裂縫性地層水力裂縫非平面延伸特征分析

任嵐，趙金洲，胡永全，裴鈺

(1. 西南石油大學 油氣藏地質及開發工程國家重點實驗室，四川 成都，610500；

2. 中石油川慶鉆探工程有限公司 地質勘探開發研究院，四川 成都，610500)

礦場壓裂實踐證實裂縫性地層水力裂縫可能會延伸為復雜的網絡裂縫體系[1?2]。室內實驗研究表明在低逼近角和低應力差下水力裂縫傾向沿天然裂縫轉向延伸[3?9]。Blanton[10]認為當天然裂縫內流體壓力超過作用在其上的正應力時天然裂縫將發生張開破裂。Renshaw等[11]基于摩擦理論建立了水力裂縫與天然裂縫正交作用準則，認為天然裂縫界面摩擦因數越小，水力裂縫越容易沿天然裂縫擴展。Potluri等[12]基于現有的相交作用準則，就天然裂縫對水力裂縫延伸路徑的影響進行了系統分析。近年來，不少研究者采用數值模擬方法對裂縫性地層天然裂縫對水力裂縫延伸影響進行了研究分析[13?16]，研究結果基本證實了室內實驗的可靠性，同時也證實水力裂縫延伸受到地應力非均質性、巖石強度、天然裂縫膠結狀況和逼近角等多因素的影響。目前的研究集中在裂縫性地層水力裂縫擴展方向和影響因素分析上，而沒有對水力裂縫非平面延伸特征進行相關研究和討論。本文作者建立了裂縫性儲層水力裂縫延伸的數學模型和相應的數值求解方法，分析裂縫性地層水力裂縫非平面延伸特征。

1 水力裂縫相交天然裂縫的延伸方向判斷

采用Blanton準則[10]和Potluri[12]準則的修正方程判斷水力裂縫延伸方向。當天然裂縫內的流體壓力超過垂直作用在天然裂縫面上的正應力σn，天然裂縫張開破裂：

其中：

式中：σ1為水平最大地應力，MPa；σ3為水平最小地應力，MPa；θ為天然裂縫與水平最大地應力的夾角，也稱逼近角，(°)。

當水力裂縫與天然裂縫交點處的流體壓力大于σt+To，水力裂縫穿過天然裂縫：

式中：To為巖石的抗張強度，MPa。

其中：

采用式(1)和式(3)可以判斷水力裂縫延伸路徑。

2 沿天然裂縫轉向延伸的等效平面裂縫

水力裂縫相交天然裂縫后的延伸路徑會出現2種情況，一是沿天然裂縫轉向延伸；二是穿過天然裂縫直接延伸。圖1描述了上述2種情況的延伸路徑。

圖1 水力裂縫相交天然裂縫后的不同延伸路徑Fig. 1 Different propagation pathway of hydraulic fracture intersecting with natural fracture

若水力裂縫直接穿過天然裂縫，水力裂縫為平面裂縫，這時候作用在延伸裂縫上的正應力等于遠場最小地應力σ3，為連續分布。若水力裂縫沿天然裂縫轉向延伸，對于延伸裂縫中的天然裂縫轉向段，作用在延伸裂縫上的正應力等于σn。這時候整個延伸裂縫上的正應力為非連續分布。將圖1中轉向延伸路徑用非連續正應力分布的平面裂縫表示，可得到水力裂縫沿天然裂縫轉向延伸路徑的等效平面裂縫，如圖2所示。

圖2 水力裂縫轉向延伸的等效裂縫延伸路徑Fig. 2 Equivalent propagation pathway of hydraulic fracture extending along natural fracture

3 裂縫延伸的數學模型

3.1 模型假設

在模型建立時做以下假設：(1) 裂縫張開變形為線彈性行為；(2) 流體為黏性牛頓流體，不考慮縫端流體滯后現象；(3) 水力裂縫垂直剖面為橢圓；(4) 天然裂縫為垂直縫，水力裂縫和天然裂縫高度都等于油層厚度；(5) 水力裂縫前沿為自由移動邊界。

3.2 裂縫縫寬方程

基于 England和 Green[17]推導的縫寬方程，考慮垂向上的平面應變假設，忽略了垂直方向上的流體壓力梯度，由于裂縫延伸路徑上水力裂縫受到的正應力σn(x)可能不連續，為此，在裂縫延伸路徑上任何位置處裂縫剖面中心寬度為：

式中：W(x)為延伸路徑上x處的最大縫寬，m；E為巖石彈性模量，MPa；hf為裂縫縫高，m；ν為巖石泊松比；σn(x)為延伸路徑上x處裂縫面受到的正應力，MPa；p(x)為延伸路徑上x處的流體壓力，MPa。

3.3 縫內流體流動方程

由于壓裂液的流動，裂縫內的流體壓力不為常數，取決于注入排量q和流體黏度μ，在寬度為W的平行平板內的牛頓流體流動方程為：

Lamb[18]認為橢圓形裂縫內的流動壓降是平行板內的16/3π倍，修正的流動方程為：

3.4 物質平衡方程

注入裂縫內的流體量等于裂縫體積變化量和濾失量之和，可得物質平衡方程為[19]：

式中：q(x,t)為流過x位置點裂縫橫截面的體積流量，m3/min；qL(x,t)為x位置點單位裂縫長度濾失到地層的體積流量，m2/min；A(x,t)為x位置點裂縫的橫截面面積，m2；t為壓裂施工時間，min。

qL(x,t)可通過Carter濾失模型計算[20]：

式中：τ(x)為裂縫中x點開始濾失的時間，min；cL為壓裂液濾失系數，m/min1/2。

裂縫橫截面面積為：

將式(7)、式(9)和式(10)代入式(8)可得：

3.5 求解條件

式中：L(t)為施工時間為t時刻的裂縫延伸長度，m；Qo為注入排量，m3/min。

3.6 壓裂液的濾失計算

基質的濾失采用濾失模型式(9)計算。水力裂縫與天然裂縫交點處的濾失采用 Dong[21?22]推導的等效濾失系數方法計算。交點處的濾失系數為：

式中：Lnat為天然裂縫參與濾失的長度，m；Leff為水力裂縫垂直方向上在1 s內壓力上升到水力裂縫內壓力90%的最大距離。

3.7 時間步長的計算

求解模型中，水力裂縫前緣為自由邊界，為了探測水力延伸裂縫是否相遇天然裂縫，因此，假設每一時間步在裂縫前緣增加相等長度的縫長增長量Δx，這樣將會導致每一時間步的時間變化量Δt為求解變量。基于流量Qo滿足裂縫存儲和濾失兩者的體積平衡，可以得到關于時間變化量Δt的求解方程為：

4 數學模型的求解方法

描述水力裂縫延伸的式(5)和式(11)為非線性方程組，采用隱式有限差分法進行求解。

4.1 物質平衡方程的差分格式

與經典 PKN 模型求解不同[23?24]，文中的修正模型選擇縫內流體壓力為求解變量，沿縫長方向進行網格剖分，采用中心差分格式，可得物質平衡方程的有限差分方程為：

式(16)構成了壓力變量pi的三對角方程組(i=1,2, …,N)。然而，Win，α和β也為未知變量，縫寬方程式(5)描述了縫寬與流體壓力之間的關系為：

可見，式(16)和式(17)存在變量相互作用和影響，為此，每個時間步都需要采用它們一起進行耦合求解。

4.2 時間步長的離散計算

對式(15)在縫長方向上離散，可得：

式中：m為當前時間步的裂縫網格數。

5 計算與討論

基于本文建立的裂縫延伸模型求解方法，采用東部某油田基本參數，對水力裂縫轉向延伸特征進行計算討論。基本參數：水平最大地應力44 MPa；水平最小地應力39 MPa；巖石彈性模量2.5×104MPa；巖石抗張強度4.5 MPa；巖石泊松比0.22；壓裂液黏度120 mPa·s；壓裂液濾失系數 5.4×10?4m/min0.5；注入排量5 m3/min；水力裂縫高度20 m；水力裂縫延伸長度80 m；天然裂縫離井眼距離20 m；天然裂縫半長10 m。

圖3給出了水力裂縫轉向延伸(逼近角為30°)和直接延伸(逼近角為 80°)情況下水力裂縫延伸路徑上最大縫寬變化規律。從圖3可見：穿過天然裂縫直接延伸的縫寬為連續分布；而沿天然裂縫轉向延伸的縫寬則為非連續分布，在轉向延伸段明顯減小，這是由于轉向段裂縫面受到的正應力大于非轉向段導致的作用結果。

圖3 不同延伸模式下裂縫縫長方向上的寬度分布Fig. 3 Maximum fracture width distribution along length direction of hydraulic fracture for different propagation modes

圖4 給出了水力裂縫轉向延伸(逼近角為30°)和直接延伸(逼近角為 80°)情況下水力裂縫延伸路徑上的流體壓力分布。相比直接延伸，轉向延伸時受轉向段(20～30 m)節流效應導致流體壓力梯度增加的影響，使得轉向段到井眼的縫內流體壓力有一定程度的上升，結合圖3可見，這種作用效應將導致從轉向段到井眼的縫寬有一定程度的增加。

圖5給出了轉向延伸段分別為10 m和20 m長情況下水力裂縫延伸路徑上流體壓力分布。由圖5可見：轉向裂縫長度越長，井底壓力增加越多，這是由于轉向段越長導致轉向裂縫段節流效應越強產生的作用結果。

圖4 不同延伸模式下裂縫縫長方向上的流體壓力分布Fig. 4 Fluid pressure distribution along length direction of hydraulic fracture for different propagation modes

圖5 不同轉向長度下裂縫縫長方向上的流體壓力分布Fig. 5 Fluid pressure distribution along length direction of hydraulic fracture for different reorientation length

圖6 顯示了不同轉向段長度對水力裂縫延伸路徑上縫寬分布的影響。由圖6可見：轉向延伸裂縫長度越長，縫寬減小的范圍越大，但縫寬減小的幅度卻變小。這是由于轉向段越長，轉向段節流效應越強導致縫內流體壓力增加的越多，從而導致轉向段內的縫寬又有小幅度增加。

圖7顯示了不同轉向次數對水力裂縫延伸路徑上流體壓力分布的影響。由圖7可見：水力裂縫轉向延伸次數越多，縫內的流體壓力越高，且流體壓力發生影響的范圍也越大。

圖6 不同轉向長度下裂縫縫長方向上的寬度分布Fig. 6 Maximum fracture width distribution along length direction of hydraulic fracture for different reorientation length

圖7 不同轉向次數下裂縫縫長方向上的流體壓力分布Fig. 7 Fluid pressure distribution along length direction of hydraulic fracture for different reorientation number of times

圖8 顯示了不同轉向次數對水力裂縫延伸路徑上縫寬分布的影響。由圖8可見：無論是1次轉向還是多次轉向，水力裂縫轉向延伸段的縫寬都有明顯的減小，受多次轉向對縫內流體壓力升高的影響，在相同轉向段，2次轉向下的縫寬較1次轉向下的縫寬要寬。

圖8 不同轉向次數下裂縫縫長方向上的寬度分布Fig. 8 Maximum fracture width distribution along length direction of hydraulic fracture for different reorientation number of times

6 結論

(1) 模擬計算表明，水力裂縫沿天然裂縫轉向延伸時，水力裂縫在延伸路徑上的縫寬為非連續分布，在轉向延伸段的縫寬明顯減小，轉向段流體壓力梯度增大，導致井底施工壓力升高。

(2) 水力裂縫轉向延伸次數越多或轉向延伸段長度越長，水力裂縫延伸方向上縫寬減小范圍越大，井底施工壓力上升的越高，對壓裂施工的影響則越大。

(3) 建立的裂縫性地層水力裂縫延伸數學模型可用來模擬裂縫性地層中水力裂縫非平面延伸的裂縫幾何形態特征和流體壓力變化規律，為裂縫性地層壓裂工藝參數優化設計提供了理論依據，具有重要的理論價值和現實意義。

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