米勒問題

李佳玲

一、教學(xué)內(nèi)容

米勒問題的解答及其應(yīng)用。

二、教學(xué)目標(biāo)

1.知識與技能

（1）在具體情境中掌握米勒問題的意義，能用它們解決現(xiàn)實問題，體會米勒問題的本質(zhì)；（2）掌握幾種思想：數(shù)形結(jié)合、將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題、建模思想、分類討論，能解決實際問題；（3）養(yǎng)成自主探究和合作交流的習(xí)慣。

2.過程與方法

（1）經(jīng)歷尋找實際問題中的數(shù)學(xué)元素，把問題符號化處理，建立數(shù)學(xué)模型，體會將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題和利用數(shù)學(xué)知識解決現(xiàn)實問題的一般思路，構(gòu)建數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)素養(yǎng)；（2）通過分類尋找解題策略，提高發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、綜合多種知識解決實際問題的能力。

3.情感、態(tài)度與價值觀

（1）激發(fā)學(xué)習(xí)積極性；（2）培養(yǎng)思維靈活性，體會數(shù)學(xué)的實用性，體驗數(shù)學(xué)中數(shù)與形的有機聯(lián)系，提高應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識；（3）認識到數(shù)學(xué)存在于日常生活中，加深分類討論與數(shù)形結(jié)合思想。

三、教學(xué)重難點

重點：米勒問題的本質(zhì)及解決實際問題的一般思路。

難點：從實際問題中抽象出數(shù)學(xué)問題，綜合已學(xué)知識解決問題。

四、教學(xué)方法

探究、討論、交流和演練。

五、教學(xué)過程設(shè)計

1.創(chuàng)設(shè)情境，引起認知沖突（2分鐘）

師：大家知道欣賞掛在墻上的畫時，一般要往前走幾步再往后退幾步，一直挪到我們覺得把畫看得最清楚的地方。如果老師告訴大家，我不用挪來挪去就確切地知道該站在哪，大家信嗎？

2.巧妙過渡，指出探究目標(biāo)（3分鐘）

師：大家想不想知道我是怎么做到的？要解決這個問題，首先我們得探討另一個有趣的問題。大家知道歷史上著名的數(shù)學(xué)家米勒嗎？（若學(xué)生回答知道，則請知道的學(xué)生1和大家分享；若回答不知道或回答不理想，則教師將準備的故事與學(xué)生分享。）

（米勒是意大利著名的數(shù)學(xué)家，但數(shù)學(xué)家也有解決不了問題的時候，于是1471年他向諾德爾教授提出一個他百思不得其解的問題，這個問題就是今天著名的米勒問題，也即我們要探究的問題。）

3.數(shù)形結(jié)合，簡化數(shù)學(xué)模型（5分鐘）

師：在地球表面什么部位，一根懸桿呈現(xiàn)最長（即可見角最大）？

教師用PPT打出問題，讓學(xué)生作出圖形。教師巡視并從所畫圖形不同的學(xué)生中選2個較有代表性的學(xué)生2、3上黑板畫，畫好后點評圖形并讓學(xué)生2、3用數(shù)學(xué)語言表述問題。學(xué)生作出的圖形可能如下：

■

數(shù)學(xué)語言表述：在已知直線l的同側(cè)有P、Q兩點，在直線l上求一點M，使得M對P、Q兩點的張角θ最大，即∠PMQ最大。

■

（解釋：地球半徑很大，相對于桿來說，地球表面可看成平面，就像平時走路時看到的地面是平的，所以在這個問題中我們可把地球表面看成一條直線。）

4.啟發(fā)提問，激發(fā)探究興趣（2分鐘）

師：這個問題在當(dāng)時是一道難題，但在今天，我們的知識足以解決它，那我們可以幫助米勒解決這個問題嗎？（提示考慮切割線定理。）

5.合作交流，引導(dǎo)深入探究（10分鐘）

師：問題有沒有說那根桿與地球表面呈什么角？既然沒說，那我們該怎么辦？（讓學(xué)生前后4人一組。）

可能學(xué)生會回答：分類討論。

師：分類討論一般是先討論簡單的，再往一般、困難的方向討論，那米勒問題是否也這樣呢？（觀察討論過程，若學(xué)生思考不全，可加以點撥，指導(dǎo)學(xué)生從簡單入手，再深入探究。）

6.分享成果，小組互相補充（5分鐘）

師：有沒有小組想分享你們的結(jié)果？其它小組有沒有不同意見或補充的？

7.意猶未盡，繼續(xù)嘗試探究（5分鐘）

師：大家很快解決了PQ與直線l平行的情況，但大家還沒完全解決問題，PQ與直線l不平行的時候大家分成垂直與不垂直兩種情況，但是大家好像不會解答，是嗎？我們之前學(xué)過圓的性質(zhì)，知道圓周角比圓外角大，那可否借助圓的這個性質(zhì)，把∠PMQ放在圓里成為圓周角呢？如果可以，那這個圓周角何時最大呢？我們又怎么確定點M的位置呢？（因勢利導(dǎo)，幫助學(xué)生用切割線定理解決問題。）

8.畫龍點睛，寫出解答過程（5分鐘）

師：同學(xué)們討論得怎樣？（請學(xué)生4回答。）你能否上黑板寫出完整解答過程呢？（最后教師給出具體解答過程，讓學(xué)生檢查校對。）

9.牛刀小試，鞏固提高能力（6分鐘）

師：同學(xué)們這么厲害，居然把米勒問題完整地解答出來了，要是我們穿越回去，肯定都是數(shù)學(xué)家，不過現(xiàn)在各位數(shù)學(xué)家們還要穿越回來，解決我們最開始的問題：一張1.4米高的名畫掛在墻上，它的底邊高于看畫人的眼1.8米。問看畫人應(yīng)站在距墻多遠處，看得最清晰？

（學(xué)生在練習(xí)時教師可說明：解決米勒問題后，大家應(yīng)該知道最開始老師是怎么確定看畫的位置的了吧？以后我們再遇到求最大角或類似的問題，相信大家都能解決了！）

師：那大家就繼續(xù)幫幫我們的足球健將解決一下射門的問題，大家來看看：如圖3，足球場長100米，寬60米，球門長7.2米，有一位左邊鋒欲射門，應(yīng)在邊AB的何處才使射門角度最大？

■

10.小結(jié)升華，完善知識系統(tǒng)（2分鐘）

師：同學(xué)們，今天我們解決了米勒問題，那大家能否回顧下我們是用什么辦法解決的呢？解決了米勒問題后我們可以干什么？

（教師回顧整個課堂環(huán)節(jié)，學(xué)生回答理想時教師一起回答，學(xué)生回答不理想時，教師可引導(dǎo)學(xué)生回答。）

一、教學(xué)內(nèi)容

米勒問題的解答及其應(yīng)用。

二、教學(xué)目標(biāo)

1.知識與技能

（1）在具體情境中掌握米勒問題的意義，能用它們解決現(xiàn)實問題，體會米勒問題的本質(zhì)；（2）掌握幾種思想：數(shù)形結(jié)合、將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題、建模思想、分類討論，能解決實際問題；（3）養(yǎng)成自主探究和合作交流的習(xí)慣。

2.過程與方法

（1）經(jīng)歷尋找實際問題中的數(shù)學(xué)元素，把問題符號化處理，建立數(shù)學(xué)模型，體會將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題和利用數(shù)學(xué)知識解決現(xiàn)實問題的一般思路，構(gòu)建數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)素養(yǎng)；（2）通過分類尋找解題策略，提高發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、綜合多種知識解決實際問題的能力。

3.情感、態(tài)度與價值觀

（1）激發(fā)學(xué)習(xí)積極性；（2）培養(yǎng)思維靈活性，體會數(shù)學(xué)的實用性，體驗數(shù)學(xué)中數(shù)與形的有機聯(lián)系，提高應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識；（3）認識到數(shù)學(xué)存在于日常生活中，加深分類討論與數(shù)形結(jié)合思想。

三、教學(xué)重難點

重點：米勒問題的本質(zhì)及解決實際問題的一般思路。

難點：從實際問題中抽象出數(shù)學(xué)問題，綜合已學(xué)知識解決問題。

四、教學(xué)方法

探究、討論、交流和演練。

五、教學(xué)過程設(shè)計

1.創(chuàng)設(shè)情境，引起認知沖突（2分鐘）

師：大家知道欣賞掛在墻上的畫時，一般要往前走幾步再往后退幾步，一直挪到我們覺得把畫看得最清楚的地方。如果老師告訴大家，我不用挪來挪去就確切地知道該站在哪，大家信嗎？

2.巧妙過渡，指出探究目標(biāo)（3分鐘）

師：大家想不想知道我是怎么做到的？要解決這個問題，首先我們得探討另一個有趣的問題。大家知道歷史上著名的數(shù)學(xué)家米勒嗎？（若學(xué)生回答知道，則請知道的學(xué)生1和大家分享；若回答不知道或回答不理想，則教師將準備的故事與學(xué)生分享。）

（米勒是意大利著名的數(shù)學(xué)家，但數(shù)學(xué)家也有解決不了問題的時候，于是1471年他向諾德爾教授提出一個他百思不得其解的問題，這個問題就是今天著名的米勒問題，也即我們要探究的問題。）

3.數(shù)形結(jié)合，簡化數(shù)學(xué)模型（5分鐘）

師：在地球表面什么部位，一根懸桿呈現(xiàn)最長（即可見角最大）？

教師用PPT打出問題，讓學(xué)生作出圖形。教師巡視并從所畫圖形不同的學(xué)生中選2個較有代表性的學(xué)生2、3上黑板畫，畫好后點評圖形并讓學(xué)生2、3用數(shù)學(xué)語言表述問題。學(xué)生作出的圖形可能如下：

■

數(shù)學(xué)語言表述：在已知直線l的同側(cè)有P、Q兩點，在直線l上求一點M，使得M對P、Q兩點的張角θ最大，即∠PMQ最大。

■

（解釋：地球半徑很大，相對于桿來說，地球表面可看成平面，就像平時走路時看到的地面是平的，所以在這個問題中我們可把地球表面看成一條直線。）

4.啟發(fā)提問，激發(fā)探究興趣（2分鐘）

師：這個問題在當(dāng)時是一道難題，但在今天，我們的知識足以解決它，那我們可以幫助米勒解決這個問題嗎？（提示考慮切割線定理。）

5.合作交流，引導(dǎo)深入探究（10分鐘）

師：問題有沒有說那根桿與地球表面呈什么角？既然沒說，那我們該怎么辦？（讓學(xué)生前后4人一組。）

可能學(xué)生會回答：分類討論。

師：分類討論一般是先討論簡單的，再往一般、困難的方向討論，那米勒問題是否也這樣呢？（觀察討論過程，若學(xué)生思考不全，可加以點撥，指導(dǎo)學(xué)生從簡單入手，再深入探究。）

6.分享成果，小組互相補充（5分鐘）

師：有沒有小組想分享你們的結(jié)果？其它小組有沒有不同意見或補充的？

7.意猶未盡，繼續(xù)嘗試探究（5分鐘）

師：大家很快解決了PQ與直線l平行的情況，但大家還沒完全解決問題，PQ與直線l不平行的時候大家分成垂直與不垂直兩種情況，但是大家好像不會解答，是嗎？我們之前學(xué)過圓的性質(zhì)，知道圓周角比圓外角大，那可否借助圓的這個性質(zhì)，把∠PMQ放在圓里成為圓周角呢？如果可以，那這個圓周角何時最大呢？我們又怎么確定點M的位置呢？（因勢利導(dǎo)，幫助學(xué)生用切割線定理解決問題。）

8.畫龍點睛，寫出解答過程（5分鐘）

師：同學(xué)們討論得怎樣？（請學(xué)生4回答。）你能否上黑板寫出完整解答過程呢？（最后教師給出具體解答過程，讓學(xué)生檢查校對。）

9.牛刀小試，鞏固提高能力（6分鐘）

師：同學(xué)們這么厲害，居然把米勒問題完整地解答出來了，要是我們穿越回去，肯定都是數(shù)學(xué)家，不過現(xiàn)在各位數(shù)學(xué)家們還要穿越回來，解決我們最開始的問題：一張1.4米高的名畫掛在墻上，它的底邊高于看畫人的眼1.8米。問看畫人應(yīng)站在距墻多遠處，看得最清晰？

（學(xué)生在練習(xí)時教師可說明：解決米勒問題后，大家應(yīng)該知道最開始老師是怎么確定看畫的位置的了吧？以后我們再遇到求最大角或類似的問題，相信大家都能解決了！）

師：那大家就繼續(xù)幫幫我們的足球健將解決一下射門的問題，大家來看看：如圖3，足球場長100米，寬60米，球門長7.2米，有一位左邊鋒欲射門，應(yīng)在邊AB的何處才使射門角度最大？

■

10.小結(jié)升華，完善知識系統(tǒng)（2分鐘）

師：同學(xué)們，今天我們解決了米勒問題，那大家能否回顧下我們是用什么辦法解決的呢？解決了米勒問題后我們可以干什么？

（教師回顧整個課堂環(huán)節(jié)，學(xué)生回答理想時教師一起回答，學(xué)生回答不理想時，教師可引導(dǎo)學(xué)生回答。）

一、教學(xué)內(nèi)容

米勒問題的解答及其應(yīng)用。

二、教學(xué)目標(biāo)

1.知識與技能

（1）在具體情境中掌握米勒問題的意義，能用它們解決現(xiàn)實問題，體會米勒問題的本質(zhì)；（2）掌握幾種思想：數(shù)形結(jié)合、將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題、建模思想、分類討論，能解決實際問題；（3）養(yǎng)成自主探究和合作交流的習(xí)慣。

2.過程與方法

（1）經(jīng)歷尋找實際問題中的數(shù)學(xué)元素，把問題符號化處理，建立數(shù)學(xué)模型，體會將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題和利用數(shù)學(xué)知識解決現(xiàn)實問題的一般思路，構(gòu)建數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)素養(yǎng)；（2）通過分類尋找解題策略，提高發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、綜合多種知識解決實際問題的能力。

3.情感、態(tài)度與價值觀

（1）激發(fā)學(xué)習(xí)積極性；（2）培養(yǎng)思維靈活性，體會數(shù)學(xué)的實用性，體驗數(shù)學(xué)中數(shù)與形的有機聯(lián)系，提高應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識；（3）認識到數(shù)學(xué)存在于日常生活中，加深分類討論與數(shù)形結(jié)合思想。

三、教學(xué)重難點

重點：米勒問題的本質(zhì)及解決實際問題的一般思路。

難點：從實際問題中抽象出數(shù)學(xué)問題，綜合已學(xué)知識解決問題。

四、教學(xué)方法

探究、討論、交流和演練。

五、教學(xué)過程設(shè)計

1.創(chuàng)設(shè)情境，引起認知沖突（2分鐘）

師：大家知道欣賞掛在墻上的畫時，一般要往前走幾步再往后退幾步，一直挪到我們覺得把畫看得最清楚的地方。如果老師告訴大家，我不用挪來挪去就確切地知道該站在哪，大家信嗎？

2.巧妙過渡，指出探究目標(biāo)（3分鐘）

師：大家想不想知道我是怎么做到的？要解決這個問題，首先我們得探討另一個有趣的問題。大家知道歷史上著名的數(shù)學(xué)家米勒嗎？（若學(xué)生回答知道，則請知道的學(xué)生1和大家分享；若回答不知道或回答不理想，則教師將準備的故事與學(xué)生分享。）

（米勒是意大利著名的數(shù)學(xué)家，但數(shù)學(xué)家也有解決不了問題的時候，于是1471年他向諾德爾教授提出一個他百思不得其解的問題，這個問題就是今天著名的米勒問題，也即我們要探究的問題。）

3.數(shù)形結(jié)合，簡化數(shù)學(xué)模型（5分鐘）

師：在地球表面什么部位，一根懸桿呈現(xiàn)最長（即可見角最大）？

教師用PPT打出問題，讓學(xué)生作出圖形。教師巡視并從所畫圖形不同的學(xué)生中選2個較有代表性的學(xué)生2、3上黑板畫，畫好后點評圖形并讓學(xué)生2、3用數(shù)學(xué)語言表述問題。學(xué)生作出的圖形可能如下：

■

數(shù)學(xué)語言表述：在已知直線l的同側(cè)有P、Q兩點，在直線l上求一點M，使得M對P、Q兩點的張角θ最大，即∠PMQ最大。

■

（解釋：地球半徑很大，相對于桿來說，地球表面可看成平面，就像平時走路時看到的地面是平的，所以在這個問題中我們可把地球表面看成一條直線。）

4.啟發(fā)提問，激發(fā)探究興趣（2分鐘）

師：這個問題在當(dāng)時是一道難題，但在今天，我們的知識足以解決它，那我們可以幫助米勒解決這個問題嗎？（提示考慮切割線定理。）

5.合作交流，引導(dǎo)深入探究（10分鐘）

師：問題有沒有說那根桿與地球表面呈什么角？既然沒說，那我們該怎么辦？（讓學(xué)生前后4人一組。）

可能學(xué)生會回答：分類討論。

師：分類討論一般是先討論簡單的，再往一般、困難的方向討論，那米勒問題是否也這樣呢？（觀察討論過程，若學(xué)生思考不全，可加以點撥，指導(dǎo)學(xué)生從簡單入手，再深入探究。）

6.分享成果，小組互相補充（5分鐘）

師：有沒有小組想分享你們的結(jié)果？其它小組有沒有不同意見或補充的？

7.意猶未盡，繼續(xù)嘗試探究（5分鐘）

師：大家很快解決了PQ與直線l平行的情況，但大家還沒完全解決問題，PQ與直線l不平行的時候大家分成垂直與不垂直兩種情況，但是大家好像不會解答，是嗎？我們之前學(xué)過圓的性質(zhì)，知道圓周角比圓外角大，那可否借助圓的這個性質(zhì)，把∠PMQ放在圓里成為圓周角呢？如果可以，那這個圓周角何時最大呢？我們又怎么確定點M的位置呢？（因勢利導(dǎo)，幫助學(xué)生用切割線定理解決問題。）

8.畫龍點睛，寫出解答過程（5分鐘）

師：同學(xué)們討論得怎樣？（請學(xué)生4回答。）你能否上黑板寫出完整解答過程呢？（最后教師給出具體解答過程，讓學(xué)生檢查校對。）

9.牛刀小試，鞏固提高能力（6分鐘）

師：同學(xué)們這么厲害，居然把米勒問題完整地解答出來了，要是我們穿越回去，肯定都是數(shù)學(xué)家，不過現(xiàn)在各位數(shù)學(xué)家們還要穿越回來，解決我們最開始的問題：一張1.4米高的名畫掛在墻上，它的底邊高于看畫人的眼1.8米。問看畫人應(yīng)站在距墻多遠處，看得最清晰？

（學(xué)生在練習(xí)時教師可說明：解決米勒問題后，大家應(yīng)該知道最開始老師是怎么確定看畫的位置的了吧？以后我們再遇到求最大角或類似的問題，相信大家都能解決了！）

師：那大家就繼續(xù)幫幫我們的足球健將解決一下射門的問題，大家來看看：如圖3，足球場長100米，寬60米，球門長7.2米，有一位左邊鋒欲射門，應(yīng)在邊AB的何處才使射門角度最大？

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10.小結(jié)升華，完善知識系統(tǒng)（2分鐘）

師：同學(xué)們，今天我們解決了米勒問題，那大家能否回顧下我們是用什么辦法解決的呢？解決了米勒問題后我們可以干什么？

（教師回顧整個課堂環(huán)節(jié)，學(xué)生回答理想時教師一起回答，學(xué)生回答不理想時，教師可引導(dǎo)學(xué)生回答。）