信號時域和頻域采樣函數周期性與原信號的關系

李巧玉，馮曉賽

摘 要：本文對信號的時域和頻域函數采樣后，所對應的頻域函數和時域函數與原信號的周期關系進行了詳細的探討。

關鍵詞：信號；時域；頻域；抽樣；周期性；Matlab仿真

0 引言

現實中的信號非常復雜，連續信號經過"抽樣"，再對得到的抽樣信號量化、編碼變成數字信號。信號的抽樣是對信號的初步處理，同時也是對具體信號性質正確分析的前提和基礎。信號的"抽樣[1]"是抽樣定理的基礎。正確理解和應用信號的時域和頻域"抽樣"過程，并且理清并學會應用他們之間的復雜的周期關系，對今后的學習和研究大有裨益。

1 抽樣過程

本文所要討論的問題都是在"抽樣"的基礎上進行的，首先給出下面"抽樣"的定義：

"抽樣"就是利用抽樣脈沖序列p（t）從連續信號f（t）中"抽取"一系列的離散樣值，這種離散信號通常稱為"抽樣信號"，并且以fs（t）表示。

2 連續信號的時域抽樣[2，3]

抽樣脈沖序列p（t）的傅里葉變換為p（w）=F[p（t）]；

抽樣后信號fs（t）的傅里葉變換為Fs（w）=F[fs（t）]

本節我們將給出連續信號的時域抽樣的具體過程。如下：

為了簡化過程采用均勻抽樣，并且抽樣周期為Ts，對f（t）的時域抽樣即為：

fs（t）=f（t）p（t）

由于p（t）是周期信號，根據周期信號傅里葉變換可以得到它的傅里葉變換為：

P？棕=2π■P■？啄？棕-n？棕■

其中P■=■■pte■dt

由頻域卷積定理得到

F■w=■P■Fw-nw■ （1）

從（1）式中我們可以發現：信號在時域被抽樣后，它的頻譜 F■w是連續信號頻譜Fw的形狀以抽樣頻率w■為間隔周期地重復而得到，在重復的過程中幅度被p（t）的傅里葉系數pn所加權.因為pn只是n的函數，所以Fw在重復過程中不會使形狀發生變化。

3 單脈沖信號的頻域抽樣

由于單脈沖信號的頻域是連續函數，為了與前面的連續信號的時域抽樣進行對照，在這一節我們給出單脈沖信號的頻域抽樣的過程。

假設有一連續頻譜函數F？棕，它對應的時間函數為Ft。如果F？棕在頻域中被間隔為？棕1的周期序列？啄■？棕抽樣.同時域抽樣相同，F？棕的抽樣也滿足

F1？棕=F？棕？啄■？棕

周期序列？啄■？棕的逆變換為：

. F■[？啄■？棕]=■■？啄t-nT■=■？啄■t

再由時域卷積定理得到f1t=ft*■■？啄t-nT■，這樣

f1t=■■？啄t-nT■

上式表明如果ft單脈沖信號的頻譜被間隔為？棕■的沖激序列抽樣，則在時域中相當于ft以T■為周期進行周期延拓，信號強度為原來信號的■倍。

4 離散時間信號的頻域采樣[4，5]

序列 的傅里葉正變換為：Xe■=■xne■

現在以■為采樣間隔，對Xe■進行等間隔采樣，得到：■■k=Xe■|■=■xne■

由上得知■■k是以N為周期的頻域函數。

根據離散傅里葉級數理論，■■k必然是一個周期序列■■n的DFS系數。所以■■k的IDFS為：

■■n=IDFS[■■k]=■xm■■e■

由于■■e■=1，m=n+iN，i為整數0，m為其他值，所以

■■n=IDFS[■■K]=■xn+iN（2）

由（2）式說明頻域采樣■■k所對應的時域周期序列■■n是原序列x（n）的周期延拓序列，并且延拓周期為N。

5 結論

本文重點討論了時域抽樣和頻域抽樣的詳細過程和信號的時域和頻域函數采樣后，所對應的頻域函數和時域函數與原信號的周期關系。最終我們得到了對模擬信號進行時域等間隔采樣，頻域采樣信號的頻譜是原模擬信號頻譜的周期延拓函數。對連續頻譜函數在頻域等間隔采樣，則采樣得到的頻譜對應的時域序列必然是原序列的周期延拓序列的結論。類似的結論對離散時間信號也有同樣適用。綜合以上，得到的最終結論為：時域采樣，頻域周期延拓，頻域采樣，時域周期延拓。

參考文獻：

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