基于狀態(tài)空間法的無接觸供電PDM 調(diào)制建模

張 炯 樓佩煌 錢曉明 武 星

（南京航空航天大學(xué)機(jī)電學(xué)院 南京 210016）

1 引言

無接觸供電（Contectless Power Transfer，CPT）系統(tǒng)由原邊和副邊兩部分組成的松耦合結(jié)構(gòu)。為了獲得較大的電能傳輸，通常原邊能量發(fā)射電路需要很大的恒流激勵(lì)電流[1,2]，導(dǎo)致很大的能量損耗。因此，系統(tǒng)需要?jiǎng)討B(tài)調(diào)節(jié)原邊電流并工作于軟開關(guān)條件下，從而提高系統(tǒng)綜合效率、降低損耗。尤其在物流自動(dòng)化輸送的移動(dòng)供電等高壓、大功率場合，逆變器軟開關(guān)工作狀態(tài)十分必要[3,4]。

常用的諧振系統(tǒng)能量調(diào)節(jié)方式主要有：加入DC-DC 環(huán)節(jié)的直流調(diào)壓調(diào)功（PAM）[5,6]、調(diào)整系統(tǒng)進(jìn)入非調(diào)諧狀態(tài)的脈沖頻率調(diào)制（PFM）[7]、控制逆變器上下橋臂導(dǎo)通相位的脈沖寬度調(diào)制（PWM）[8]。其主要不足有：①增加了輔助開關(guān)電路；②工作頻率變動(dòng)較大，不利于多個(gè)副邊拾電器同時(shí)工作；③一般不具有軟開關(guān)特性，需要通過復(fù)雜的頻率跟蹤才可以實(shí)現(xiàn)ZVZCS。

文獻(xiàn)[9]提出一種ACAC 能量注入控制方法，應(yīng)用于電壓型串聯(lián)諧振的CPT 系統(tǒng)。在每次原邊諧振電流過零時(shí)，控制器根據(jù)反饋誤差信號進(jìn)行控制。這種方法可以實(shí)現(xiàn)軟開關(guān)，但是電路和控制都比較復(fù)雜，還處于理論階段。

文獻(xiàn)[13]給出一種基于軟開關(guān)工作點(diǎn)跳動(dòng)法的能量控制策略，其本質(zhì)是一種具有軟開關(guān)特性的脈沖頻率能量調(diào)制。但是分析發(fā)現(xiàn)，某些補(bǔ)償電路（不帶隔直電容）由于軟開關(guān)工作點(diǎn)數(shù)量極少，導(dǎo)致能量調(diào)節(jié)離散嚴(yán)重，甚至無法按需調(diào)節(jié)。

另外，文獻(xiàn)[10,11]給出一種PDM（Pulse-Density Modulated，PDM）調(diào)制方法，針對RLC 串聯(lián)的二階阻尼系統(tǒng)，通過控制脈沖密度調(diào)節(jié)輸出功率。可實(shí)現(xiàn)近零電流開通和關(guān)斷（ZCS）。但通常系統(tǒng)開關(guān)控制頻率通過交流阻抗法近似求解。

CPT 系統(tǒng)中，原、副邊的諧振電路具有典型的高階開關(guān)非線性特性。傳統(tǒng)的交流阻抗法難以精確計(jì)算控制頻率和實(shí)現(xiàn)軟開關(guān)。例如文獻(xiàn)[12]中，系統(tǒng)的非線性造成滿功率情況下，不再工作于軟開關(guān)狀態(tài)。

本文采用非線性動(dòng)力學(xué)中的頻閃映射方法及不動(dòng)點(diǎn)理論，推導(dǎo)出基于PDM 調(diào)制的系統(tǒng)軟開關(guān)工作點(diǎn)的計(jì)算方法，通過系統(tǒng)不動(dòng)點(diǎn)函數(shù)推導(dǎo)和數(shù)值計(jì)算驗(yàn)證了“近似軟開關(guān)”特性。從而實(shí)現(xiàn) PDM能量調(diào)制模式下，高階非線性系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)時(shí)的軟開關(guān)理論分析和論證。

2 不動(dòng)點(diǎn)理論與分段線性化方法

頻閃映射（stroboscopic mapping）方法是一種離散映射建模方法，即以固定的頻率采樣目標(biāo)系統(tǒng)，通常該采樣頻率與系統(tǒng)工作頻率一致。對狀態(tài)呈周期變化的系統(tǒng)來說，其頻閃映射模型必然對應(yīng)為一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)（fixed point）[13]。

對于m 維線性系統(tǒng)，其微分方程模型狀態(tài)空間描述可以表示為

式中，x為系統(tǒng)狀態(tài)向量，維數(shù)為m；u為系統(tǒng)輸入向量，維數(shù)為n；A為系統(tǒng)狀態(tài)系數(shù)矩陣，是m 階方陣；B為系統(tǒng)輸入系數(shù)矩陣，為m×n 階。

式（1）的解析表達(dá)式如下：

式中，Φ(t)=eAt為系統(tǒng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣；x0為系統(tǒng)初始狀態(tài)。

當(dāng)矩陣A 可逆，且u為常數(shù)時(shí)，則式（2）可以簡化為

CPT 系統(tǒng)應(yīng)用的逆變電路是典型的開關(guān)電路，可以假設(shè)開關(guān)瞬間系統(tǒng)狀態(tài)不變，則整個(gè)開關(guān)電路可以分段線性化為若干線性模態(tài)。假設(shè)系統(tǒng)有k個(gè)線性模態(tài)，ξi為每個(gè)模態(tài)持續(xù)的時(shí)間，各模態(tài)的狀態(tài)映射函數(shù)如下：

系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)時(shí)，諧振網(wǎng)絡(luò)的狀態(tài)呈現(xiàn)周期變化，可得系統(tǒng)周期不動(dòng)點(diǎn)x*為

式中，?為復(fù)合算子，定義為f?g(t)=f(g(t))。

3 PDM 調(diào)制原理建模分析

對于二階阻尼系統(tǒng)，在正弦激勵(lì)下，其時(shí)域響應(yīng)為指數(shù)系數(shù)與正弦的疊加，具有過零等時(shí)特點(diǎn)，PDM 能量調(diào)節(jié)只需要近似按正弦頻率操作，即可實(shí)現(xiàn)軟開關(guān)控制。

CPT 系統(tǒng)諧振電路是典型的高階非線性開關(guān)電路，主要為了分析PDM 調(diào)制在高階開關(guān)電路控制下的可行性及其控制頻率設(shè)計(jì)計(jì)算，并驗(yàn)證其軟開關(guān)特性。本文以LCL 型CPT 系統(tǒng)為例，采用上述分段線性化及狀態(tài)空間法對系統(tǒng)進(jìn)行分析。

LCL 型CPT 系統(tǒng)的典型主電路拓?fù)淙鐖D1 所示。LP1、CP、LP2構(gòu)成原邊諧振電路，副邊采用LS、CS串聯(lián)補(bǔ)償，其中RP1、RP2、RS分別是LP1、LP2、LS的串聯(lián)等效電阻。采用LCL 諧振補(bǔ)償電路，其優(yōu)點(diǎn)就是可以起到類似電壓“Boost”的效果，在低輸入直流電壓下，可以在原邊諧振電容上得到較高的諧振電壓。副邊采用串聯(lián)補(bǔ)償，其優(yōu)點(diǎn)是在諧振頻率下，可以使反射阻抗為純阻性。

圖1 LCL 型CPT 系統(tǒng)主電路等效電路Fig.1 Main circuit of an LCL-type CPT system

假設(shè)逆變器開關(guān)控制為理想開關(guān)，在PDM 控制模式時(shí)，逆變器的輸出電壓電流波形如圖2 所示，其中T為穩(wěn)態(tài)控制周期，Edc為逆變輸出電壓，在每個(gè)周期初始階段，電壓激勵(lì)與電流同相位，持續(xù)時(shí)間分別為t1，t2。在不同的功率下，控制周期T 各不相同，通過T 的變化切換，構(gòu)成了脈沖密度的變化，實(shí)現(xiàn)動(dòng)態(tài)調(diào)節(jié)原邊諧振電流。調(diào)節(jié)t1，t2使電壓電流同相位，實(shí)現(xiàn)電路軟開關(guān)。因此，求解t1，t2和T，可獲得系統(tǒng)的控制參數(shù)。根據(jù)軟開關(guān)條件可以列出方程求解，但狀態(tài)空間轉(zhuǎn)移函數(shù)為超越方程，一般沒有解析解，只能求數(shù)值解。

圖2 PDM 調(diào)制逆變器電壓電流波形Fig.2 Voltage and current of inverter under PDM

根據(jù)每個(gè)電壓周期內(nèi)對應(yīng)的電流周期不同，分為以下兩種情況：

（1）在PDM 模式下，通常改變的只是脈沖的密度，每個(gè)控制電壓周期等于電流周期。每個(gè)脈沖的正半周和負(fù)半周相等，因此假設(shè)脈沖寬度t1=t2=τ。考慮軟開關(guān)特性和電流波形在過零點(diǎn)時(shí)刻不發(fā)生突變，則有脈沖周期T=2nτ，n為自然數(shù)。可見，相同的脈沖寬度下，改變脈沖周期，就實(shí)現(xiàn)了PDM。

（2）當(dāng)每個(gè)控制電壓周期內(nèi)有若干個(gè)電流周期，則t1=t2=k τ，此時(shí)周期T=2 m τ+n τ，m、n為自然數(shù)。該方式需m、n 聯(lián)合能量調(diào)節(jié)，周期內(nèi)有效脈沖占空比調(diào)節(jié)范圍更大，如果求解成功，則功率調(diào)整精度優(yōu)于第一種。

以上兩種情況符合分段線性化條件，適用于本文的建模及其求解。為了簡化分析求解，本文以第一種情況為例，可知，在這種控制模式下，系統(tǒng)可以分段線性化為三個(gè)穩(wěn)態(tài)線性模態(tài)：

模態(tài)1：開關(guān)管Q1，Q4導(dǎo)通，Q2，Q3關(guān)斷，系統(tǒng)輸入變量u1=Edc，模態(tài)持續(xù)時(shí)間ξ1=τ。

模態(tài)2：開關(guān)管Q1，Q4關(guān)斷，Q2，Q3導(dǎo)通，系統(tǒng)輸入變量u2=?Edc，模態(tài)持續(xù)時(shí)間ξ2=τ。

模態(tài)3：開關(guān)管Q1，Q3關(guān)斷，Q2，Q4導(dǎo)通，系統(tǒng)輸入變量u3=0，模態(tài)持續(xù)時(shí)間ξ3=T?2τ。

電路在每個(gè)模態(tài)時(shí)，諧振網(wǎng)絡(luò)參數(shù)不變，則其狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣相同，由式（4）可得各模態(tài)下的狀態(tài)映射函數(shù)為

根據(jù)式（5），可知穩(wěn)態(tài)時(shí)，周期初始狀態(tài)的系統(tǒng)周期不動(dòng)點(diǎn)x*為

求解可得系統(tǒng)的周期不動(dòng)點(diǎn)x*為

對應(yīng)軟開關(guān)電路，系統(tǒng)軟開關(guān)工作條件為開關(guān)瞬間，流過開關(guān)管的電流為0，即零電流開關(guān)（Zero Current Switching，ZCS）。如圖所示，開關(guān)切換時(shí)，各邊界狀態(tài)不動(dòng)點(diǎn)函數(shù)如下：

式中，S為狀態(tài)選擇向量，從狀態(tài)向量中取出軟開關(guān)對應(yīng)的逆變器電流參數(shù)。

式（8）代入式（9）通過簡化可得

令式（10）三個(gè)方程均為0，構(gòu)成系統(tǒng)軟開關(guān)狀態(tài)條件。公式給出的是超越方程，一般沒有解析解，只能結(jié)合實(shí)際系統(tǒng)求解數(shù)值解。為了求解簡便，對系統(tǒng)PDM 調(diào)制做了簡化假設(shè)，使方程只含有一個(gè)未知數(shù)τ。使用一個(gè)未知數(shù)滿足三個(gè)方程，只有在某些特定系統(tǒng)參數(shù)下，才可以獲得全部開關(guān)時(shí)刻的軟開關(guān)狀態(tài)。對于一般的系統(tǒng)，可通過H1(0,x*)=0求解τ，獲得周期初始時(shí)刻的零電流；通過邊界狀態(tài)H2和H3的電流大小驗(yàn)證此時(shí)的近似軟開關(guān)條件。

4 CPT 系統(tǒng)數(shù)值求解

4.1 系統(tǒng)狀態(tài)空間描述

如圖所示系統(tǒng)，根據(jù)互感模型的原理[3]有

根據(jù)基爾霍夫電壓電流定律，結(jié)合式（1），可以建立系統(tǒng)的電路微分方程如下：

令x=(iP1uCPiP2iSuCS)T為系統(tǒng)狀態(tài)向量，u=(ui)分別為系統(tǒng)的輸入向量，則根據(jù)式（1）可知，微分方程可采用狀態(tài)空間法描述為其中

將系統(tǒng)參數(shù)代入式（8）、式（10），并令S=(1 0 0 0 0)，可獲得穩(wěn)態(tài)時(shí)開關(guān)切換時(shí)刻的電流，以此求解不同的脈沖密度時(shí)，軟開關(guān)時(shí)刻對應(yīng)的系統(tǒng)控制脈沖寬度τ，實(shí)現(xiàn)軟開關(guān)。

4.2 不動(dòng)點(diǎn)函數(shù)曲線

以實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)的實(shí)際參數(shù)為例，進(jìn)行數(shù)值求解，系統(tǒng)的參數(shù)見下表。

表 系統(tǒng)參數(shù)Tab. Parameters of CPT system circuit

為了直觀地看出不動(dòng)點(diǎn)函數(shù)的特征，分別取n=2、4、6，計(jì)算各邊界狀態(tài)不動(dòng)點(diǎn)函數(shù)曲線如圖3所示。根據(jù)曲線圖可以看出，通過系統(tǒng)不動(dòng)點(diǎn)函數(shù)曲線圖，可以實(shí)現(xiàn)高階非線性系統(tǒng)軟開關(guān)工作點(diǎn)的數(shù)值求解；并且n 取值不同時(shí)，在τ=25μs 處，不動(dòng)點(diǎn)函數(shù)H1、H2、H3均近似為0，說明在系統(tǒng)該數(shù)值解控制頻率下，調(diào)節(jié)不同的PDM 調(diào)制密度，能獲得近似的ZCS 和諧振電流周期。

圖3 開關(guān)切換時(shí)邊界狀態(tài)不動(dòng)點(diǎn)函數(shù)曲線圖Fig.3 Curves of bounder fixed points functions

4.3 PDM 能量調(diào)制原理

如前所述，給定不同的n，可以調(diào)節(jié)每個(gè)穩(wěn)態(tài)周期中，能量注入的時(shí)間，從而調(diào)節(jié)原邊諧振電流。通過求解表明，給定不同的n，對應(yīng)的系統(tǒng)諧振電流周期基本相同，符合CPT 系統(tǒng)副邊的諧振工作。圖4 所示為系統(tǒng)在不同脈沖密度下，對應(yīng)的功率切換示意圖，其中虛線脈沖所示為逆變器輸出電壓ui的波形，實(shí)線振蕩曲線所示為逆變器輸出電流ip1。

圖4 PDM 工作點(diǎn)間來回切換的示意圖Fig.4 Schematic of working points switchover based on PDM

PDM 能量調(diào)制原理為：對于不同的功率需求，系統(tǒng)根據(jù)誤差反饋在不同的脈沖密度工作點(diǎn)之間來回切換，從而實(shí)現(xiàn)對功率的控制。即在求解確定脈沖寬度后，只需要根據(jù)功率需求調(diào)節(jié)參數(shù)n，達(dá)到調(diào)節(jié)脈沖密度實(shí)現(xiàn)能量控制。

5 實(shí)驗(yàn)研究

為了驗(yàn)證本文關(guān)于PDM 調(diào)制原理的不動(dòng)點(diǎn)函數(shù)的理論分析和軟開關(guān)特性，按照圖1 所示的電路完成了實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)。系統(tǒng)采用ARM 產(chǎn)生PWM 脈沖，然后經(jīng)過IR2130 電路驅(qū)動(dòng)MOSFET 管，以實(shí)現(xiàn)死區(qū)和過電流保護(hù)，樣機(jī)如圖5 所示。樣機(jī)參數(shù)見表，其中，原副邊的互感通過串聯(lián)耦合測試法獲得。系統(tǒng)輸入電壓10V，測量電流探頭轉(zhuǎn)換比例為10mV/A。

圖5 實(shí)驗(yàn)樣機(jī)系統(tǒng)Fig.5 Prototype of IPT

首先驗(yàn)證不動(dòng)點(diǎn)函數(shù)和軟開關(guān)工作點(diǎn)求解，以n=4 時(shí)，脈沖初始時(shí)刻的不動(dòng)點(diǎn)函數(shù)為例。不斷調(diào)節(jié)樣機(jī)控制輸出的脈沖寬度t，觀察示波器電流探頭檢測獲得脈沖初始時(shí)刻的開關(guān)電流大小，實(shí)驗(yàn)結(jié)果和理論計(jì)算曲線H1如圖6 所示。實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，軟開關(guān)對應(yīng)的脈沖寬度為25.6～25.7μs，與理論數(shù)值解25μs 有微弱的誤差，誤差可能由死區(qū)時(shí)間和實(shí)際系統(tǒng)測量誤差和趨膚效應(yīng)等綜合引起。由圖6 可知，實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)與理論計(jì)算結(jié)果的變化趨勢基本吻合，這說明不動(dòng)點(diǎn)函數(shù)的理論分析正確。

圖6 脈沖初始時(shí)刻實(shí)測電流Fig.6 Measuring pulse current at initial time

由上述實(shí)現(xiàn)可知系統(tǒng)在脈沖寬度為 25.6μs 附近，可以獲得軟開關(guān)特性。將此參數(shù)固定為系統(tǒng)脈沖寬度，然后調(diào)節(jié)n 分別為2、4、6、8，使系統(tǒng)分別工作于不同的脈沖密度下，獲得逆變器輸出電壓和電流的實(shí)驗(yàn)波形，如圖7 所示。

圖7 逆變器輸出電流電壓波形Fig.7 Waveforms of prototype voltage and current

由圖7 可知，不同的脈沖密度下，在每個(gè)開關(guān)時(shí)刻，均獲得了近似零電流軟開關(guān)。驗(yàn)證了本文PDM 調(diào)制軟開關(guān)工作點(diǎn)的理論分析和計(jì)算。同時(shí)，在不同的脈沖密度下電流大小明顯不同，實(shí)現(xiàn)了基于PDM 方法的諧振能量調(diào)節(jié)。

6 總結(jié)

為了實(shí)現(xiàn)無接觸供電系統(tǒng)能量控制，本文通過將高階、非線性的CPT 系統(tǒng)分段線性化，基于狀態(tài)空間法建立了系統(tǒng)模型，并根據(jù)不動(dòng)點(diǎn)理論推導(dǎo)出了系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)分段解析函數(shù)式。以此為基礎(chǔ)，提出了基于PDM 能量調(diào)制的系統(tǒng)工作模式，完成了系統(tǒng)控制參數(shù)的計(jì)算，驗(yàn)證了軟開關(guān)特性。最后，開發(fā)了樣機(jī)系統(tǒng)，并對比理論計(jì)算和實(shí)測數(shù)據(jù)。結(jié)果表明，本文的方法完成了系統(tǒng)建模和控制參數(shù)求解，可實(shí)現(xiàn)能量調(diào)節(jié)，對實(shí)現(xiàn)CPT 系統(tǒng)的高效、節(jié)能具有一定的理論和應(yīng)用價(jià)值。同時(shí)，本文的方法也可為其他類似諧振變換電路的建模及穩(wěn)態(tài)工作點(diǎn)分析提供一定的理論參考。

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