恰當的活動;(2)預設典型的學生反應，包括困難或誤解;(3)設計合適的方法呈現數學內容;(4)聯系教學方法和教學過程;(5)明確解決數學問題的不同方法;(6)選擇合適的評價形式。

指標3:數學教學實施知識。其中又分為以下6個子指標:(1)解釋或表征數學知識;(2)診斷學生的反應，包括困難或誤解;(3)分析或評價學生的數學學習;(4)分析學生問題的內容;(5)對預料之外的教學情況作出反應;(6)提供合適的反饋。

TEDS-M根據此評價框架開發了試題庫、測試模塊和測試手冊，測試題型包括多項選擇題、復雜多項選擇題和問答題三類。同時，由于MPCK是數學教師對特定主題如何進行有效教學的知識，因此TEDS-M還根據“數與運算”、“幾何與測量”、“代數與方程”以及“數據與概率”等不同的知識維度對MPCK進行內容細化并編制了相應的測試題。為了保證在只有60分鐘的測試時間內能覆蓋評價框架中的所有內容，TED-M應用項目反應理論，在測試手冊中采用了輪換模塊設計。同時，為了便于比較，采用了基于項目反應理論的尺度分數來展示測試結果，并且界定了尺度上的錨點。

但是，這種試題測試不能完全檢測出未來教師MPCK，有很多學者采用了與其他方法相結合的方式來反映教師MPCK。如Shuhua An，Gerald Kulm ＆ Zhonghe Wu，Alexandra Corleis， Bj?rn Schwarz＆Gabriele Kaiser等人分別對中美、中德數學教師MPCK進行比較，除了采用或改編TEDM的試題外，還結合課堂觀察、訪談等方法收集數據，能較好地反映出教師 MPCK。［5-6］

(三)運用Delphi法設計的MPCK評價工具

課堂觀察、訪談等作為評價教師MPCK采用的一般手段，可以深入地了解教師MPCK。但這是一件很費時費力的事情，如何才能找到一個有效的工具呢?

Agida Gabil Manizade＆ Marguerite M.Mason認為可以運用Delphi法來設計評價MPCK的工具。他們以中學中幾何、測量、分解與重組圖形為例，選取數學或數學教育研究專家、數學教育專家、數學教師及數學教育管理人員各5名，解釋如何采用Delphi法設計測量教師MPCK的工具。［7］

首先，他們認為MPCK應該包含以下知識:關于有效表征及合適教學技巧的知識;關于某一特定知識困難和誤解的知識;關于學生發展水平和能力的知識;關于數學觀念的知識。

其次，采用Delphi法設置評價MPCK的工具。Delphi法采用的步驟是:

第一步，將初步的調查問卷發給研究對象，請他們做以下幾件事情:(1)瀏覽所有題目;(2)對其中的一些題目進行修改;(3)對每個題目的效度進行打分，分值范圍為1-5分(1表示設計得最差;5表示設計得最好);(4)列出其他的評價或問題;(5)將問卷以郵件、傳真或寄信的方式返還。

第二步，將所有意見和建議匯總后，還要做以下幾件事情:(1)瀏覽所有的評價和打分;(2)瀏覽所有修改過的題目;(3)列出建議修改的地方;(4)列出其他的評價或問題;(5)返回問卷給研究對象。

第三步，重復第一、二步驟，直到達成一致意見。

最后，形成測試MPCK的試題。

比如，Agida Gabil Manizade＆ Marguerite M.Mason請20名愿意參加研究的專家(5名幾何教育研究專家、5名中小學教育專家、5名超過20年教齡的教師及5名數學教育管理人員)對測試教師在幾何與測量這一主題上的MPCK進行評價和修改。經過以上步驟，修改后用于測試MPCK的題目其信度與效度都有所提高。例如，以下是研究者設計的評價教師MPCK試題中的第五題:

Wilson老師要求她七年級的學生比較下圖中表示的三角形與平行四邊形的面積。他們的高是一樣的。

有兩個組的學生得出了正確答案，即它們的面積是一樣的。但是他們的解釋是不同的。

第一組用以下的圖示來解釋:

第二組用以下的圖示來解釋:

哪個組的學生的思維水平高?請說明理由。

哪個組的學生存在數學誤解?如果有，是什么數學誤解導致了學生的錯誤答案?如果沒有，請比較兩種解答方法。如果你是中學教師，當你的學生出現了以上兩種解釋時，你會怎么做?會采取怎樣的教學策略?

然后分別把試題寄給專家組的各個成員進行審核。專家組從問題的清晰度和合理性、表述的簡潔性、準確性與邏輯性等角度提出了意見和建議，最終形成了如下所示的問題:

Wilson老師要求她七年級的學生比較下圖中表示的平行四邊形與三角形的面積。他們的高是一樣的。

有兩個組的學生得出了正確答案，即它們的面積是一樣的。但是他們的解釋是不同的。這兩個組分別用以下圖示來解釋他們的答案:

第一組的解答

第二組的解答

(a)學生在正確解答此題時可能用到哪些重要的數學觀念?

(b)Wilson老師不能確定這兩種解釋都是對的。你怎么看?為什么?

(c)哪個組的學生存在數學誤解?如果有，是什么數學誤解導致了學生的錯誤答案?如果沒有，這兩個組的思維有何不同?

(d)接下來你會采取怎樣的教學策略和(或)任務?為什么?

但是設計這樣的MPCK評價工具，首先需要一個專家組愿意并認真評價這些試題，且能認真提出修改意見和建議。

二、對研制合理、科學的MPCK評價工具的啟示

由于PCK的個體性、緘默性、情境性及動態生成性等特點，決定了評價PCK是一個難點問題。從以上幾種評價工具制定的介紹，我們發現各種工具都有自己的優缺點，難以找到能準確反映教師MPCK的特定工具。但是，從這些評價工具的產生及應用中，我們可以得到以下啟示。

(一)針對不同的需要選用適合的工具

不管是美國康乃狄克州基礎教育教師資格考試，還是TED-M中對未來教師MPCK的檢測，以及運用Delphi法設計的PCK評價工具，都在追求用適合的、足夠多的試題來評價教師MPCK。但是，這些試題都不能完全反映出教師MPCK，從而產生了課堂觀察、訪談等工具來輔助甚至代替。但是，這些方法費時又費力，且涉及的教師相對比較少。我們認為，采用試題跟采用課堂觀察、訪談這兩種方法各有千秋，應根據不同的需要選擇合適的工具。

若是想大面積地、粗略地了解教師MPCK，可以采用試題這一評價工具。例如，想要了解某一高等師范院校約320名數學專業師范生MPCK的整體現狀，對每個師范生都進行課堂觀察、訪談是不可能的。此時可以采用試題檢查，但采用的試題必須經過嚴格的設計，比如Delphi法。采用這種方法，不僅進行了預測(向教師發問卷調查)，而且還向專業人士進行了咨詢。從這個意義上說，這樣研制的評價工具，其效度、信度都是較高的。

若是針對評價個人或者某個群體的教師專業發展，尤其是MPCK發展，采用試題就不是太恰當了。這時可以采用課堂觀察、訪談等方法。這有多方面的原因:第一，訪談提綱中可以包含檢測教師MPCK的試題內容，還可以根據教師的回答進行追問，能更深入地了解教師MPCK;第二，由于MPCK是緘默的，因此通過試題等方法，難以真正完全地反映出教師MPCK，而教師在課堂上的教學行為能較為真實地反映教師的MPCK。因此，通過課堂觀察一方面可以驗證在訪談中教師的回答有沒有不實情況，另一方面可以發現前一次訪談中沒有注意到的情況。這也就意味著訪談不應只做一次，課堂觀察前后都應訪談。

然而，有些情況下，需要兩種方法都采用。比如，教師招聘考試中需要檢測應聘教師的MPCK，那么我們可以多種方法結合。首先，由于參加應聘的教師很多，可以先采用試題檢測應試者的MPCK，選出較為優秀的應試者;然后，再通過課堂觀察、訪談，深入了解，最終選擇合適的教師。

(二)建立MPCK評價工具庫的必要性

綜觀MPCK的研究發現，不同的研究者選擇了教師在不同主題上的MPCK，較為零散和混亂。而且，這些研究也表明，是由一些教育研究者去評價教師MPCK，而沒有教師自我評價MPCK。在中國教育專家不能滿足需求的情況下，教師的專業發展主要還是靠自我反思。既然MPCK是使數學教學最有效的知識之一，那么在日常教學中教師反思自己的MPCK也很有必要。那么，如何反思?怎么才能發現自己關于某一主題MPCK的缺乏呢?如果能夠提供一個教師MPCK的測試庫，就能從一定程度上促進教師有效教學，促進其專業發展。

此庫必須包含以下內容:(1)評價PCK的試題及課堂教學行為分析的要點;(2)試題的參考標準、課堂行為評價參考標準;(3)針對不同的問題或主題，給出相應的策略。需要說明的是，此處的參考標準并不是絕對標準，有時只是提供一些思考的方向;此處的策略也不是針對某一具體問題的具體策略，而是模糊策略，比如看相關的書籍、雜志等。

(三)MPCK評價工具的完善與發展是一個長期的過程

PCK在20世紀80年代提出來后，還沒有一個完全有效的評價工具。由于社會的發展，教師與學生也在發展，因此MPCK中關于學生的知識也在不斷變化;又由于MPCK這一內隱的知識要完全顯化，不僅需要時間，更需要方法;再加上國際上數學課程改革正如火如荼地進行，且課程改革始終進行著，那么數學主題或問題也會有所變化，教師在某一些主題上的MPCK也會有所變化。因此，MPCK評價工具的完善與發展是一個長期的、艱難的過程。

［1］Shulman L S.Knowledge and Teaching:Foundations of the New Reform［J］.Harvard Educational Review，1987，57(1):1-22.

［2］Hashweh M Z.Teacher Pedagogical Constructions:A Reconfiguration of Pedagogical Kontent Knowledge［J］.Teachers and Teaching:Theory and Practice，2005，11(3):273-292.

［3］Carlson R.Assessing Teachers’Pedagogical Content Knowledge:Item Development Issues［J］.Journal of Personal Evaluation in Education，1990，4(2):157-173.

［4］鮑銀霞.TEDS-M對數學教學知識評價工具的研制及啟示［J］.課程教學研究，2013(3):28-32.

［5］An Shuhua，Kulm G，Wu Zhonghe.The Pedagogical Content Knowledge of Middle School，Mathematics Teachers in China and the U.S.［J］.Journal of Mathematics Teacher Education，2004，7(2):145-172.

［6］Corleis A，Schwarz B，Kaiser G，et al.Content and Pedagogical Content Knowledge in Argumentation and Proof of Future Teachers:A Comparative Case Study in Germany and Hong Kong［J］.ZDM:The International Journal on Mathematics Education，2008，40(5):813-832.

［7］Manizade A G，Mason M M.Using Delphi Methodology to Design Assessments of Teachers’Pedagogical Content Knowledge［J］.Educational Studies in Mathematics，2011，76(2):183-207.