奇數階幻方的構造與特征值分析

劉樂樂

（上海理工大學 理學院，上海 200093）

1 問題的提出

關于幻方的研究由來已久，中國古書《易經》中記載的洛書是世界上最早的幻方.隨后，幻方傳入世界各地，引起了廣泛關注，取得了許多成果.幻方不僅具備美感，還蘊含著許多奇特的奧秘，具體可參看文獻［1－3］.隨著計算機的快速發展，幻方廣泛應用于人工智能、圖像處理、圖論及對策論等方面.

定義1 對任意的正整數n≥3，將1，2，…，n2填入n×n的矩陣中，使得矩陣的每行、每列及對角線之和均為同一個數s，這樣的矩陣稱為幻方矩陣（或魔方矩陣），簡稱為幻方，s為幻方值.

顯然，n階幻方中所有整數的和為

按照幻方的定義即知2s＝n（n2＋1）.

文獻［4］通過對幻方矩陣特征值的分析，給出了一種構造奇數階非奇異幻方的方法，但并未給出其特征值的計算公式.文獻［5］給出了幻方的精彩應用案例.文獻［6］討論了奇數階幻方的一種構造方法.除此之外，幻方的構造方法還有很多，在文獻［2］中有詳細的介紹.文獻［7］給出了利用線性空間理論來構造幻方的方法.文獻［8］對奇數階幻方特征值給出了一個猜測：奇數階幻方的特征值均為實特征值，除最大特征值為幻方矩陣的幻方值外，其它特征值正負成對出現.

現對文獻［7］中奇數階幻方的一種構造方法進行改造，給出奇數階幻方的一種代數表示方法.基于這種表示法，應用循環矩陣和對稱循環矩陣的性質，對奇數階幻方特征值進行分析，最后給出奇數階幻方全部特征值的統一計算公式.因此，發現文獻［8］中關于奇數階幻方特征值的猜想是錯誤的.

為了分析奇數階幻方特征值的性質，需要以下的概念與結論.

定義2［9］若n階復矩陣A∈?n×n具有形狀

則稱A 為n 階循環矩陣，記為A＝circ（a0，a1，…，an－1）.稱π＝circ（0，1，0，…，0）為 基 本 循 環 矩陣，即

顯然，π為正交矩陣，則必為正規矩陣，從而π在復數域上可以對角化.因為，πn＝E 且πk≠E（其中，k＜n為 正 整 數，E 為 單 位 矩 陣），所 以，π 的n個特征值分別為1，ε，ε2，…，εn－1，其中，ε為n次單位原根，相對應的特征向量為α0，α1，…，αn－1，可解得

定義3［9］若n階復矩陣B∈?n×n具有形狀

則稱B 為n 階對稱循環矩陣，記為B＝sc（a0，a1，…，an－1）.稱σ＝sc（0，0，…，0，1，0）為基本對稱循環矩陣，即

引理1［9］矩陣A，B 由式（1）和（2）定義，則有表示

2 奇數階n＝2m＋1（m≥1）幻方的構造

引理2中關于奇數階幻方的構造方法引自文獻［7］.

引理2 矩陣M＝n An＋Bn＋Hn為n＝2 m＋1（m≥1）階幻方，其中

即

Bn為An逆時針旋轉90°所得矩陣，Hn為元素全為1的矩陣.

現對這種構造作以下改造.為此，先證明引理3.

引理3 矩陣π 為基本循環矩陣，σ 為基本對稱循環矩陣，則有

證明 易驗證σπn－1＝σπnπ－1＝σπ－1，從而有πσ＝σπn－1成立.往證另一算式成立.由πσ＝σπn－1可得

結合引理2和引理3可得定理1.

證明 由引理1和引理2可將M 寫成

結合引理3及恒等式πn＝π2m＋1＝E，得

3 幻方特征值的計算

現基于定理1求出奇數階幻方的特征值.由于相似矩陣具有相同的特征值，因此，要計算幻方矩陣M 的特征值，只需考慮矩陣P－1MP.結合文獻［10］可得定理2.

定理2 存在n 階可逆矩陣P，使得P－1πP 和P－1HnP 均為對角陣，且

證明 令P＝（α0，α1，…，αn－1），其中，αi＝（1，εi，ε2i，…，ε（n－1）i），i＝0，1，…，n－1.顯然，P 是范德蒙矩陣，從而P 可逆.易驗證P－1πP＝diag（1，ε，ε2，…，εn－1），P－1HnP＝diag（n，0，0，…，0）.由引理3，πσ＝σπ－1，有

記P－1σP＝（aij）n×n，即為

解得

進一步，將P＝（α0，α1，…，αn－1）代入式（3），得uk＝ε2k，k＝0，1，2，…，n－1.

由定理1計算得

因此，結合定理2，有定理3.

定理3 令f（x）＝xm＋1g（x），則

定理4 對任意正整數k，0≤k≤n，有

證明 利用Abel分部求和公式［11］，得

現證明a和b成立.

即定理4成立.

由定理2～4得定理5.定理5給出了奇數階幻方全部特征值的統一計算公式.

定理5 n＝2m＋1（m≥1）階幻方M 的全部特征值為

式中，i為虛數單位，即i2＝－1.

對任意正整數k，εk與εn－k總是共軛的，因此，εk＋εn－k∈?，且有

于是，令φ（λ）＝0，可知M 的全部特征值由式（4）給出.

4 結 論

研究結果表明，奇數階幻方矩陣有實特征值s，其它特征值均為純虛數且共軛出現，其數值由式（4）給出.鑒于此，發現文獻［8］中關于奇數階幻方的特征值的猜想是錯誤的.例如，當n＝3時，3階幻方的特征值分別為其特征值中有純虛數，并非全是實數.

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