一種新的原子結構模型及其計算機演示

吳國玢， FHERRMANN， 章琢之

（1.上海理工大學 能源與動力工程學院，上海 200093；2.卡爾斯魯厄理工學院 物理系，卡爾斯魯厄 76128；3.上海教育出版社，上海 200031）

模型是描述、研究和解釋物理現象或物理過程的基本方法之一.模型可以幫助人們了解并掌握那些他們難以直接體驗或者無法通過直覺認知的物理現象或過程.顯然，模型應該是一種人們已經熟悉（最好直接來自日常經驗）的因而加以信賴的系統.模型一般不可能也不必要與實際的物理系統處處相似.通常，一個模型只要能夠在一定程度上或者部分地為人們描述某個物理系統提供某種方便，那么它就是一種有用的模型.本文作者認為，一個模型是否有效還應看它是否具有某種可操作性（operability），能否用來解決一些實際問題；換言之，一個好的模型不僅應該具有描述或展示的功能，還應該能夠以人們所熟悉的方式對它進行操作，以得出一些與事實相符的有用結果或結論.

目前國內外各種物理教科書和科技文獻中常用的原子模型理論為：原子由帶正電的小而重的原子核和帶負電的大而輕的原子殼層所組成.原子殼層則由圍繞原子核運動的電子云或點狀的粒子電子組成，但電子的位置是不確定的，人們只能給出電子在某一時刻某一空間點附近單位體積內出現的概率.電子雖然繞原子核運動，但并無確定的運行軌道.這種模型與人們的日常經驗相去甚遠，因為人們從未見過這種既沒有確定位置又沒有運行軌道的奇特運動物體.不過主要問題還不在于此，而是在于它的可操作性不強，或者說人們不知道應當如何去有效地操作或運用這個模型來說明或解決一些實際問題.本文提出一種基于薛定諤方程的解——波函數的新模型，以試圖改善上述狀況.

1 電子素模型的建立

以下單電子系統的薛定諤方程是本文討論的出發點

式中，? 為普朗克常量；m 為電子質量；V（r）為勢函數；r和t分別為電子的空間坐標矢量和時間.現在用波函數ψ（r，t），即薛定諤方程的解來定義以下兩個量ρ 和j，即

式中，ψ＊表示ψ（r，t）的共軛函數.根據上述定義和薛定諤方程，經簡單運算后得到［1］

此式具有連續性方程的形式.將上述兩個量ρ 和j分別乘以電子電荷e和電子質量m，便可得到

以及

根據式（3），可以立即寫出以下兩個連續性方程

不難看出，式（4）表述了原子殼層內的電荷守恒，式（5）則表述了原子殼層內的質量守恒.這樣，人們就有依據將原子殼層想象成是一種由連續地分布在原子核周圍的帶電流動物質所組成的.這兩個方程的具體含義是，若在給定空間內的電荷或質量減少，那么必然有等量的電荷或質量從該空間中流出；反之，若該空間內的電荷或質量增加，則必然有等量的電荷或質量從外界流入該空間.由于在隨后的討論中經常會提及這種想象的“物質”，因此不妨為它起一個專門的名字：電子素（electronium）.這樣，ρ就是電子素的密度，而j則是電子素的流密度.由于電子素密度的數值取決于波函數，因而它會隨著空間位置和時間的變化而變化.在原子核附近，電子素密度最大，距離原子核越遠，密度就越小，并無明顯邊界.為便于表示原子的大小，通常取覆蓋90%電子素的半徑為原子半徑.既然電子是由電子素所組成的，那么電子素這一物質就不能任意連續分割，而是一份一份，有其基本單元的.這個基本單元或粒子實際上就是電子，其質量就是電子質量（10－30kg），其電荷就是電子電荷（－1.6×10－19C）.顯然，電子素只能以其基本單元（電子）的整倍數離開或進入原子殼層.換句話說，電子素是一種量子化的物質.

2 用電子素模型表示各種原子狀態

下面接著來考察一下與各種不同的薛定諤方程的解所對應的電子素密度ρ的分布狀況，即原子所處的狀態.眾所周知，薛定諤方程具有特解

與其各種解所對應的各種粒子狀態稱為能量本征態.它們用下標k進行編號.每一種解對應于一個特定的能量值Ek，稱為能量本征值.容易看出，式（6）中的第一個因子uk（r）只與位置r有關，而第二部分則僅與時間t 有關，也就是說，它們是相互分離的.將它們代入式（1），立即得到處于本征態下的電子素密度表達式

此式表明，由于指數項的乘積為1，電子素密度在本征態下只與位置有關而與時間無關.類似地，電子素流密度在本征態下也與時間無關（但不必為零）.這就是為什么本征態也可以稱作定態的緣故.利用關系式ρ＝ψ＊ψ 通過計算，便可繪制出在不同能量本征態下電子素密度分布的二維或三維圖形.圖1所示為氫原子在各種不同定態（基態和激發態）下的電子素密度，圖中，n 為主量子數，s，p，d，f，g則為副量子數l所對應的光譜符號.其中，圖1（a）所表示的是電子素密度分布的二維剖面；圖1（b）是其中一個定態（210）下電子素密度分布的三維示意圖.紅色區域為電子素密度最大之處，藍色則表示密度最小，而黃色所表示的是電子素密度為零的各種表面（節面）.上述圖形實際上已為大家所熟悉，可見電子素模型同樣可以用來形象地表述原子所處的各種狀態.

圖1 各種定態（m＝0）下氫原子內的電子素密度分布Fig.1 Electronium density of hydrogen atom in various states（m＝0）

下面進一步討論所謂的疊加態.由于薛定諤方程是一個線性微分方程，因此作為它的解的波函數滿足疊加原理.這就是說，該方程各本征態解的任何線性組合

都滿足薛定諤方程（其中ak可為任意常數）.與之對應的粒子狀態所以可稱為疊加態.下面討論一種最簡單的疊加態，即由兩個本征函數之和所組成的波函數，即

式中，cA和cB為常數系數.將此式代入電子素密度的定義式（1），由于此時各波函數中含有時間變量的指數部分不能相互抵消為零，最后得到的電子素密度具有形式

式中，C0，C1和C2分別表示僅與空間位置r有關的項，各個三角函數項則僅與時間t 有關，其中ω＝（EA－EB）／?，EA和EB分別為兩種本征態下的能量本征值.

很明顯，電子素密度ρ 在疊加態下與時間有關，即隨時間而變化.它由一個只與位置有關的項及其它隨時間作簡諧振蕩的項所組成.流密度j 的情況與此類似.由于疊加態與時間有關，因而也稱為非定態.具備了關于電子素的基本知識之后，下面就可以通過幾個具體例子來說明如何運用或操作電子素模型.

3 電子素模型的實際應用

3.1 原子的形狀

能量本征態通常用3個量子數n，l，m 加以表征.圖2所示為氫原子在n＝4，l＝3以及m＝1狀態下的電子素密度分布.根據新模型，現在可以將ρ＝ψ＊ψ 當成是一種分布在原子殼層內的具體物質的密度，而不必抽象地或令人費解地將之解釋為電子在某空間內出現的概率的密度.這樣，這個圖形也就可以順理成章地理解為原子形狀的形象化表述，即直接而且直觀地反映出原子的形狀.

圖2 量子數為n＝4，l＝3和m＝1狀態下的氫原子形狀Fig.2 Electronium density of hydrogen atom in the state n＝4，l＝3and m＝1

3.2 原子的角動量和磁矩

在m≠0的狀態下，電子素圍繞著經過原子核的軸線做旋轉運動，所有圓形流線（閉合的圓周線）均位于垂直于旋轉軸的平行平面內.于是，在原子殼層內同時存在著兩種流動：質量流和電荷流.前者具有角動量（angular momentum）；后者則表明原子具有磁矩（magnetic moment）.就這樣，即便運用經典力學和電磁學的概念就能對軌道角動量和磁矩給出令人信服的解釋.更進一步，角動量和磁矩的數值也可以運用電子素模型計算出來，所得結果與根據量子力學本征值方程的計算結果相互吻合.圖3中的箭頭指示出原子中電子素的流動方向.流動方向可以由定義式（2）加以確定，也可以在實驗中根據磁矩的方向來確定.

圖3 定態（431）下氫原子的電子素密度分布及其流動示意圖Fig.3 Electronium density and current of hydrogen atom in the stationary state（431）

3.3 定態下的原子不發生輻射

根據式（7）和前面關于原子定態的討論，已知道在定態下的電子素密度ρ的分布和流密度j 的分布都只與空間位置有關，而與時間無關，即不隨時間而變.電荷分布不隨時間而變，意味著它所產生的電場是一個靜電場；電流分布也不隨時間而變（穩恒電流），則意味著它所激發的磁場也必然是靜磁場，不會輻射電磁波，盡管電子素流動本身存在著加速度.由此不難理解，處于定態的原子不會發生任何電磁輻射.實際上從圖3 也可以直接得出同樣的結論.

大家知道，處于定態的原子不發生電磁輻射是與當時的經典電磁理論相抵觸的，因此玻爾提出了經典電磁理論在原子結構中不適用的假設，建立了他的量子軌道模型.玻爾的理論首次打開了人們認識原子結構的大門，取得了很大成功，但是也存在一定的局限性，比如未能給出上述不適用的充分理由.然而，利用電子素模型進行解釋，簡單明了、令人信服，學生比較容易掌握.

3.4 電子躍遷

電子素模型的另一精彩之處在于它對電子躍遷的描述.要描述電子從一個定態向另一個定態的躍遷只需利用前面討論的關于疊加態的知識，將相應的初態和終態波函數進行疊加就可以了.電子素密度在電子躍遷過程中隨時間的變化可以用前面的公式（9）進行計算，其振蕩頻率ω＝（EA－EB）／?，其中EA和EB分別為初態和終態下的能量本征值.這樣就可以制作出從一個定態躍遷到另一定態的動畫視頻，以對電子素密度的振蕩進行動態演示.一個典型的躍遷大約持續10－8s.在此期間，電子素密度的振蕩次數在107左右.為了使整個躍遷過程能夠用肉眼觀察，作者采用了一種“頻閃（stroboscopic）”技術，將躍遷過程的動畫演示由時間間隔比實際間隔長得多的一系列畫面所組成.這樣，振蕩頻率可減低到似乎整個躍遷過程只發生十幾次或幾十次的程度，適合于人們觀看.雖然動畫無法用書面形式表達，但人們可以從中截取部分圖形加以展示.圖4所示為氫原子從定態（210）躍遷至定態（100）連續過程的示意圖.

圖4 電子素的振蕩：氫原子從一個定態（210）躍遷至另一定態（100）Fig.4 Electronium oscillation：the transition of hydrogen atom from state（210）to state（100）

網 站www.physikdidaktik.uni－karlsruhe.de為廣大讀者提供了一批氫原子躍遷過程的動畫短片視頻，歡迎觀看或下載.

4 歷史的回顧

眾所周知，愛因斯坦對波函數的概率或統計解釋始終不予認同，而且實際上一直持批評態度.他的名言是：“上帝不玩擲骰子的游戲”.電子素模型將波函數抽象的統計概念（概率密度）解釋為一種可流動的具體物質的密度，因而能夠在一定程度上緩解愛因斯坦的質疑或他與哥本哈根學派之間的爭議.

1913年，玻爾以他特有的睿智方式所提出的假設，有效地解決了處于定態的原子不向外輻射能量與經典電磁理論之間的矛盾.整整100年之后，本文又提出一種新的概念來詮釋這個矛盾.這似乎有點巧合，但實際上是人類科學技術的發展使然.

另外值得一提的是，在物理學發展史上，其實早就有人提出過類似于電子素的概念，而且這個概念的歷史看來幾乎與量子力學本身一樣長.比如，薛定諤（Schr?dinger）［2］、馬 德 倫（Madelung）［3］和 多 林（D?ring）［4］等人曾分別于1926，1927和1976年對此進行過探討，并且稱之為馬德倫流體（Madelung fluid）或電子物質（electron matter）.只不過他們因當時科學發展水平和技術條件所限而未能深入研究下去而已.

之前，國內一些出版物［5－6］中曾將electronium一詞譯為“電素”.本文作者認為，應當將之更改為“電子素”，因為不僅從這個術語的構詞，而且從那些物理學大師和前輩們的原意（他們明確指出，電子是由一種分布在原子殼層內的物質所組成的，這種物質可稱為“電子物質或電子流體”）來看，它都是一個只直接與電子相關，而并不涉及原子核的概念.此外，電有正、負之分，而電子素實際上只帶負電荷，因此電子素這個名稱顯然要比電素更加準確、貼切.

5 結束語

本文所介紹的電子素模型具有顯著的創新特色.由于它將抽象的概率密度處理為具體的“物質”密度，因此不僅易于為廣大師生和研究人員所接受和理解，而且還大大增強了模型自身的可操作性.運用或操作這個模型，既可以得出一系列與事實相符的結果或結論，又能使我們對物理學發展史上的某些曲折和爭議獲得進一步的認識.因此，新模型具有繼續深入研究和推廣的價值.

致謝：上海理工大學理學院院長顧錚先教授和華東師范大學朱鋐雄教授為本文提供了不少寶貴意見，作者謹在此表示深切的感謝.

［1］Schiff L I.Quantummechanics ［M ］.New York：McGraw－Hill，1968.

［2］Schr?dinger E.Quantisierung als eigenwertproblem［J］.Annalen der Physik，1926，384（4）：361－376.

［3］Madelung E.Quantentheorie in hydrodynamischer form［J］.Zeitschrift für Physik，1927，40（3／4）：322－326.

［4］D?ring W.Atomphysik und quantenmechanik II.die allgemeinen gesetze ［M ］. Berlin： Walter de Gruyter，1976.

［5］Herrmann F.KPK 中學物理（初中版）［M］.上海：上海教育出版社，2007.

［6］Herrmann F.KPK 新物理教程（高中版）［M］.上海：上海教育出版社，2010.