矩陣跡的性質與應用

趙馨 魏福紅 章樹玲

摘要：關于矩陣跡的性質，全面的描述尚不多見，本文給出了矩陣跡的性質，指出了其性質在矩陣計算中的用處，舉例說明結果的有效性。

關鍵詞：矩陣跡 性質 應用

1 概述

矩陣的跡及其應用是高等數學的重要內容，也是工程理論研究中的重要工具。本文在前人研究的基礎上，首先介紹了矩陣跡的相關性質，然后給出了零矩陣，不相似矩陣，數冪矩陣，列矩陣，冪等矩陣及矩陣不等式的證法，最后對矩陣的應用給出實例。

2 跡基本概念

定義2.1 稱trA=■a■為A的跡。

3 矩陣跡的性質

性質3.1 tr（A±B）=trA±trB

性質3.2 tr（kA）=k·trA（k為任意常數）

性質3.3 tr（AB）=tr（BA）

性質3.4 trA=trA′

性質3.5 tr（A2）=■■aijaji

性質3.6 tr（AA′）=■■aij2

性質3.7 trA=■λi （λi 是A的特征值）

性質3.8 tr（A2）=■λi2

性質3.9 若A～B，則trA=trB

性質3.10 若A≠0，A>0，則trA>0

4 矩陣跡的應用

應用4.1 設A，B為同階實對稱矩陣，若A-B正定，則A和B不相似。

證：假設A，B相似，則由性質3.9知，trA=trB，再由性質3.1得 tr（A-B）=trA-trB=0。

故由性質3.10 知A-B不是正定陣，與已知矛盾！從而，A和B不相似。

應用4.2 設n階矩陣A的對角線上元素全是1，且其特征值為復數，求證A？燮1。

證：設λi（i=1，2，…，n）為A的全部特征值，且λi？叟0，i=1，2，…，n，則有

A=λ1λ2…λn，tr（A）=λ1+λ2 +…+λn

又A的主對角線上的元素全是1，知tr（A）=n，則

■？燮■=■=1

所以，A=λ1λ2…λn？燮1

應用4.3 已知n階方陣A，若對所有的n階方陣X有tr（AX）=0，則A=0

證：設A≠0，則有某akm≠0。作矩陣X=（xij），使xmk=1，（i，j）≠（m，k）時，xij=0則矩陣AX主對角線上的元素C■=■a■x■=a■，l=k0， l≠k，tr（AX）=■Cll=akm≠0，

與已知矛盾！故A=0

應用4.4 設A，B，C都是n×n矩陣，且AC=CA， BC=CB，C=AB-BA，則存在不大于n的自然數m，使得Cm=0。

證：先證trCk=0（k為任意自然數）

Ck=Ck-1（AB-BA）=A（Ck-1B）-（Ck-1B）A（1）

由（1）和性質3.1、3.2得：trCk=tr[A（Ck-1B）]-tr[（Ck-1B）A]=0

再證C的特證值都等于0。

設C的特征值為λ1，λ2，…，λn則存在可逆矩陣T，使

C=T-1λ1 * ？塤0 λ2T

即有

0=trCk=λ1k+λ2k+…+λnk （k=1，2，…）（2）

不失一般性，設C的互異的非零特征值為λ1，λ2…，λs，且重數分別為r1，r2，…，rs則（2）式變為：0=r1λ1k+r2λ2k+…+rsλsk （k=1，2，…）。

取前S個等式，因為范德蒙行列式不等于零，因此r1=r2=…=rs=0，即非零特征值都是0重，故C的特征全為0。

再證Cm=0， 由于C的每個若當塊都形如

Ji=0 1 0 ？塤 ？塤 1 0■i=1，2，…，t

因此令：

m=max{n1，n2，…，nt}，

則Cm=T-1J■■ ？塤 J■■T=0

參考文獻：

[1]北京大學數學力學系.高等代數[M].北京高等教育出版社，1978.

[2]牛華偉，張厚超.關于矩陣跡的性質與應用[J].寧波職業技術學院學報，2009年4月.

[3]方保镕.矩陣論[M].北京：清華大學出版社，2004.

[4]宋占奎.矩陣的跡在解題中的應用[J].陜西工學院學報，2001年3月.