三角形橫向荷載作用下的簡支梁彎曲分析

付明春，李殿平

(大連海洋大學，遼寧 大連116300)

在實際工程中，某些梁和立柱桿件同時受縱、橫兩個方向載荷作用，其變形為壓彎組合變形.對彎曲剛度很大的桿件，由于彎曲變形微小，軸力引起彎曲應力和變形可以忽略不計，可按線彈性疊加原理確定梁的最大撓度和最大彎矩［1］. 工程實際中，若橫向荷載引起的彎曲撓度使截面形心偏離原位置的距離較大，軸力引起的彎矩就必須予以考慮.目前對橫向荷載為均布荷載時的情況已有討論［2］，而對橫向三角形荷載作用下的最大撓度和最大彎矩計算還沒有深入研究.在水利、建筑工程中，有些結構如擋土立柱、放水閘門的胸墻等，其橫向荷載多按三角形規律分布，故研究三角形分布的橫向荷載引起的縱橫彎曲具有現實意義.筆者就此情況展開研究，給出梁或立柱桿件在三角形橫向荷載作用下產生縱橫彎曲變形時的最大撓度和最大彎矩數值和位置的確定方法，并以水閘結構中的胸墻為例，闡明所推導公式的具體應用.

1 撓曲線微分方程的建立和通解確定

圖1為同時受橫向荷載和軸向荷載作用的簡支梁，其中橫向荷載集度為q(線性分布)，軸向力為F，x 截面上的彎矩為

式中:M 為彎矩;l 為桿件長度;F 為作用在桿件兩端的軸向力;y 為桿件的撓度;x 為任意位置處點的橫坐標.

圖1 簡支梁同時受軸向力和三角形橫向荷載作用的受力圖

于是，可得撓曲線微分方程為

式中:E 為材料的楊氏彈性模量;I 為桿件橫截面對中性軸的慣性矩;x 為任意位置處點的橫坐標.

這是一個二階線性非齊次微分方程.其解為齊次方程的通解加上非齊次方程的一個特解. 齊次方程的通解為Y，相應的齊次方程為

特征方程r2+k2=0 的通解是r = ±ik.故齊次方程的通解為

設非齊次方程的一個特解是y*，對于形如y″+py' +q=pm(x)eλx型的常系數方程具有標準的解法.由于這里，λ=0 不是齊次方程的根，于是可設

將此一元4 次多項式代入原方程，使用待定系數法有:

可求出c 值，即

由6b+k2d=0，得d=0.由k2e+2c=0，求得

故y*=ax4+cx2+e，其中a，c，e 如上式所示，則

方程的通解為:y=Y+y*，則

當x=0，y=0，x=l，y=0 時，分別求出c1，c2.

將c1，c2代入通解方程(6)，獲得最終表達式:

2 跨中撓度與彎矩分析

因荷載為非均布荷載，故撓度最大值不在跨中，但實驗表明其值與跨中(即x =l/2)處的撓度接近［3］.如果取跨中(即x =l/2)值代替，即將x =l/2代入式(7)中可得:

考慮到跨中撓度對跨中彎矩的影響，可以根據跨中(x=l/2)處的撓度求出跨中彎矩，即

3 最大彎矩與最大撓度分析

由式(1)給出的彎矩函數可知，若不考慮軸向力F 的影響，梁的彎矩函數應該為

對該式求導并令導數為0，得

考慮軸向力F 產生的彎矩影響［4－5］，當時，彎矩

在此，需要說明的是，式(11)和式(12)僅由橫向力彎矩函數推導而得.

4 實例分析

工程實際當中，帶有胸墻的水閘可以簡化為如圖2和圖3所示的力學結構簡圖［6］，與圖1相似.現模擬實際情況，通過文中導出的公式對胸墻的撓度和彎矩進行分析和計算.

圖2 胸墻力學結構簡圖

圖3 胸墻結構的受力圖

某水閘結構中的胸墻采用10 號工字鋼，跨度l=2 m，I =245 cm4，E =200 GPa，水荷載最大集度q=20 kN/m.在不同軸向力F 作用下，根據式(8)，(9)，(11)，(12)計算x=l/2(跨中)時截面上的撓度和彎矩，結果見表1.

表1 撓度和彎矩計算結果

以表1中數據8.4%為例，其計算表達式為

由表1可知:當軸向力較小時，對彎矩值影響不大;當軸向力較大、在橫截面上產生的壓應力接近材料的比例極限時，構件橫截面上的最大彎矩和最大撓度與不考慮軸向力、只有橫向荷載作用時產生的最大彎矩、最大撓度相比約增加了10%左右. 實例中給出的10 號工字鋼的比例極限為200 MPa［7］，軸向荷載為80 kN 時，截面的應力為

式中:A 為10 號工字鋼的橫截面面積，mm2;M 為桿件的最大彎矩，N·mm;Wz 為10 號工字鋼的抗彎截面系數，mm3.

該結果沒有超過材料的比例極限200 MPa. 可見，考慮軸向荷載作用對最大彎矩和最大撓度的影響時，最大撓度的位置接近于x =l/2 處，最大彎矩的位置接近于處. 綜合分析，最大撓度和最大彎矩一定在x=l/2 和之間的某截面.

工程中若要進一步確定最大彎矩和最大撓度的相對精確位置，可采用試算法進行計算［8］. 在此，以軸向荷載為80 kN 為例確定最大撓度和最大彎矩的位置.將不同的x 坐標(坐標差取0.05l)分別代入式(1)和式(7)進行計算.結果見表2.

表2 最大彎矩和最大撓度試算結果

從表2可以看出，最大彎矩在0.65l 處，最大撓度出現在0.55l 處.

5 結 語

1)應用文中給出的方法可對水閘結構中的胸墻、煤礦頂板的支護桿件等進行穩定性分析與計算、分析穩定性事故原因等，可以避免大量繁瑣的計算，在工程實際中具有重要的意義.

2)以上的分析僅限于對桿件在xy 平面內的縱橫彎曲變形的研究，如果桿件在xz 平面內彎曲剛度較小，還需進行穩定性分析.

［1］李文飛，李玄燁，黃根爐. 基于縱橫彎曲梁理論的水平井管柱摩阻扭矩分析方法［J］.科學技術與工程，2013，13(13):3577－3583.

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［4］李殿平，李整建.工形變截面鋼折拱梁的受力分析［J］.焦作大學學報，2010(4):98－99.

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［6］楊曉偉，趙海峰，韓志虎. 拉西瓦水電站泄水壩段進水口胸墻模板設計制作及施工［J］. 水力發電，2009，35(11):30－31.

［7］北京鋼鐵設計研究總院. GB 50017—2003 鋼結構設計規范［S］.北京:中國計劃出版社，2003.

［8］李成，許曉芳.壓桿縱橫彎曲的高階應變理論解［J］.新鄉學院學報:自然科學版，2010，27(1):16－18.