基于電壓崩潰指數的極限傳輸容量實用計算方法

姜 臻 苗世洪 尚亞男 侯俊賢 于之虹

（1.華中科技大學強電磁工程與新技術國家重點實驗室 武漢 430074 2.中國電力科學研究院 北京 100192）

1 引言

隨著我國長距離、大容量輸電的出現和逐步發展，輸電距離長、供電范圍大是我國大電網發展過程中的主要特點，這使得我國主干輸電線的輸送能力主要取決于線路的極限傳輸容量[1]。在這種環境下，極限傳輸容量問題已經成為電力系統運行的重要評估指標之一。北美電力可靠性委員會在20 世紀90 年代提出了電網可用輸電能力（Available Transfer Capability,ATC）的概念[2]，定義ATC 為在已有的協議基礎上，在實際輸電網中可用于進一步商業活動的剩余輸電能力。而要計算ATC 就必須先計算系統極限傳輸容量（Total Transfer Capability,TTC）。顯然，如何準確地計算TTC，是電力市場環境下電力系統分析中的一個基本任務，同時，如何快速地計算TTC，更是大電網環境下輸電系統安全穩定運行環節中迫切需要解決的關鍵問題。

目前求解系統極限傳輸容量的主要方法是連續性潮流（Continuation Power Flow,CPF）計算方法[3-8]，它通過在常規潮流方程中添加連續性參數，克服了常規潮流計算方法（如牛頓法等）在潮流解曲線鞍型分叉點處由于常規雅可比矩陣奇異而導致的計算困難，它考慮了系統的電壓、無功及其他非線性安全因素影響，具有相當的準確性，非常適合極限傳輸容量的計算。自從連續潮流問題被提出以來，它在電力系統靜態穩定性評估和系統極限傳輸容量計算等方面得到了廣泛的應用。

但是由于CPF 方法需要從當前運行點開始逐漸增加負荷，逐步計算到系統的電壓穩定臨界點，計算通常比較耗時。而且在CPF 計算過程中，步長的選擇是影響計算效率的關鍵因素之一。步長過小將會使計算效率大大降低，步長過大則有可能影響計算的收斂性[9-12]。此外，在CPF 計算中，常會遇到計算失敗的情況，即CPF 的校正環節計算發散，具體表現為此時無論如何減小步長，校正計算都無法收斂。分析表明造成CPF 計算失敗的原因是擴展雅可比矩陣奇異，而決定擴展雅可比矩陣性態的關鍵因素是CPF 所采用的參數化方法[13,14]。

系統極限傳輸容量是反映大電網環境下輸電系統安全穩定的重要指標，由它可以直觀地反映當前系統運行狀態與穩定極限的接近程度。求解系統極限傳輸容量并不需要計算出完整的PV 曲線。在求解過程中，當系統薄弱環節到達電壓拐點時，整個計算的任務就完成了，通過對此時系統狀態的評價即可求得系統的極限傳輸容量[15-17]。事實上，系統在不同的運行狀態或故障狀態下將有不同的極限傳輸容量，在任何狀態下都保持適當的負荷裕度才可以保持系統的電壓穩定和電網的安全運行[18,19]，因此，系統極限傳輸容量的快速、實時求解擁有極高的實用價值和意義。

本文針對當前系統極限傳輸容量計算還存在的若干問題，提出了一種基于電壓崩潰指數的極限傳輸容量計算模型和實用化算法。該方法以原始牛頓法為潮流計算核心，略去參數化方程，從而不會出現連續潮流擴展雅可比矩陣奇異造成CPF 計算失敗的現象，同時，根據雅可比矩陣信息計算相應的電壓崩潰指數，該參數可以引導整個潮流推演過程，將系統負荷（或發電）狀態準確定位至功率極限點，此外，雅可比矩陣信息還可以自動選取合適的潮流推演步長，確保全網負荷（和發電）變化能夠快速、準確地向系統極限點逼近。整個推演過程以雅可比矩陣為計算核心，不需要每步推演都有完整的牛頓迭代過程，從而使算法總體計算速度大幅提升。對諸多系統的數值計算表明，該方法在保證計算結果準確性的前提下具有較高的計算效率。

2 計算模型

2.1 潮流計算模型

潮流計算方程為

式中，yij和αij為節點導納矩陣元素的幅值和相角，且Yij=yij∠αij=Gij+jBij。

在有n個節點的系統中，假定第1～m號節點為PQ 節點，第m+1～n-1 號節點為PV 節點，第n號節點為平衡節點。將方程組（1）和（2）線性化后，得到方程組

式中，H是(n-1)×(n-1)階方陣；N是(n-1)×m階方陣；K是m×(n-1)階方陣；L是m×m階方陣；J是(n+m-1)×(n+m-1)階雅可比矩陣。

2.2 負荷增長模式

負荷的增長方式視功率交換方案而定，其中最簡單的負荷增長方式為區域比例負荷增長方式,其定義如下[8,16]：考慮具有NL個節點的負荷變化區，假定各節點負荷為PiL+jQiL（i=1,2,…,NL），負荷變化區各節點負荷總和為

當總有功負荷增量為ΔPL時，各節點負荷的變化規律若按式（5）所定義即為區域比例負荷增長方式

式中，ΔPiL表示各節點有功負荷增量；φi為各節點負荷增長功率因數角。

當系統有功負荷增長時，僅由平衡機提供額外發電功率是不現實的，一般同時需要增大系統中可調節機組的有功功率以平衡需求。為此，考慮發電機有功出力調節方式對于系統極限傳輸容量的求取具有實際意義。本文考慮按比例分配方式調節發電機的有功出力。比例分配方式下各發電機參與有功調節所分配的功率增量與其當前有功輸出成正比，即

式中，ΔPiG、ΔPG分別表示各發電機以及總的有功輸出增量；PiG、PG分別表示各發電機以及總的有功輸出；NG為尚有調節能力的發電機數，i=1,2,…,NG。為保持有功平衡，在忽略網損變化的情況下，發電機有功功率的變化量應近似等于負荷變化量，即ΔPG=ΔPL。

區域比例負荷增長方式和發電機有功出力比例分配方式在計算中并不進行發電和負荷功率的優化分布，因而其求解過程簡單、迅速，同時按此方式得到的極限傳輸容量結果也是相對保守的[19]。但是系統在不同的運行狀態有不同的極限傳輸容量，尤其是在故障狀態下系統極限傳輸容量較工況下更小。因此，在任何狀態下都應保持適當的傳輸容量裕度才可以保持電網的安全穩定運行，所以，在保證計算結果準確性的前提下，系統極限傳輸容量的快速、實時求解更有實用價值和意義。

2.3 狀態推演

連續潮流法被應用于電力系統從穩定平衡狀態到穩定極限狀態的推演過程，它的計算模型如下：

式中，x表示系統狀態變量；λ表示系統參數,它主要用于系統狀態的動態轉變，一般來說，λ可以由負荷/發電機運行水平等系統參數量化而成。連續潮流的計算過程包括兩個步驟：預測過程和矯正過程。

在連續潮流計算過程中，常常會遇到計算失敗的情況，即CPF 在校正環節計算發散，具體表現為此時無論如何減小步長，校正計算都無法收斂，這一現象在計算穿越臨界點前后都可能遇到。如果當計算穿越臨界點后，在計算曲線的下半分支遇到計算發散，這時只是無法得到完整的PV 曲線，而并不影響極限傳輸容量的計算和精確臨界點的求取。但如果在曲線的上半分支上計算發散，將無法得到確切的極限傳輸容量及其臨界點。文獻[13,14]分析表明造成CPF 計算失敗的原因是擴展雅可比矩陣奇異，而決定擴展雅可比矩陣性態的關鍵因素是CPF所采用的參數化方法。針對這個問題，本文在狀態推演中將以原始牛頓法為潮流計算核心，略去參數化方程，從而避免連續潮流擴展雅可比矩陣奇異造成CPF 計算失敗的問題，進而減少連續潮流計算過程中魯棒性控制的時間成本，節約計算時間。

將負荷增長模式量化為λ，λ即是每步狀態推演的預測步長Δλ之和，因此，推演狀態的節點注入有功、無功向量計算如下：

式中，P0、Q0分別表示基態節點注入有功、無功向量。由式（9）和式（10）可推得有功、無功增量方程如下：

因此，狀態推演的正切向量TV定義為

同時，狀態推演的預測步長采用形式[20]為

式中，|| ·|| 表示歐幾里德范數；k為一個加速或減速步長推演的加速比標量。

由于狀態推演過程需要由當前運行點開始逐漸增加負荷，逐步計算到系統的電壓穩定臨界點，計算通常是比較耗時的，而且在計算過程中，步長的選擇是影響計算效率的關鍵因素之一，步長過小將會使計算效率大大降低，步長過大則有可能影響計算的收斂性。本文所采用的狀態推演步長Δλ（見式（14））有自動調節的功能，即在距離穩定臨界點較遠的系統狀態下步長較大，而在距離臨界點較近的系統狀態下步長較小。隨著PV 曲線臨近臨界點，雅可比矩陣J將出現主特征值為0 的現象，根據式（13）可知，此時正切向量TV的歐幾里德范數理論上將趨近無窮大，也就是說，當系統狀態臨近臨界點時，預測步長Δλ將逐漸減小直至為0。因此，該步長推演同時兼顧了計算的時間效率和準確性，仿真分析驗證了其這個特點。

3 電壓崩潰指數

根據式（13）、式（14）可知，在臨界點附近，預測步長較小，此時則可能出現在臨界點附近狀態推演次數過多的現象。因此，為了更好地反映PV曲線逼近臨界點的趨勢，同時，也是為了減少在臨界點附近狀態推演次數，減小式（13）、式（14）中求解J-1和||TV|| 的計算量，需要設計一個參數來引導整個狀態推演過程準確、快速地向臨界點推進。

對于環境要素(見圖1),事件e2的發生地點同時也是事件e3和事件e4的發生地點,這時就要在事件e2的環境要素屬性lid中進行標注.

實際上，求解系統極限傳輸容量并不需要描繪出完整的PV 曲線，PV 曲線的上半支曲線才是有意義的。如圖1 所示，當曲線到達臨界點的時候，整個狀態推演和潮流計算的任務就完成了，通過對此時系統狀態（節點電壓及功角）進行分析，即可以求得系統極限傳輸容量。因此，如何準確、快速地將整個狀態推演過程及系統負荷（和發電）狀態準確引導并定位至功率極限點（臨界點）是至關重要的。

圖1 PV 曲線示意圖Fig.1 Schematic diagram of PV curve

當PV 曲線接近臨界點時，用于評價雅可比矩陣主特征值的電壓崩潰指數IC將趨近為0[21]。其中電壓崩潰指數IC定義為

式中，TV表示狀態推演的正切向量，上標t 表示相量的轉置；J為雅可比矩陣。定義狀態推演結束判據如下：

式中，ICset為電壓崩潰指數門檻值，當電壓崩潰指數IC持續下降并小于該門檻值時，表明當前系統狀態可以近似為臨界點狀態，整個狀態推演過程即可結束。設置該判據可以避免因在臨界點附近預測步長較小而出現狀態推演次數過多的現象，同時，也可以改善因為推演次數過多而造成的求解J-1和||TV|| 的低時間效率問題。

4 流程分析

4.1 系統極限傳輸容量計算流程

根據前述分析可知，基于電壓崩潰指數的極限傳輸容量計算流程如下：

（1）根據在線數據計算系統初始潮流，并依據牛頓法最后一次迭代的雅可比矩陣J求解初始的狀態推演正切向量TV、預測步長Δλ以及電壓崩潰指數IC。

（2）對潮流解進行靜態安全約束校驗。如不滿足約束校驗，則直接進入系統極限傳輸容量評估模塊，如滿足約束校驗，則進入下一個流程。

（3）對所求解的電壓崩潰指數IC按照判據（16）進行評估。當滿足判據時，表明所推演的系統狀態已經接近系統臨界點，即停止推演，進入極限傳輸容量評估模塊，如果不滿足判據，則進入下一個流程，繼續狀態推演計算。

（4）狀態推演過程。根據前一步推演所得的預測步長Δλ在前一個推演狀態下增加負荷，并根據潮流計算求解出新的推演狀態點，同時，更新相應的正切向量TV、預測步長Δλ以及電壓崩潰指數IC數值，并進入流程（2）的計算，直至狀態推演過程結束。

完整的極限傳輸容量計算流程如圖2 所示。

圖2 基于電壓崩潰指數的極限傳輸容量計算流程Fig.2 Flow chart of voltage collapse indices based method for computation of total transfer capability

4.2 簡化計算流程

根據式（13）～式（15）可知，狀態推演過程中正切向量TV、預測步長Δλ以及電壓崩潰指數IC的計算都離不開牛頓雅可比矩陣，因此，整個狀態推演過程以雅可比矩陣為計算核心。然而，牛頓潮流每次迭代都會生成相應的雅可比矩陣，因此在計算TV、Δλ以及IC時并不需要每步推演都有完整的牛頓迭代過程，理論上只要進行一次牛頓迭代即可評估相應的TV、Δλ和IC值。當電壓崩潰指數IC滿足狀態推演判據（16）后，進行一次完整的牛頓潮流計算即可完成系統極限傳輸容量的評估。

隨著系統狀態向臨界點推進，完整法牛頓迭代之后的雅可比矩陣J會出現主特征值為0 的現象，也即是說，利用完整法是可以保證電壓崩潰指數收斂至0 及系統狀態收斂至臨界狀態點的。由此可見，系統狀態本身就包含了雅可比矩陣主特征值的信息，即系統狀態向臨界點推進的同時，雅可比矩陣主特征值也在向0 收斂。由于簡化法在中間系統狀態下只進行一次雅可比矩陣計算，雅可比矩陣收斂程度不高，其主特征值向0 收斂的速率較完整法會小一些，盡管如此，由于系統狀態向臨界點的推進，雅可比矩陣主特征值向 0 收斂的趨勢是不會改變的，這就是利用簡化法也能保證系統狀態收斂至臨界狀態點的原因。

由于不用在每一步的狀態推演中進行繁瑣的牛頓迭代，這種簡化算法可以大幅提升系統臨界點極限傳輸容量的計算速度，但也正因在中間的狀態推演過程中沒有完整的牛頓迭代，這種計算是無法保證所有中間推演狀態滿足系統靜態安全約束條件的。盡管如此，由于這種推演計算求解過程簡單、迅速，并且能實時、準確反映系統臨界點的傳輸容量，即理論上的系統極限容量，因而這種推演算法在快速、實時評估電網的安全穩定裕度領域依然有極高的實用價值和意義。

基于電壓崩潰指數的極限傳輸容量簡化計算流程如圖3 所示，仿真分析驗證了該方法的有效性。

圖3 基于電壓崩潰指數的極限傳輸容量簡化計算流程Fig.3 Flow chart of voltage collapse indices based simplified method for practical computation of total transfer capability

5 算例分析

5.1 新英格蘭機39 節點系統算例分析

為驗證本文所提出系統極限傳輸容量算法的有效性，將本文提出的方法對新英格蘭10 機39 節點系統進行了分析計算，該系統基準電壓為100kV，基準功率為100MV·A。如圖4 所示，取節點17-16，4-14，6-11 之間的聯絡線進行系統分解，將該系統分為A、B 兩個區域。區域A 有5 臺發電機和12個負荷節點，區域 A 的總發電量和總負荷分別為3 255MV·A、3 982.5MW；區域B 包括5 臺發電機和7 個負荷節點，區域B 的總發電量和總負荷分別為3 097.5MV·A、2 167.6MW。因此，系統基態情況下，區域B 需要向區域A 輸送功率。

圖4 新英格蘭39 節點系統Fig.4 New England 39-bus system

當狀態推演的預測步長加速比k設置為0.1 時，預測步長較小，按照完整極限傳輸容量計算流程（下文簡稱為完整法）、簡化極限傳輸容量計算流程（下文簡稱為簡化法）以及傳統連續潮流法（下文簡稱為傳統法）計算所得輸電斷面7-16，4-14，6-11 的極限傳輸容量見表1，結果顯示完整法、簡化法以及傳統法所求得的結果非常接近，從而驗證了基于電壓崩潰指數的極限傳輸容量算法的有效性。

表1 三種方法的極限傳輸容量結果Tab.1 Total transfer capability results of three method s

利用完整法所求的系統關鍵站點4 的PV 曲線上半支曲線如圖5 所示，系統狀態經過31 次推演達到臨界點。同時，電壓崩潰指數IC隨同負荷增長模式量化參數λ變化曲線如圖6 所示，由該曲線可以看出，當完整法完成初始潮流計算之后，第一個電壓崩潰系數IC才出現，這符合圖2 完整法的計算流程。當電壓崩潰指數IC滿足判據（16）時，即IC接近0 時，狀態推演所得的PV 曲線也達到了系統臨界點。此外，該曲線還顯示狀態推演步長在距離穩定臨界點較遠的系統狀態下步長較大，而在距離臨界點較近的系統狀態下步長較小，具有自適應條件功能，符合前述的理論分析。

圖5 完整法追蹤的站點4 PV 曲線Fig.5 PV curve of bus 4 tracked by intact method

圖6 完整法跟蹤的站點4 的IC-λ曲線Fig.6 IC-λ curve of bus 4 tracked by intact method

圖7 顯示了基于電壓崩潰指數的極限傳輸容量完整法與傳統算法的PV 曲線計算結果對比圖。由于傳統法沒有依賴電壓崩潰指數IC的引導，必須描繪一條完整的PV 曲線才能求取系統的功率極限點，并且其在功率極限點附近不具有狀態推演密集的自適應調節功能。本算例中，新算法推演次數為 31次，計算總時間為0.801s，而傳統法推演次數為65次，計算總時間為5.377s，因此，新算法在計算速度上優勢明顯。同時，圖7 也顯示了新算法與傳統算法所求解的功率極限點結果非常接近。

圖7 傳統法與新算法的結果對比Fig.7 Results comparison of the traditional method and the novel algorithm

由于簡化法不用在每一步的狀態推演中進行繁瑣的牛頓迭代，所以簡化法是無法描繪狀態推演過程中的PV 曲線的。圖8 顯示的是預測步長加速比k為0.1 時的系統關鍵站點4 的IC-λ曲線。由于狀態推演在中間狀態的牛頓計算中沒有進行充分的迭代，所以提取用于求取正切相量TV、預測步長Δλ以及電壓崩潰指數IC的雅可比矩陣J中的主特征值相對較大，進而造成狀態推演過程中電壓崩潰指數IC衰減的速率也會相應降低，因此，相較于完整法，簡化法的狀態推演次數更多。以輸電斷面4-14為例，分別采用完整法和簡化法對不同預測步長加速比k所求極限傳輸容量及狀態推演次數的結果進行對比，其結果見表2。表2 的結果顯示：①同種加速比下，簡化法推演次數較完整法更多，符合前述分析；②預測步長加速比越大，推演次數越少，符合實際情況；③預測步長加速比越大，相應的極限傳輸容量結果越趨于保守，但總體上計算精度較高。

圖8 簡化法跟蹤的IC-λ曲線Fig.8 IC-λ curve of bus 4 tracked by simplified method

表2 兩種方法在不同預測步長加速比下的結果對比Tab.2 Results in different prediction step sizes accelerated ratio two methods

之所以采用簡化法，是由于這種推演計算求解過程簡單、迅速，并且能實時、準確地反映系統臨界點的傳輸容量。然而簡化法表現出比完整法更多的推演次數卻并不會增加極限傳輸容量的總體計算時間，下面一節將詳細分析兩種算法的計算時間效率。

5.2 計算時間效率分析

為分析本文所提出系統極限傳輸容量算法（完整法和簡化法）的計算時間效率，將本文提出的兩種方法以及傳統法對IEEE 30、New England 39、IEEE 57、IEEE 118 及IEEE 300 節點系統進行分析計算。表3～表5 分別提供了預測步長加速比為0.1、0.3和0.5 時的完整法和簡化法計算時間分析結果。傳統法對此五個系統的運算時間分別為 5.261s、5.377s、18.967s、35.734s和114.542s。從該結果中可得出如下結論：

（1）簡化法較完整法推演次數更多，但總體計算時間較少，原因是簡化法在推演系統中間狀態過程中不進行完整的牛頓迭代計算，因此雖然簡化法推演次數較多，但總體計算時間較完整法還是減少了。

（2）加速比越大，系統狀態推演次數和算法總體計算時間越小。

（3）對于不同的系統模型，通過選擇合適的預測步長加速比k，可以達到在確保準確計算的前提下快速求解極限傳輸容量的目的。

（4）當系統節點較多，拓撲較為復雜的情況下，雖然簡化法無法校驗靜態安全約束條件，但其在反映系統臨界點的傳輸容量上擁有性能優良的時間優勢。

（5）新算法，即完整法和簡化法在計算速度上較之傳統法都更加快速，時間優勢明顯。

表3 加速比k 為0.1 的時間分析結果Tab.3 Time analysis results when accelerated ratio is set as 0.1

表4 加速比k 為0.3 的時間分析結果Tab.4 Time analysis results when accelerated ratio is set as 0.3

表5 加速比k 為0.5 的時間分析結果Tab.5 Time analysis results when accelerated ratio is set as 0.5

6 結論

本文針對目前系統極限傳輸容量計算還存在的若干問題，提出了一種基于電壓崩潰指數的極限傳輸容量計算模型和實用化算法。該方法以原始牛頓法為潮流計算核心，略去參數化方程，避免了擴展雅可比矩陣奇異造成連續潮流計算失敗的現象，同時，根據雅可比矩陣信息計算相應的電壓崩潰指數引導整個狀態推演過程，將系統負荷（或發電）狀態快速、準確定位至功率極限點，此外，該算法還可以自動選取合適的狀態推演步長，確保全網負荷（和發電）變化能夠快速、準確地向系統極限點逼近。對諸多系統的數值分析表明，該算法在保證計算結果準確性的前提下具有較高的計算效率，具有極高的實用價值。

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