用數形結合思想證明半角公式

高中數學必修4（北京師范大學出版社）第124頁，對半角公式tanα2=sinα1+cosα=1-cosαsinα進行了證明，步驟如下：

tanα2=sinα2cosα2=sinα2·2cosα2cosα2·2cosα2=sinα1+cosα；

tanα2=sinα2cosα2=sinα2·2sinα2cosα2·2sinα2=1-cosαsinα.

上述方法，主要采取對分子、分母同時添項并化簡的方法完成了上述證明.下面介紹一種利用數形結合思想進行證明的方法.

在平面直角坐標系中，以原點Ο為圓心，1為半徑作單位圓，A是單位圓與x軸負半軸交點，B是單位圓上的點，連接AB、OB，設OB與x軸正半軸的夾角為α，則∠BAO=α2，A點坐標（-1，0）、B點坐標（cosα，sinα）.（如圖1所示）

當α∈（0，π）時，直線AB斜率kAB=tanα2.

同時，AB斜率kAB=ΔyΔx=sinα-0cosα-（-1）=sinα1+cosα，

則tanα2=sinα1+cosα. （1）

再設x軸正半軸與單位圓交于點C，C點坐標（1，0），連接BC.（如圖2所示）

圖1 圖2

由圓的性質可知AB⊥BC，

BC斜率kBC==ΔyΔx=sinα-0cosα-1=sinαcosα-1，

AB斜率kAB=tanα2，因為AB⊥BC，所以kBC·kAB=

-1，所以sinαcosα-1·tanα2=-1，

所以tanα2=1-cosαsinα. （2）

故由（1）（2）可知：

tanα2=sinα1+cosα=1-cosαsinα.

當α∈（π，2π）時，優弧BC對應圓心角為α，劣弧BC對應圓心角為2π-α，∠BA0=∠ABO=π-α2（如圖3所示）

AB斜率kAB=-tan（π-α2）=tanα2，

且kAB=ΔyΔx=sinα-0cosα-（-1）=sinα1+cosα，

則tanα2=sinα1+cosα. （3）

再設x正半軸與單位圓交于點C，C點坐標（1，0），連接BC.（如圖4所示）

圖3 圖4

由圓的性質可知BC⊥AB，kAB=tanα2，kBC=ΔyΔx=sinα-0cosα-1=sinαcosα-1，kAB·kBC=-1，所以tanα2=1-cosαsinα. （4）

故由（3）（4）可知：

tanα2=sinα1+cosα=1-cosαsinα.

以上已經證明半角公式在（0，π）、（π，2π）中成立.

當α=π，tanα2不存在，故α≠π；

當α=0時，tanα2=sinα1+cosα

所以半角公式在[0，π）∪（π，2π）上成立.

當α[0，π）∪（π，2π）時，設α=β+2πk，β∈[0，π）∪（π，2π），k∈Z，

則tanα2=tanβ+2πk2=tanβ2，

sinα1+cosα=sin（β+2πk）1+cos（β+2πk）=sinβ1+cosβ，

1-cosαsinα=1-cos（β+2πk）sin（β+2πk）=1-cosβsinβ.

證明同理.

（指導教師：王愛華）

作者簡介 朱子健，淮北市第一中學高二學生，酷愛鉆研，多次被學校評為發明創造之星.

高中數學必修4（北京師范大學出版社）第124頁，對半角公式tanα2=sinα1+cosα=1-cosαsinα進行了證明，步驟如下：

tanα2=sinα2cosα2=sinα2·2cosα2cosα2·2cosα2=sinα1+cosα；

tanα2=sinα2cosα2=sinα2·2sinα2cosα2·2sinα2=1-cosαsinα.

上述方法，主要采取對分子、分母同時添項并化簡的方法完成了上述證明.下面介紹一種利用數形結合思想進行證明的方法.

在平面直角坐標系中，以原點Ο為圓心，1為半徑作單位圓，A是單位圓與x軸負半軸交點，B是單位圓上的點，連接AB、OB，設OB與x軸正半軸的夾角為α，則∠BAO=α2，A點坐標（-1，0）、B點坐標（cosα，sinα）.（如圖1所示）

當α∈（0，π）時，直線AB斜率kAB=tanα2.

同時，AB斜率kAB=ΔyΔx=sinα-0cosα-（-1）=sinα1+cosα，

則tanα2=sinα1+cosα. （1）

再設x軸正半軸與單位圓交于點C，C點坐標（1，0），連接BC.（如圖2所示）

圖1 圖2

由圓的性質可知AB⊥BC，

BC斜率kBC==ΔyΔx=sinα-0cosα-1=sinαcosα-1，

AB斜率kAB=tanα2，因為AB⊥BC，所以kBC·kAB=

-1，所以sinαcosα-1·tanα2=-1，

所以tanα2=1-cosαsinα. （2）

故由（1）（2）可知：

tanα2=sinα1+cosα=1-cosαsinα.

當α∈（π，2π）時，優弧BC對應圓心角為α，劣弧BC對應圓心角為2π-α，∠BA0=∠ABO=π-α2（如圖3所示）

AB斜率kAB=-tan（π-α2）=tanα2，

且kAB=ΔyΔx=sinα-0cosα-（-1）=sinα1+cosα，

則tanα2=sinα1+cosα. （3）

再設x正半軸與單位圓交于點C，C點坐標（1，0），連接BC.（如圖4所示）

圖3 圖4

由圓的性質可知BC⊥AB，kAB=tanα2，kBC=ΔyΔx=sinα-0cosα-1=sinαcosα-1，kAB·kBC=-1，所以tanα2=1-cosαsinα. （4）

故由（3）（4）可知：

tanα2=sinα1+cosα=1-cosαsinα.

以上已經證明半角公式在（0，π）、（π，2π）中成立.

當α=π，tanα2不存在，故α≠π；

當α=0時，tanα2=sinα1+cosα

所以半角公式在[0，π）∪（π，2π）上成立.

當α[0，π）∪（π，2π）時，設α=β+2πk，β∈[0，π）∪（π，2π），k∈Z，

則tanα2=tanβ+2πk2=tanβ2，

sinα1+cosα=sin（β+2πk）1+cos（β+2πk）=sinβ1+cosβ，

1-cosαsinα=1-cos（β+2πk）sin（β+2πk）=1-cosβsinβ.

證明同理.

（指導教師：王愛華）

作者簡介 朱子健，淮北市第一中學高二學生，酷愛鉆研，多次被學校評為發明創造之星.

高中數學必修4（北京師范大學出版社）第124頁，對半角公式tanα2=sinα1+cosα=1-cosαsinα進行了證明，步驟如下：

tanα2=sinα2cosα2=sinα2·2cosα2cosα2·2cosα2=sinα1+cosα；

tanα2=sinα2cosα2=sinα2·2sinα2cosα2·2sinα2=1-cosαsinα.

上述方法，主要采取對分子、分母同時添項并化簡的方法完成了上述證明.下面介紹一種利用數形結合思想進行證明的方法.

在平面直角坐標系中，以原點Ο為圓心，1為半徑作單位圓，A是單位圓與x軸負半軸交點，B是單位圓上的點，連接AB、OB，設OB與x軸正半軸的夾角為α，則∠BAO=α2，A點坐標（-1，0）、B點坐標（cosα，sinα）.（如圖1所示）

當α∈（0，π）時，直線AB斜率kAB=tanα2.

同時，AB斜率kAB=ΔyΔx=sinα-0cosα-（-1）=sinα1+cosα，

則tanα2=sinα1+cosα. （1）

再設x軸正半軸與單位圓交于點C，C點坐標（1，0），連接BC.（如圖2所示）

圖1 圖2

由圓的性質可知AB⊥BC，

BC斜率kBC==ΔyΔx=sinα-0cosα-1=sinαcosα-1，

AB斜率kAB=tanα2，因為AB⊥BC，所以kBC·kAB=

-1，所以sinαcosα-1·tanα2=-1，

所以tanα2=1-cosαsinα. （2）

故由（1）（2）可知：

tanα2=sinα1+cosα=1-cosαsinα.

當α∈（π，2π）時，優弧BC對應圓心角為α，劣弧BC對應圓心角為2π-α，∠BA0=∠ABO=π-α2（如圖3所示）

AB斜率kAB=-tan（π-α2）=tanα2，

且kAB=ΔyΔx=sinα-0cosα-（-1）=sinα1+cosα，

則tanα2=sinα1+cosα. （3）

再設x正半軸與單位圓交于點C，C點坐標（1，0），連接BC.（如圖4所示）

圖3 圖4

由圓的性質可知BC⊥AB，kAB=tanα2，kBC=ΔyΔx=sinα-0cosα-1=sinαcosα-1，kAB·kBC=-1，所以tanα2=1-cosαsinα. （4）

故由（3）（4）可知：

tanα2=sinα1+cosα=1-cosαsinα.

以上已經證明半角公式在（0，π）、（π，2π）中成立.

當α=π，tanα2不存在，故α≠π；

當α=0時，tanα2=sinα1+cosα

所以半角公式在[0，π）∪（π，2π）上成立.

當α[0，π）∪（π，2π）時，設α=β+2πk，β∈[0，π）∪（π，2π），k∈Z，

則tanα2=tanβ+2πk2=tanβ2，

sinα1+cosα=sin（β+2πk）1+cos（β+2πk）=sinβ1+cosβ，

1-cosαsinα=1-cos（β+2πk）sin（β+2πk）=1-cosβsinβ.

證明同理.

（指導教師：王愛華）

作者簡介 朱子健，淮北市第一中學高二學生，酷愛鉆研，多次被學校評為發明創造之星.