小學數學教學應重視表象的橋梁作用

曹炯

新課程實施以來，筆者觀摩了許多示范課、研討課，發現這么一個現象：上課教師往往在學生觀察一定量的直觀事物后，就直接總結歸納概念，然后運用概念進行應用判斷。這就導致很多學生不能真正理解概念，不能靈活運用概念。學生在學習中出現了明顯的思維斷層，即在數學教學中從直觀感知階段一下子跳到概括階段，而后又從概括階段一下子跳到應用（具體化）階段，忽略了中間的思維過渡——表象（也是一種知識表征），從而也就缺乏數學思考、數學抽象的能力。

事實上，生動的直觀只能為兒童提供理解的起點，而表象的建立則能幫助他們更快地擺脫具體事物的束縛，順利地向抽象思維過渡。人的思維就是在感性認識，特別是表象的基礎上，借助于詞語，以知識經驗為中介而實現的。事實上，圖形（即表象）和文字符號的適當應用即可看成是實現數學抽象的關鍵所在。

一、 正確、豐富的感知，是記憶性表象的基礎

兒童思維始終是以直觀形象為主，而且必須以學生原有的生活經驗建立表象，作為思維的支撐點，這樣的思維才會順暢。但是很多情況下，往往因為有關的表象不能被及時喚醒和提取，從而造成學生解題的困難。這就不得不讓我們正視這樣一個問題：建立學生思維的表象首先要有正確、豐富的感知。心理學認為，人對事物的第一次接觸是最敏感的，教學的成功與否，其中重要一條就是看首次接觸數學問題時，學生能否通過各種途徑形成正確的表象。表象的清晰度越高，其在學習中起到的促進作用就越大。教學中教師必須重視對數學對象的第一印象，讓學生充分感知、建立表象，進而通過歸納、抽象、概括，建構出模型。有經驗的教師常常在教學中采取“過電影”的教學策略，即在學生感知了具體事物之后，隱去事物，讓學生閉眼回想剛才的事物或情境，幫助學生建立準確鮮明的表象。例如教學《長方體和正方體的認識》時，教師緊緊抓住以下幾個環節：

“看”。讓學生看實物，如講例題帶實物，學生做習題看實物等。

“拆”。讓學生把一個長方體紙盒沿著棱剪開，再展開，看一看展開后的形狀，這樣，可以使學生把展開后每個面與展開前這個面的位置聯系起來。

“做”。讓學生做長方體。從形體上要求做三種長方體：長、寬、高不等的；底面是正方形的；長、寬、高相等的。

“畫”。教學時，把一個長方體放在桌上，讓學生看一看最多能看到它的幾個面，然后畫立體圖和展開圖，要求學生練習時也能畫。并在一開始的練習中要求學生每題必畫，形成正確清晰的表象。

值得注意的是，從上述的案例中我們可以看到：表象的建立首先應是典型的；其次要求所提供的感知材料必須與學生已有的知識經驗相結合，否則兒童的認知結構里缺少同化新知識的要素，不利于兒童頭腦中概念表象的形成；第三，讓學生動手操作，多種感官參與學習，促進表象的形成。

經過充分感知之后的直觀事物以心理表象的形式貯存于記憶中，只能達到表象的記憶水平。在數學教學中教師要有意識地幫助學生積累大量的記憶水平的表象，因為大量積累的記憶水平的表象為學生的思維提供了廣闊的基礎。

二、 再造性表象，是構建數學模型的關鍵

學生學習數學的困難往往發生在由具體直觀向抽象思維過渡的“關鍵點”上，這個時候教師就需要給他們“搭橋”，即給予“依靠”，幫助他們度過難關。教師提供的這種“依靠”，必須帶有逐步抽象化的機制，這就是表象不斷積累和不斷概括的過程。

在關于數學中表象使用的探討中，引人注目的是波利亞的研究：他基于自己的數學經驗提出了成功解題的一系列啟發性建議，其中的一條就是“畫一個圖”，以此來幫助學生很好地學習數學。教師在教學中應該有意識地幫助、訓練學生根據數學語言，通過轉換自覺主動地重現、再造表象，即教師要努力幫助學生從記憶性表象水平向再造性表象水平發展。因為很多時候，教師教學時，不需要生活經驗，只需要激發學生的再造表象就可以了，從而借助表象，逐步發展學生的抽象能力。這里再造表象——視覺空間表征往往被認為是一種有效的學習策略。

例如數學教學中涉及的一些數學術語導致學生不能正確轉換成心理表象，從而影響學生的思考，長此以往，就會造成學生解題的困難。如：愛心商店銷售了42袋奶粉，還剩17袋，問商店今天原來有多少袋奶粉？有的學生一看到刺激“還剩”，就會引起用減法的錯誤反應。

由于缺乏應有的“生活數學”表象，這時教師采取的策略就是運用再造表象模擬情境的發生，從而幫助學生順利地解決問題。

由上可見，運用再造表象解決問題是極富教育價值的。W·多弗勒曾提出：充分而有效的表象圖式可以為學生認知數學概念提供支架，因為能夠促進個體獲得最佳數學理解的途徑是領悟命題表達以及與之相對應的表象圖式間的相互作用，即數學理解應該建立在形式與內容間的相互聯系上，很多數學內容的主觀意義完全可以依托表象圖式結構而建構。

《課程標準》中指出：應遵循學生學習數學的心理規律，強調從學生已有的生活經驗出發，讓學生親身經歷將實際問題抽象成數學模型并進行解釋與應用的過程。一旦具有的認知圖式的部分信息被激活，整個圖式就被激活。學生在解決問題的過程中，如果缺乏基本圖式，或者原有的圖式已模糊，就不能由問題情境的刺激檢索或構造出與其相匹配的圖式，此時解決問題就會受阻。建立這樣一種心理表象能有效地幫助學生解題。同時，值得注意的是構建數學模型過程中，表象的建立一定要注意變式，也只有這樣，才能在學習中把握數學模型的本質概念，順利構建數學模型。

三、 創造性表象，是表象性思維的升華

豐富和利用學生的各種表象，特別輔之以聯想、想象，會使知識在生動、具體的模擬情境中，得以在內心進行演練與重組，從而加深對知識的理解。在小學數學教學中，很多問題更是離不開數學中的想象表象。例如無限性的理解等，如不依靠想象，就無法得到正確而清晰的極限概念。這是由于人的認識的有限性，對無限問題不可能用經驗的方法直接地加以檢驗，而只能依靠想象，依靠理性思維去把握。例如射線的教學：endprint

（出示線段AB）問：如果以A為端點，向B點方向無限延伸，（教師邊說邊演示）會是什么樣的圖形呢？閉上眼睛，想象一下。

師：能把你們想象的圖形在紙上畫出來嗎？

學生作圖如下（絕大部分學生都將自己想象的圖形畫到了紙的邊緣）：

師：（展示部分學生作的圖形）為什么你們把圖形畫到了紙的邊緣？

生 ：因為是無限的，它就要延伸到很長很長，所以要畫到紙的邊緣。

師：那么，畫到紙的邊緣，是否就畫完了你所想象的圖形呢？

生 ：我認為就是給再大的紙也是畫不完的。

生 ：我認為有，假如有一張像宇宙那么大的紙，不就能畫了？

師：看來，確實無法找到一張紙，能完全畫出想象中的圖形。

師：你們知道像這樣的圖形，在數學中叫它什么嗎？

生：射線。（此時學生對于射線的形象在頭腦中已有初步的表象。）

師：對啊！射線有些麻煩。它的無限延伸，使得我們無法完整地畫出來，可是，為了數學交流的需要，我們總得想個辦法來表示射線。你們能想出好辦法嗎？

生：畫一部分，然后在下面寫上“無限延伸”四個字。

生 ：在最后畫上省略符號。

師：想不想知道數學上究竟是怎樣規定的？

（教師邊說邊演示作圖，在與學生的協商交流中，讓學生明確射線的畫法。）

從以上的教學片斷中我們看到，正是在想象性表象的基礎上，一方面學生體驗到了射線的“無限性”，另一方面揭示了“想象”與“圖例表達”之間的矛盾。從而創造出射線的表示方法，并理解和接受一種數學規定——用一種有限性的射線畫法來表達具有無限性的射線，在純抽象概念與表示抽象概念的表象間建立聯系，并適時降低了圖例的有限性對射線本質——無限性的負面影響。

因此，表象的最高水平表現為創造性水平。法國數學家阿達瑪的研究表明，多數老一輩數學家是借助于表象思維進行思考的。這種具體、直觀的或模糊、片斷的形象，并非嚴格推導，也不同于數學中抽象思維所使的概念、理論等，但當它閃現在腦海中時，往往正是人們認識數學對象的本質屬性或者尋求解決問題的關鍵所在。小學數學教學亦然，教師精心組織的直觀演示與操作活動，以及學生自己動手操作中清晰的過程和程序，可以在學生的頭腦中留下深刻的動態表象，這不僅對于學習抽象的概念、性質和方法極其有利，而且能使學生在知其所以然的基礎上獲得深刻的理解和牢固的記憶。

現在的數學課堂教學，雖然在新課程理念的影響下，已經注重培養學生的創新思維，但利用表象來幫助學生認識身邊的事物及了解和探究它們的一些內在規律，卻還是被動的、機械呆板的，不夠靈活和實在，表現為學生的知識生成和組合及創造發展方面的欠缺，這尤其需要我們作更多的探索和思考。

參考文獻

[1] 鄭隆.形象·靈感·審美與數學創造.武漢：湖北教育出版社，1990.

[2] [美]G.波利亞著.怎樣解題.北京：科學出版社，1982.

【責任編輯：陳國慶】endprint

（出示線段AB）問：如果以A為端點，向B點方向無限延伸，（教師邊說邊演示）會是什么樣的圖形呢？閉上眼睛，想象一下。

師：能把你們想象的圖形在紙上畫出來嗎？

學生作圖如下（絕大部分學生都將自己想象的圖形畫到了紙的邊緣）：

師：（展示部分學生作的圖形）為什么你們把圖形畫到了紙的邊緣？

生 ：因為是無限的，它就要延伸到很長很長，所以要畫到紙的邊緣。

師：那么，畫到紙的邊緣，是否就畫完了你所想象的圖形呢？

生 ：我認為就是給再大的紙也是畫不完的。

生 ：我認為有，假如有一張像宇宙那么大的紙，不就能畫了？

師：看來，確實無法找到一張紙，能完全畫出想象中的圖形。

師：你們知道像這樣的圖形，在數學中叫它什么嗎？

生：射線。（此時學生對于射線的形象在頭腦中已有初步的表象。）

師：對啊！射線有些麻煩。它的無限延伸，使得我們無法完整地畫出來，可是，為了數學交流的需要，我們總得想個辦法來表示射線。你們能想出好辦法嗎？

生：畫一部分，然后在下面寫上“無限延伸”四個字。

生 ：在最后畫上省略符號。

師：想不想知道數學上究竟是怎樣規定的？

（教師邊說邊演示作圖，在與學生的協商交流中，讓學生明確射線的畫法。）

從以上的教學片斷中我們看到，正是在想象性表象的基礎上，一方面學生體驗到了射線的“無限性”，另一方面揭示了“想象”與“圖例表達”之間的矛盾。從而創造出射線的表示方法，并理解和接受一種數學規定——用一種有限性的射線畫法來表達具有無限性的射線，在純抽象概念與表示抽象概念的表象間建立聯系，并適時降低了圖例的有限性對射線本質——無限性的負面影響。

因此，表象的最高水平表現為創造性水平。法國數學家阿達瑪的研究表明，多數老一輩數學家是借助于表象思維進行思考的。這種具體、直觀的或模糊、片斷的形象，并非嚴格推導，也不同于數學中抽象思維所使的概念、理論等，但當它閃現在腦海中時，往往正是人們認識數學對象的本質屬性或者尋求解決問題的關鍵所在。小學數學教學亦然，教師精心組織的直觀演示與操作活動，以及學生自己動手操作中清晰的過程和程序，可以在學生的頭腦中留下深刻的動態表象，這不僅對于學習抽象的概念、性質和方法極其有利，而且能使學生在知其所以然的基礎上獲得深刻的理解和牢固的記憶。

現在的數學課堂教學，雖然在新課程理念的影響下，已經注重培養學生的創新思維，但利用表象來幫助學生認識身邊的事物及了解和探究它們的一些內在規律，卻還是被動的、機械呆板的，不夠靈活和實在，表現為學生的知識生成和組合及創造發展方面的欠缺，這尤其需要我們作更多的探索和思考。

參考文獻

[1] 鄭隆.形象·靈感·審美與數學創造.武漢：湖北教育出版社，1990.

[2] [美]G.波利亞著.怎樣解題.北京：科學出版社，1982.

【責任編輯：陳國慶】endprint

（出示線段AB）問：如果以A為端點，向B點方向無限延伸，（教師邊說邊演示）會是什么樣的圖形呢？閉上眼睛，想象一下。

師：能把你們想象的圖形在紙上畫出來嗎？

學生作圖如下（絕大部分學生都將自己想象的圖形畫到了紙的邊緣）：

師：（展示部分學生作的圖形）為什么你們把圖形畫到了紙的邊緣？

生 ：因為是無限的，它就要延伸到很長很長，所以要畫到紙的邊緣。

師：那么，畫到紙的邊緣，是否就畫完了你所想象的圖形呢？

生 ：我認為就是給再大的紙也是畫不完的。

生 ：我認為有，假如有一張像宇宙那么大的紙，不就能畫了？

師：看來，確實無法找到一張紙，能完全畫出想象中的圖形。

師：你們知道像這樣的圖形，在數學中叫它什么嗎？

生：射線。（此時學生對于射線的形象在頭腦中已有初步的表象。）

師：對啊！射線有些麻煩。它的無限延伸，使得我們無法完整地畫出來，可是，為了數學交流的需要，我們總得想個辦法來表示射線。你們能想出好辦法嗎？

生：畫一部分，然后在下面寫上“無限延伸”四個字。

生 ：在最后畫上省略符號。

師：想不想知道數學上究竟是怎樣規定的？

（教師邊說邊演示作圖，在與學生的協商交流中，讓學生明確射線的畫法。）

從以上的教學片斷中我們看到，正是在想象性表象的基礎上，一方面學生體驗到了射線的“無限性”，另一方面揭示了“想象”與“圖例表達”之間的矛盾。從而創造出射線的表示方法，并理解和接受一種數學規定——用一種有限性的射線畫法來表達具有無限性的射線，在純抽象概念與表示抽象概念的表象間建立聯系，并適時降低了圖例的有限性對射線本質——無限性的負面影響。

因此，表象的最高水平表現為創造性水平。法國數學家阿達瑪的研究表明，多數老一輩數學家是借助于表象思維進行思考的。這種具體、直觀的或模糊、片斷的形象，并非嚴格推導，也不同于數學中抽象思維所使的概念、理論等，但當它閃現在腦海中時，往往正是人們認識數學對象的本質屬性或者尋求解決問題的關鍵所在。小學數學教學亦然，教師精心組織的直觀演示與操作活動，以及學生自己動手操作中清晰的過程和程序，可以在學生的頭腦中留下深刻的動態表象，這不僅對于學習抽象的概念、性質和方法極其有利，而且能使學生在知其所以然的基礎上獲得深刻的理解和牢固的記憶。

現在的數學課堂教學，雖然在新課程理念的影響下，已經注重培養學生的創新思維，但利用表象來幫助學生認識身邊的事物及了解和探究它們的一些內在規律，卻還是被動的、機械呆板的，不夠靈活和實在，表現為學生的知識生成和組合及創造發展方面的欠缺，這尤其需要我們作更多的探索和思考。

參考文獻

[1] 鄭隆.形象·靈感·審美與數學創造.武漢：湖北教育出版社，1990.

[2] [美]G.波利亞著.怎樣解題.北京：科學出版社，1982.

【責任編輯：陳國慶】endprint