余能原理基面力元法在重力壩應力分析中的應用

張昭鋒，彭一江，郭 慶，單巖巖

（北京工業大學建筑工程學院，北京 100124）

近年來，隨著計算機技術的高速發展和廣泛應用，有限元法有了很大的進展，已經成為處理力學、物理、工程等問題的有效方法之一［1－4］。但是現有的有限元法采用的都是傳統二階應力張量的描述體系，這種理論框架讓建立和表述數學模型較為繁瑣，難以尋求更大的突破。

對此，GAO 提出了一個遠較傳統的應力張量簡單的新概念——“基面力”來描述應力狀態，并較系統地描述了基面力的理論體系［5－6］。彭一江等人在基于基面力概念的余能原理有限元法方面進行了研究，推導出了適用于大位移、大轉動問題的有限元列式，具有邊中節點的四邊形基面力元的幾何非線性有限元列式以及任意多面體基面力元的幾何非線性余能原理有限元列式，采用Matlab語言編制相應的余能原理基面力元分析軟件，研究了該方法的計算性能，在適應任意網格、提高計算精度和減少網格依賴方面取得了一些成果，并將該方法簡稱為“基面力元法”（base force element method，BFEM）［7－14］。目前，基于余能原理的基面力元法已經得到了一些國際同行的關注［15］。

本文在介紹描述平面應力狀態的基線力概念和具有邊中節點的平面4 節點基面力元模型的基礎上，探索了相應的基面力元法在重力壩應力分析中的應用。

1 二維問題的余能原理基面力元法

1.1 二維受力狀態的基面力表征

考慮二維彈性體區域，P，Q分別表示一物質點變形前后的位置矢量，xα（α＝1，2）表示該點的Lagrange坐標，則變形前后的基矢為

在向量dx1Q1，dx2Q2上作一個平行四邊形微元，以描述Q點附近的應力狀態，將基線力［9］定義為

式中：約定dx3＝dx1。

1.2 單元應力的表征

如圖1所示，一個具有邊中節點的基面力元。

當單元足夠小時，可以假設應力均勻地分布在每一邊上，則單元的平均應力的表達式為

式中：A為單元的面積；PI為邊中節點的徑矢。

單元應力的展開表達式可寫為

式中：e1，e2表示單位基矢量。

1.3 單元柔度矩陣顯式表達式

單元柔度矩陣CIJ的展開表達式為［9］

單元柔度矩陣CIJ的矩陣形式為

式（6）為平面應力狀態下的表達式。對于平面應變問題，只需將式中的E換為E／（1－v2），v換為v／（1－v）。

1.4 余能原理基面力元法控制方程

余能原理基面力元法的控制方程是如下泛函的約束極值問題：

式中：WeC為單元的余能為位移邊界Γu上的給定位移；T（Γu）為Γu上的面力。

利用Lagrange乘子法，放松平衡條件約束，可得單元的修正泛函為

式中：λ，λ3為Lagrange乘子。

系統的修正泛函為

泛函的駐值條件為

由式（10）得到下列線性方程組

求解該線性方程組，得到各個單元的面力。

1.5 節點位移的表征

節點位移可由各單元的支配方程求得

式中：ε為置換張量，在直角坐標系下的表達式為

節點位移的展開表達式為

2 應用算例

一混凝土重力壩，壩高65m，底寬49m，混凝土彈性模量E＝15GPa，泊松比取v＝0.2，水容重1t／m3，混凝土容重2.45t／m3。汛期水位為60m，考慮水壓力和混凝土重力共同作用下的應力分析。計算時按平面應變問題考慮，采用20×40的4邊中節點四邊形單元，單元剖分網格如圖2所示。

圖2 重力壩及基面力元網格Fig.2 A gravity dam and the meshes of BFEM

計算所得擋水面上各單元的應力及節點位移，取大壩擋水面上單元的應力、位移繪于圖3。

圖3 大壩擋水面的應力和位移Fig.3 Stresses and displacements at the upstream face of the dam

計算結果表明：二維線彈性的余能原理基面力元法能夠用于重力壩應力分析，與ABAQUS有限元分析結果吻合較好，計算精度較高。

3 結 論

1）算例結果表明，基于余能原理的基面力元法和大型程序ABAQUS計算結果吻合，可以應用于重力壩應力分析問題。

2）基于余能原理的基面力元法的特點是：以基線力為基本未知量，來表征物體的受力狀態，以其對偶量位移梯度表征物體的變形狀態；該方法不用引入單元插值函數；單元應力及節點位移列式均為顯式，無需進行數值積分。

3）研究工作表明，基于余能原理的基面力元法對單元網格的長寬比變化不敏感，具有較好的計算性能，具有較廣闊的應用前景。

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