考慮定子鐵心片間短路時的渦流及渦流損耗的有限元分析

孟大偉 肖利軍 孟慶偉

（哈爾濱理工大學電氣與電子工程學院 哈爾濱 150080）

1 引言

大多數電機使用疊片來抑制感應渦流，減少感應渦流損耗，但渦流損耗仍然很大，特別是當定子鐵心中出現片間短路故障時。故障電流會在鐵心中引起附加損耗，并因此導致局部過熱，如果進一步發展可能會影響附近導體絕緣的整體使用壽命，甚至會引起疊片燒毀或融化。所以對定子鐵心故障區域的渦流及渦流損耗的研究，會更清楚地認識到渦流損耗對電機整體性能的影響。

本文意義在于對定子鐵心故障的模擬。因現在主流的定子鐵心故障模擬的方法很多，但是一般均采用類比法。例如在文獻[1]中，定子鐵心故障的模擬就是通過環繞在定子鐵心周圍的導線獲得的，如圖1 所示。使用短路線圈的方法就是可以避免將單個硅鋼片組成的模型焊接在一起或是使用定位筋固定。而在文獻[2]中提出了一種產生和量化定子鐵心故障的方法，也就是在定子鐵心槽口處引入銅片，如圖2 所示，以便在鐵心疊片中形成短路。以上兩種方法的優點在于，均允許產生非破壞性的故障模擬，因此可以進行重復性深層次的故障現象研究。

圖1 定子鐵心故障仿真的實驗設置Fig.1 Experiment setup for the emulation of the stator core fault

圖2 通過銅片實現的定子鐵心片間短路Fig.2 Short circuit of the stator core lamination through a copper piece

疊片間的短路也可以通過局部焊接實現，一種相似的方法是使用電鉆頭直徑與故障長度相對應的電鉆在任意位置鉆洞。并將該洞焊接上與定位筋一起確保故障電流回路的形成[3]。圖3 所示為疊片焊接的例子。

圖3 焊接的疊片Fig.3 Welded laminations

但是上面的幾種方法并沒有真實地反映出實際片間短路的情況。而且這些方法存在一個很明顯的缺陷，那就是對故障位置的模擬，特別是出現在定子鐵心軛部的故障。定子鐵心故障描述得越精確，對定子鐵心片間絕緣故障的檢測越有幫助。但真實的定子鐵心絕緣故障很難被模擬，并且很難利用有限元方法進行分析。但是對于圖4 中所示的實驗測試鐵心[3]，可以使用本文提出的方法處理定子鐵心絕緣故障，可以測量和分析鐵心中任意位置的片間短路。任意的鐵心絕緣故障可以通過在將扇形片固定在定位筋上之前實現，即破壞該處的絕緣。這樣就避免了其他方法存在的缺陷，并可利用本文提到的方法進行有限元分析。

圖4 對不同位置和強度的片間短路進行研究的試驗鐵心Fig.4 Test core for investigation of interlamination short-circuit for different positions and strength

出現在鐵心疊片中的渦流一般都是通過矢量方程計算[4]。但在本文中，使用文獻[5]中提到的方程并對導體區域加以修正。并使用三維有限元的方法計算硅鋼片平面內的渦流及渦流損耗。對真實的疊片模型和連續體模型進行模擬，并將兩種模型在工頻下產生的有限元結果進行對比分析。

2 方法

2.1 正常情況下的定子鐵心等效電導率和磁導率

對于實際的疊片鐵心，其組成鐵心的硅鋼片的厚度要遠小于集膚深度，并且在集膚深度內渦流會迅速變化，這就要求對每片硅鋼片都進行非常細致的剖分，但這會導致巨大的計算代價。為了避免這個問題的出現，主要的想法就是用一種均質化媒質代替疊片鐵心，并且媒質與疊片鐵心的尺寸相同，并有相同的渦流及渦流損耗。該媒質的電導率就是所謂的等效電導率。

本文疊片材料采用的坐標系是全局笛卡爾坐標系，該坐標系的xOy 平面位于疊片平面上。擁有18根定位筋的連續體模型，位于矩形勵磁繞組的中間，如圖5 所示，且全局坐標系位于勵磁繞組上。勵磁繞組最內側的部分位于鐵心軸線處。繞組與鐵心端部的距離要在一米以上，這樣感應磁通的影響就會最小[6]。由于僅計算疊片內的渦流及渦流損耗，故忽略扇形片接口連接是合理的。

圖5 定子鐵心連續體模型Fig.5 The stator core continuum model

在出版的文獻中有兩種傳統的方法確定等效電導率。在文獻[7,8]中提出了一種各向同性的電導率，可以被寫為

式中 n——硅鋼片數量；

σ——硅鋼片電導率。

在文獻[9]中，作者提出了一種有效但很復雜的各向異性電導率模型。垂直于疊片方向的等效電導率可以通過下面的等式獲得

式中 h,B——定子鐵心軛部高度和鐵心的厚度；

b——鐵心硅鋼片的厚度；

垂直穿過疊片平面的集膚深度δ 可以使用下面的等式近似

式中 μ0——空氣的磁導率，并且等于4×10-7H/m；

f——工頻。

平行于硅鋼片方向的電導率即是所知的

在文獻[10]中，垂直于硅鋼片方向的電導率被簡化為

在這里F 是疊壓系數。這樣連續體的各向異性電導率的等效張量可以被表述為

在文獻[11]中，提出了基于有限元方法的三維方案，該方案采用了各向異性電導率。其最主要的假設就是疊片的厚度相比于典型的趨膚深度很薄。均質化方法在垂直于疊片平面方向的電導率是0。在接下來的情況中，硅鋼片材料的電導率和相對磁導率分別是5MS/m 和2 000，疊壓系數是0.95。

由各向異性電導率的表達式可得

σz=221.9S/m

σx=σy=4 750 000S/m

σz<<σx和σy，所以上面設定垂直于疊片平面方向的電導率為0 是合理的。這樣等效電導率張量就簡化為

上面的表述忽略了疊片鐵心中主磁通感應的渦流并且只描述了平面方向的電流。同時，這種方法僅在低頻（例如工頻）下有效[12]；應用在連續體模型上也有很高的精度。

各向同性電導率定義的局限性在于不能有效地分析由垂直于疊片方向漏磁通產生的渦流，盡管數值很小，但不能忽略其對磁場和總渦流損耗產生的巨大影響。

而各向異性電導率的定義很好地解決了各向同性電導率遇到的問題，并且忽略了平行于疊片平面的主磁通產生的渦流。這部分產生的渦流損耗會在后處理中額外計算。

磁導率張量可以通過文獻[9]給出

在本文中，認為疊片情況下μx=μy=μz=μr，這里μr是相對磁導率。

2.2 定子鐵心發生片間短路時的等效電導率

鐵心故障可以發生在大型旋轉電機疊片鐵心的任意位置，但經常發生在定子鐵心上。當定子鐵心存在片間短路時，沿鐵心周向流動的磁通會在故障處感應出磁動勢，該磁動勢便會在故障處產生故障電流。故障電流沿故障軸向向下流動并沿定位筋返回。圖6 為該現象的示意圖。

圖6 定子疊片鐵心和片間短路產生渦流的示意圖Fig.6 Schematic diagram of the stator laminated core and the eddy currents generated by a short-circuit

由于疊片材料（其中一些也在平行方向）和定位筋回路的電阻率很低，因此故障回路的電流很大程度是由故障區域本身決定的。

基于上面的描述，故障區域可以使用擁有各向異性電導率的塊狀導體模型。但是，在這里要對上面提到的垂直于疊片平面的等效電導率加以修正，即不能認為其為0 或為極小值。根據實際的片間絕緣故障，可以假設垂直于疊片平面的等效電導率為硅鋼片的電導率σ，同時，為避免剖分時故障區與非故障區因尺寸上的差異而產生不必要的矛盾，本文采用三維自適應網格方法對其進行剖分，以使兩者接觸區域附近的網格平滑過渡，并達到預期的精度。通過對故障區域的分析可知，故障區域的相對磁導率也是μr，這樣的假設是相對合理的，因此故障區域的電導率張量可以表示成

2.3 對于各向異性電導率的連續體模型的分析

首先將整個問題區域V 分成渦流區域V1和非渦流區域V2。合成的三維模型使用T，ψ-ψ 方程進行分析，該方程在整個問題域V 內使用感應標量電動勢ψ，在渦流域V1內使用引入的矢量函數T。這里對T，ψ-ψ 方程組進行簡要的敘述，以便于后期參考[13]。

渦流區域V1內

非渦流區域V2內

式中 J——電流密度；

H——磁場強度；

Hs——源電流密度在無限大空間所產生的磁場強度。

通過下面的公式計算磁通密度B 和電場強度E

式中 μ——磁導率；

σ——電導率張量。

T 和ψ 滿足的微分方程是

按照畢奧-沙伐定律預先算出Hs，即

使用伽遼金方法會使上面的方程成為一個對稱的、唯一的方程組，這會使它自身更好地適應Krylov類型迭代計算[14]。

連續體模型和實際疊片模型使用的T，ψ-ψ 方程的邊界條件是

在這里下角標Aniso 代表電導率各向異性的連續體的解，ΓLam是狄利克雷邊界條件[15]。

渦流損耗可以寫成

3 數字示例

3.1 模型分析

利用圖5 中的實際工程模型可以對各向異性電導率的連續體模型進行研究。勵磁繞組的勵磁電流是175A。為了便于進一步的對比分析，忽略了模型邊緣渦流的影響。發生片間短路的實際定子鐵心由4 片0.5mm 厚的硅鋼片組成，并且實際模型的其他尺寸與連續體模型相似，勵磁電流等于連續體模型的勵磁電流。

3.2 渦流計算

實際疊片的模型和連續體的模型均使用一階四面體剖分。利用有限元方法對三維渦流場進行分析，該有限元方法使用了T，ψ-ψ 方程。圖7 所示為發生片間短路故障的定子鐵心的渦流密度，分別顯示了連續體模型和實際疊片模型的結果。在以下情況中均是上面的圖形為連續體鐵心模型而剩下的一個就是實際的疊片鐵心模型。

圖7 渦流密度Fig.7 Eddy current density plot

圖8 繪制了一條穿過定子鐵心故障區域路徑上的渦流密度幅值曲線圖。可以再次注意到非常明顯的渦流效應，這兩個模型都有本質上相同的電流分布。它們的幅值在故障區幾乎相同并且在非故障部分的值接近為0。

圖8 沿指定路徑的渦流密度JFig.8 Graph of the eddy-current density J along a specified path

圖9 中可以看見由箭頭表示的渦流密度矢量，這里箭頭表示在定子鐵心平面內的電流密度矢量，這兩個模型的渦流密度的方向幾乎一樣。

圖9 在鐵心中的渦流密度矢量（箭頭所示）Fig.9 Eddy current density vectors（represented by arrows）in the stator core

從上面的圖中可以注意到定子鐵心故障區域的電流密度比其他區域要高很多。由于故障橫截面積隨著故障區域熱量增長而變大，這就使得故障電阻減小，這樣感應阻抗變成了唯一限制故障電流的因素。對于實際工程問題，出現這樣的現象是很合理的。

3.3 渦流損耗

在有限元分析中，就像這種直接方法的情況，渦流損耗的計算可以直接使用提到的均質化方法計算。由于已經計算了疊片渦流，所以圖10 中顯示了其損耗密度。

可以注意到渦流損耗密度主要集中在定子故障區域。疊片的厚度和鐵磁材料的電阻率是決定渦流損耗密度下限的主要因素。這就意味著在沒有疊片故障的情況下渦流損耗的值很小，甚至接近于0。

4 結論

本文提出的均質化方法用來計算電導率為各向異性的定子鐵心中發生片間短路時的渦流及渦流損耗，并且該方法不必去模擬每個疊片。如果忽略鐵心飽和邊緣效應，這種方法是合理的、可行的。同時在低頻的情況下這些影響也是微乎其微的，特別在工頻的情況下。本文提出的方法可以有效地減少計算資源并滿足計算精度的需要。

圖10 渦流損耗/（W/m3）Fig.10 Eddy current losses

[1]Dela P M,Barrera G R,Bossio G O,et al.Stator core fault diagnosis for induction motors based on parameters adaptation[C].IEEE International Symposium on Diagnostics for Electric Machines,Power Electronics&Drives(SDEMPED),2009:1-7.

[2]Romary R,Demian C,Schlupp P,et al.Real scale experimental devices for stator core fault analysis[C].IEEE International Symposium on Diagnostics for Electric Machines,Power Electronics &Drives(SDEMPED),2011:71-76.

[3]Sang Bin Lee,Gerald,B Kliman,et al.An advanced technique for detecting inter-laminar stator core faults in large electric machines[J].IEEE Transactions on Industry Applications,2005,41(5):1185-1193.

[4]Liu Y,Bondeson A,Bergstr?m R,et al.Element computations of eddy currents in laminated materials[J].IEEE Transactions on Mgnetics,2003,39(3):1758-1765.

[5]Karl Hollaus,Oszkár Bíró.A FEM formulation to treat 3D eddy currents in Laminations[J].IEEE Transactions on Magnetics,2000,36(4):1289-1292.

[6]Ridley G K.Electromagnet field distortion effects on ELCID tests[C].Electrical Machines and Drives,1995:187-193.

[7]Xu J,Lakhsasi A,Yao Z,et al.A practical modeling method for eddy-current computation in laminated magnetic cores[C].Conference Record of the Thirty-First IAS Annual Meeting,Industry Applications Society,1996:1532-1537.

[8]Alfredo Bermúdez,Dolores Gómez,Pilar Salgado.Eddy-current losses in laminated cores and the computation of an equivalent conductivity[J].IEEE Transactions on Magnetics,2008,44(12):4730-4738.

[9]Peter Hahne,Rainer Dietz,Bernd Rieth,et al.Determination of anisotropic equivalent conductivity of laminated cores for numerical computation[J].IEEE Transactions on Magnetics,1996,32(3):1184-1187.

[10]Wang Jian,Lin Heyun,Huang Yunkai,et al.A new formulation of anisotropic equivalent conductivity in laminations[J].IEEE Transactions on Magnetics,2011,47(5):1378-1381.

[11] Viviane Cristine Silva,Gerard Meunier,AlbertFoggia.A 3-D finite computation of eddy currents and losses in laminated iron cores allowing for electric and magnetic anisotropic[J].IEEE Transactions on Magnetics,1995,31(3):2139-2141.

[12]Wang Jian,Lin Heyun,Huang Yunkai,et al.Numerical analysis of 3D eddy fields in laminated media under various frequencies[J].IEEE Transactions on Magnetics,2012,48(2):267-270.

[13]謝德馨.三維渦流場的有限元分析[M].2 版.北京:機械工業出版社,2008.

[14]Liu Yueqiang,Bondeson A,Bergstr?m R,et al.Edge element computations of eddy currents in laminated materials[J].IEEE Transactions on Magnetics,2003,39(3):1758-1763.

[15]Kurt Preis,Oszkár Bíró,Igor Ti?car.FEM analysis of eddy current losses in nonlinear laminated iron cores[J].IEEE Transactions on Magnetics,2005,41(5):1412-1415.