非高斯隨機振動的模擬方法

徐 飛 李傳日 姜同敏 榮雙龍

(北京航空航天大學(xué) 可靠性與系統(tǒng)工程學(xué)院，北京100191)

隨機振動實驗的目標之一是使得產(chǎn)品發(fā)生累積疲勞失效，以盡早暴露產(chǎn)品的潛在缺陷.一直以來，隨機振動臺都是利用功率譜密度(PSD，Power Spectral Density)來模擬真實的隨機振動環(huán)境.然而功率譜密度不包含相位信息，隨機振動控制器在利用反傅里葉變換將功率譜密度轉(zhuǎn)換為時域信號時，隱含的假設(shè)是各頻率分量的相位服從0～2π的均勻分布.這樣的假設(shè)導(dǎo)致生成的時域信號服從高斯分布.事實上，相位的分布和信號的概率密度函數(shù)(PDF，Probability Density Function)有關(guān)，只有當(dāng)給定的隨機過程是平穩(wěn)的且服從高斯分布時，功率譜密度才能完全描述該隨機過程.這意味著當(dāng)實測信號服從非高斯分布時，只考慮了功率譜密度的隨機振動臺無法準確模擬實際振動環(huán)境.這樣的情況一直沒有得到改善，直到Vibration Research公司在2005年推出了一款能夠控制峭度的商業(yè)軟件［1］.該軟件可以在隨機振動臺上生成和實測數(shù)據(jù)具有相同功率譜密度和峭度的振動信號，因此能夠更好地模擬非高斯振動.典型的非高斯振動常常發(fā)生在路面運輸中.Connon和Charles指出，車輛在惡劣地形上行駛時，施加在車輛上的隨機激勵常常是非高斯分布的，振動應(yīng)力的分布情況與高斯分布情況相比，其尾部更長，且出現(xiàn)高峰值(如高加速度)的概率更大［2-3］.高斯信號的幅值超過3σ的時間只有0.27%，而實測信號超過3σ的時間可能達到1.5%［1］.這樣的差別可能導(dǎo)致完全不同的累積疲勞損傷，因為大部分疲勞損傷是由2σ～4σ內(nèi)的加速度引起的［4］.當(dāng)實際振動環(huán)境中存在大于3σ的峰值時，會使產(chǎn)品在比實驗室模擬更短的時間內(nèi)失效.美軍標810F指出，必須檢查實測數(shù)據(jù)是否為非高斯信號，確保實驗硬件和軟件適用于非高斯信號的分析［5］.

非高斯振動的實現(xiàn)方法之一是波形再現(xiàn)法.該方法的基本思想是在實驗室重復(fù)生成和某一組實測數(shù)據(jù)一模一樣的信號，該方法適用于很多實驗.但學(xué)者們指出，由于該方法只是生成和實測數(shù)據(jù)相同的信號，因此無法描述現(xiàn)場數(shù)據(jù)的可變性.例如，在現(xiàn)場跑車時每一圈的測試信號是不同的，如果僅僅測試一圈數(shù)據(jù)并不斷重復(fù)該組數(shù)據(jù)，則無法模擬該類型跑道的真實情況.此外，美軍標810F指出波形再現(xiàn)法通常用于控制瞬態(tài)信號或持續(xù)時間很短的隨機振動［5］.該方法目前也很少被用來制定實驗標準.

鑒于波形再現(xiàn)法存在上述缺陷，許多學(xué)者提出了其他模擬非高斯振動的方法.這些方法基本可以分為兩類:①適用于模擬RMS不隨時間變化的非高斯振動的方法;②適用于模擬RMS隨時間變化的非高斯振動的方法.對于第1類方法，Smallwood提出了利用3種零記憶非線性函數(shù)將高斯振動轉(zhuǎn)換為非高斯振動的方法［6-7］.利用這些函數(shù)生成的信號的分布略有不同，且這些方法都分別只適用于一定范圍的偏度和峭度.起初，零記憶非線性函數(shù)轉(zhuǎn)換法只能用于實驗前生成一組非高斯信號，然而結(jié)合波形再現(xiàn)法在振動臺上實現(xiàn)，之后被修正為可以實現(xiàn)閉環(huán)頻域控制的方法［8-10］.該類方法的缺點是很大程度上減小了隨機振動控制器的動態(tài)范圍，從而可能破壞功率譜密度.Steinwolf提出了一種修改特定頻率分量相位的算法來生成具有指定峭度的非高斯振動［8-11］，該方法不存在上述缺點.由于未改變頻率分量的幅值，因此保證了功率譜密度不變.又因為相位的改變對功率譜密度無影響，從而實現(xiàn)了功率譜密度和峭度的獨立控制.對于第2類方法，Rouillard等人提出了一種將非高斯振動分解為一系列獨立的具有不同標準差和持續(xù)時間的高斯振動的方法來模擬非高斯振動［12-17］.國內(nèi)也開展了相關(guān)的非高斯隨機過程的模擬研究.蔣瑜等人提出了基于幅值調(diào)制和相位重構(gòu)的非高斯隨機振動模擬方法［18］.李錦華等人［19］基于 Johnson 轉(zhuǎn)換系統(tǒng)和數(shù)字濾波理論，提出一種能生成指定偏度、峭度和非高斯脈動風(fēng)壓的方法.

本文首先結(jié)合案例給出了利用Hermite多項式法模擬RMS不隨時間變化的非高斯振動的過程，并分析了該方法的適用范圍.然后提出了一種新方法來模擬RMS隨時間變化的非高斯振動，并結(jié)合實測振動信號對提出的方法進行了驗證.

1 非高斯振動

一個均值為零的各態(tài)歷經(jīng)的高斯信號，其概率密度函數(shù)為

由此可見，均值為零的高斯過程可完全由其功率譜密度描述.確定一個隨機過程是否可以用高斯過程來近似的一種有效方法是計算該隨機過程的高階矩，計算公式如下:

式中，S為偏度;K為峭度.

對于一個高斯過程，其偏度S=0，峭度K=3.任何偏度不為0或峭度不為3的隨機過程為非高斯過程.從模擬非高斯振動的角度來看，峭度相比偏度是更重要的參數(shù).因為峭度能夠表明時域信號峰值的概率大小，利用該值可以使得實驗室模擬數(shù)據(jù)的概率密度函數(shù)更接近實測數(shù)據(jù).峭度描述了概率密度函數(shù)中間部分的尖銳度或平滑度以及概率密度函數(shù)尾部的窄度或?qū)挾?實測振動的峭度常常是大于3的［14］.峭度大于3表明實測信號的概率密度函數(shù)的中間部分比具有相同標準差的高斯信號的概率密度函數(shù)要尖銳，且尾部更寬.更寬的尾部則意味著實測時域信號中發(fā)生高峰值的可能性比用高斯信號預(yù)測的可能性更大.而更大的峰值則會給產(chǎn)品帶來更大的疲勞損傷和更快的疲勞失效.因此本文研究的是峭度大于3的振動信號.

2 案例分析

本文通過兩個案例分別對RMS不隨時間變化和隨時間變化的非高斯隨機振動進行了模擬方法研究.案例1利用Hermite多項式法對高斯信號進行了轉(zhuǎn)換，在保證功率譜密度不變的同時得到了具有指定峭度的RMS不隨時間變化的非高斯信號.案例2利用一種新方法對實測的RMS隨時間變化的非高斯振動進行了模擬，模擬后得到的非高斯信號和實測信號具有相同的功率譜密度、峭度以及概率分布.

2.1 案例1:RMS不隨時間變化的非高斯振動模擬

利用MATLAB生成平穩(wěn)的服從標準正態(tài)分布的高斯信號，采樣頻率為2 kHz，采樣點為100000，并假設(shè)生成的信號為加速度信號，如圖1所示.

Winterstein［20］首次提出了利用 Hermite 多項式將一個平穩(wěn)高斯信號x轉(zhuǎn)換成平穩(wěn)非高斯信號y:

式中，h3和 h4分別是第三階和第四階 Hermite矩;C為縮放系數(shù).

當(dāng)給定S和K后(假設(shè)輸入的S=0，K=4)，即可利用式(9)～式(12)將原高斯信號轉(zhuǎn)換成非高斯信號，如圖2所示.

圖1 高斯振動信號Fig.1 Gaussian signal

圖2 高斯和轉(zhuǎn)換后的非高斯振動信號Fig.2 Gaussian and synthesized non-Gaussian signal

由于信號具有隨機性，利用MATLAB生成100組獨立的服從標準正態(tài)分布的信號，并分別計算轉(zhuǎn)換后的非高斯信號的峭度，結(jié)果如圖3所示，其均值為4.041 2，與想要得到的信號的峭度非常接近(K=4).

利用pwelch方法(采用256點的漢寧窗)求解任意一組轉(zhuǎn)換前的高斯信號和轉(zhuǎn)換后的非高斯信號的功率譜密度和概率密度函數(shù)，結(jié)果分別如圖4和圖5所示.由上述分析可知，利用Hermite多項式法可在保證功率譜密度不變的同時得到具有指定峭度的非高斯信號.但是該方法對于輸入的峭度具有一定的限制.現(xiàn)輸入不同的峭度值并計算轉(zhuǎn)換后的非高斯信號的峭度值(每個輸入的峭度下計算100組獨立信號求輸出信號的峭度均值)，結(jié)果如圖6所示.

圖3 100組轉(zhuǎn)換后的非高斯信號的峭度Fig.3 Kurtosis for 100 synthesized non-Gaussian signal

圖4 高斯和非高斯信號的功率譜密度Fig.4 PSD of Gaussian and non-Gaussian signal

圖5 高斯和非高斯信號的概率密度函數(shù)Fig.5 PDF of Gaussian and non-Gaussian signal

圖6 輸入不同峭度下得到的實際信號的峭度Fig.6 Real kurtosis calculated from given kurtosis

由圖6可知，當(dāng)輸入峭度大于10時，Hermite多項式法的相對誤差達到了20%.

2.2 案例2:RMS隨時間變化的非高斯振動模擬

某段實測加速度信號如圖7所示，該信號來自于愛立信公司的某個天線桿振動測試項目，測試對象如圖8所示.

圖7 實測加速度隨機振動信號Fig.7 Field acceleration random signal

圖8 實驗對象和實驗裝置Fig.8 Test item and setup

經(jīng)計算，該實測信號是峭度為9.426 2的RMS隨時間變化的非高斯信號，傳統(tǒng)的隨機振動臺無法準確模擬.本文提出一種新方法來合成這樣的非高斯信號.該方法首先計算實測信號的功率譜密度，然后利用該功率譜密度生成平穩(wěn)的高斯信號，最后利用實測信號的RMS的分布函數(shù)構(gòu)造一個幅值調(diào)制信號與合成的高斯信號相乘，從而得到和實測信號具有相同功率譜密度、峭度和概率密度函數(shù)的非高斯信號.

利用pwelch方法(采用4096點的漢寧窗)計算該非高斯信號的功率譜密度，結(jié)果如圖9所示.

圖9 實測信號及合成的高斯信號的功率譜密度Fig.9 PSD of field data and synthesized Gaussian signal

對原實測信號的功率譜密度進行平滑處理(如圖9所示)，再利用平滑處理后的功率譜密度生成高斯信號，結(jié)果如圖10所示.合成的高斯信號的功率譜密度如圖9所示.其概率密度函數(shù)和具有相同均值和方差的高斯信號的概率密度函數(shù)如圖11所示.

計算原時域信號的均方根值，均方根值隨時間的變化情況如圖12中黑線所示，其概率密度函數(shù)如圖13所示.

圖10 利用功率譜密度合成的高斯信號Fig.10 Synthesized Gaussian signal from PSD

圖11 實測信號及合成高斯信號的概率密度函數(shù)Fig.11 PDF of field data and synthesized Gaussian signal

圖12 時域信號和均方根值Fig.12 Time history and running RMS

圖13 RMS的概率密度函數(shù)Fig.13 PDF of running RMS

幅值調(diào)制信號由跟均方根值服從相同分布的信號構(gòu)成，利用該調(diào)制信號將合成的高斯信號轉(zhuǎn)換為非高斯信號.原實測信號及合成的非高斯信號如圖14所示.對比實測信號及合成的非高斯信號的功率譜密度和概率密度，結(jié)果分別如圖15和圖16所示.由圖15可知，轉(zhuǎn)換后的非高斯信號保持功率譜密度和RMS不變.由圖16可知，轉(zhuǎn)換后的非高斯信號保持概率密度函數(shù)和實測信號一致.

圖14 實測信號及合成的非高斯信號Fig.14 Field data and synthesized non-Gaussian signal

圖15 實測信號及合成的非高斯信號的功率譜密度Fig.15 PSD of field data and synthesized non-Gaussian signal

圖16 實測信號及合成的高斯和非高斯信號的概率密度函數(shù)Fig.16 PDF of field data，synthesized Gaussian and non-Gaussian signal

3 結(jié)論

1)Hermite多項式法可以在保證功率譜密度不變的同時得到具有指定峭度的RMS不隨時間變化的非高斯信號，但該方法對于輸入的峭度有限制:當(dāng)輸入峭度大于10時，誤差達到了20%.

2)提出的新方法利用實測信號的RMS的分布函數(shù)構(gòu)造一個幅值調(diào)制信號與利用功率譜密度合成的高斯信號相乘，可以得到和實測信號具有相同PSD、峭度和概率密度函數(shù)的非高斯信號.

References)

［1］ Van B P.The missing knob on your random vibration controller［J］.Sound and Vibration，2005，39(10):10-16

［2］ Connon W H.Comments on kurtosis of military vehicle vibration data［J］.Journal of the IES，1991，34(6):38-41

［3］ Charles D.Derivation of environment descriptions and test severities from measured road transportation data［J］.Journal of the IES，1993，36(1):37-42

［4］ Lambert R G.Fatigue life prediction for various random stress peak distributions［J］.Shock and Vibration Bulletin，1982:1-10

［5］ MIL-STD-810F Department of defense test method standard for environmental engineering considerations and laboratory tests［S］

［6］ Smallwood D O.Generation of stationary non-Gaussian time histories with a specified cross-spectral density［J］.Shock and Vibration，1997，4(5/6):361-377

［7］ Smallwood D O.Generating non-Gaussian vibration for testing purposes［J］.Sound and Vibration，2005，39(10):18-23

［8］ Steinwolf A.Closed-loop shaker simulation of non-Gaussian random vibrations-part 1:discussion and methods［J］.Test Engineering and Management，2006，68(3):10-13

［9］ Steinwolf A.Closed-loop shaker simulation of non-Gaussian random vibrations-part 2:numerical and experimental results［J］.Test Engineering and Management，2006，68(5):14-19

［10］ Steinwolf A.Random vibration testing beyond PSD limitations［J］.Sound and Vibration，2006，40(9):12-21

［11］ Steinwolf A.Shaker simulation of random vibrations with a high kurtosis value［J］.Journal of the Institute of Environmental Sciences，1997，40(3):33-43

［12］ Rouillard V.On the synthesis of non-Gaussian road vehicle vibrations［D］.Melbourne:Monash University，2007

［13］ Rouillard V，Lamb M.On the effects of sampling parameters when surveying distribution vibrations［J］.Packaging Technology and Science，2008，431(8):467-477

［14］ Rouillard V，Sek M A.Synthesizing non-stationary，non-Gaussian random vibrations［J］.Packaging Technology and Science，2010，23(8):423-439

［15］ Garcia-Romeu M A，Rouillard V.On the statistical distribution of road vehicle vibrations［J］.Journal of Packaging Technology and Science，2011，24(8):451-467

［16］ Rouillard V，Sek M.Creating transport vibration simulation profiles from vehicle and road characteristics［J］.Packaging Technology and Science，2013，26(2):82-95

［17］ Rouillard V.Quantifying the non-stationarity of vehicle vibrations with the run test［J］.Packaging Technology and Science，2013，27(3):203-219

［18］蔣瑜，陶俊勇，王得志，等.一種新的非高斯隨機振動數(shù)值模擬方法［J］.振動與沖擊，2012，31(19):169-173 Jiang Yu，Tao Junyong，Wang Dezhi，et al.A novel approach for numerical simulation of a non-Gaussian random vibration［J］.Vibration and Shock，2012，31(19):169-173(in Chinese)

［19］李錦華，李春祥，申建紅.非高斯脈動風(fēng)壓的模擬研究［J］.振動與沖擊，2009，28(9):6-9 Li Jinhua，Li Chunxiang，Shen Jianghong.Simulation of non-Gaussian fluctuating wind pressure［J］.Vibration and Shock，2009，28(9):6-9(in Chinese)

［20］ Winterstein S R.Nonlinear vibration models for extremes and fatigue［J］.Journal of Engineering Mechanics，1988，114(10):1769-1787