基于S修正卡爾曼濾波的自適應(yīng)網(wǎng)格模糊交互多模型算法研究

張 園，郭 晨，劉淑波，初俊博

(1.大連海事大學(xué) 信息與技術(shù)學(xué)院，遼寧 大連，116026;2.海軍大連艦艇學(xué)院 導(dǎo)彈系，遼寧 大連，116018)

0 引 言

機(jī)動(dòng)目標(biāo)跟蹤算法可以分為單模型算法和多模型算法2 種。由于目標(biāo)在機(jī)動(dòng)時(shí)，其運(yùn)動(dòng)特征(速度、加速度、運(yùn)動(dòng)方向等)時(shí)常變化，所以使用單一模型很難準(zhǔn)確描述目標(biāo)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，因此出現(xiàn)同時(shí)使用多個(gè)模型來描述機(jī)動(dòng)目標(biāo)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的算法。多模型算法首先由Magill 在研究樣本隨機(jī)處理的最優(yōu)自適應(yīng)估計(jì)時(shí)提出［1］。多模型的發(fā)展經(jīng)歷了3代［2-3］。第1 代多模型的特點(diǎn)是模型個(gè)數(shù)固定，各個(gè)基礎(chǔ)濾波器單獨(dú)運(yùn)行并獨(dú)立于其他濾波器;第2代多模型算法(以交互式多模型為典型代表)仍然使用固定的模型個(gè)數(shù)，但各個(gè)模型之間存在交互［4-10］。前2 代的模型集在不同時(shí)刻有著固定的成員，因此稱為固定結(jié)構(gòu)多模型 (Fixed Structure Multiple Model，F(xiàn)SMM)算法。

標(biāo)準(zhǔn)的交互式多模型 (Interacting Multiple Model，IMM)算法的模型驗(yàn)后概率通過模型驗(yàn)前概率和馬爾可夫轉(zhuǎn)移概率來計(jì)算。本文采用智能化交互方法來替代常規(guī)的交互方法，避免了標(biāo)準(zhǔn)的IMM算法中交互式概率計(jì)算復(fù)雜度較高的問題。

固定結(jié)構(gòu)多模型算法存在明顯缺陷。事實(shí)上，在現(xiàn)實(shí)中目標(biāo)機(jī)動(dòng)模式僅用少數(shù)幾個(gè)模型描述是不夠的，多維系統(tǒng)更是如此。但增加模型數(shù)目，不僅會(huì)增加計(jì)算量而且并不一定改善跟蹤性能，過于細(xì)化的模型空間也可能破壞貝葉斯推理所要求的模型間獨(dú)立的要求。基于FSMM 存在的問題，出現(xiàn)了第3 代多模型算法:具有可變模型集的變結(jié)構(gòu)多模型(Variable Structure Multiple Model，VSMM) 算法［11-12］。目前VSMM 算法研究的文獻(xiàn)不是很多。已提出的VSMM 算法主要由2 個(gè)功能部分組成，即模型集自適應(yīng)(Model Set Adaptive，MSA)和模型集序列條件估計(jì)。在遞歸自適應(yīng)模型集合中，模型集自適應(yīng)是最關(guān)鍵的一個(gè)部分。模型集自適應(yīng)方法主要有模型組切換(Model Group Switch，MGS)［13］、可能模型集(Likely-Model Set，LMS)［14］以及期望模式修正(Estimated Mode Augmentation，EMA)3種。這3 種自適應(yīng)策略基于圖論的具體實(shí)現(xiàn)方法分別為有向圖切換［15-18］(Digraph Switching，DS)、激活有向圖［19］(Adaptive Digraph，AD)和自適應(yīng)網(wǎng)格［20-23］(Adaptive Grid，AG)。

本文采用自適應(yīng)網(wǎng)格方法研究一種機(jī)動(dòng)目標(biāo)跟蹤的變結(jié)構(gòu)多模型算法，即基于S 修正卡爾曼濾波的自適應(yīng)網(wǎng)格模糊交互式多模型 (AG-FIMM-SKF)算法，并應(yīng)用該算法對(duì)二維仿真環(huán)境下的機(jī)動(dòng)目標(biāo)進(jìn)行跟蹤，證明算法的有效性和優(yōu)越性。

1 目標(biāo)機(jī)動(dòng)模型的建立

目標(biāo)跟蹤的系統(tǒng)方程一般描述為:

當(dāng)目標(biāo)無(wú)機(jī)動(dòng)時(shí)，使用Kalman 濾波器就能得到目標(biāo)最優(yōu)的位置和速度估計(jì);當(dāng)目標(biāo)機(jī)動(dòng)時(shí)，由于目標(biāo)機(jī)動(dòng)的開始時(shí)間以及機(jī)動(dòng)方式不確定，引起模型與目標(biāo)運(yùn)動(dòng)模式的不匹配，濾波結(jié)果就不再最優(yōu)。此時(shí)，由于不同的運(yùn)動(dòng)模型中傳輸矩陣Fk不同，需要調(diào)整式(1)中的Fk。

對(duì)于常速率轉(zhuǎn)彎模型，式(1)的Fk如下式所示:

式中:T 為采樣周期;ωj為轉(zhuǎn)彎速率。而對(duì)于直線運(yùn)動(dòng)模型，即ωj→0，式(1)中的Fk如式(4)所示:

轉(zhuǎn)彎運(yùn)動(dòng)模型通過設(shè)定不同角速率實(shí)現(xiàn)直線運(yùn)動(dòng)模型和勻速轉(zhuǎn)彎模型之間轉(zhuǎn)化。因此，在多模型算法中，就可以采用直線運(yùn)動(dòng)模型和轉(zhuǎn)彎模型的組合來描述不同的機(jī)動(dòng)模式。

2 算法設(shè)計(jì)

2.1 算法步驟

AG-FIMM-SKF 算法的計(jì)算步驟如下:

第1 步:輸入交互

其中:

對(duì)于每個(gè)模型，交互后的初始狀態(tài)向量的方差陣如下式所示:

第2 步:匹配模型的狀態(tài)更新

采用卡爾曼濾波方程進(jìn)行模型狀態(tài)向量的更新計(jì)算。

1)狀態(tài)預(yù)測(cè)

2)狀態(tài)預(yù)測(cè)誤差協(xié)方差

3)新息

4)狀態(tài)預(yù)測(cè)誤差協(xié)方差的S 修正

當(dāng)νj(k)Tνj(k)＞r × trace［Hj(k)Pj(k/k－1)，HjT(k)+Rj(k)］時(shí)，對(duì)狀態(tài)預(yù)測(cè)誤差協(xié)方差進(jìn)行S修正［24］:

5)濾波增益

6)狀態(tài)估計(jì)

7)狀態(tài)估計(jì)誤差的協(xié)方差陣

第3 步:模型驗(yàn)后概率的模糊推理

見第2.2 節(jié)。

第4 步:輸出交互

輸出向量(狀態(tài)向量的估計(jì))及其方差陣分別見下式:

第5 步:模型集的自適應(yīng)網(wǎng)格調(diào)整

見第2.3 節(jié)。

下面重點(diǎn)介紹模型驗(yàn)后概率的模糊推理系統(tǒng)設(shè)計(jì)和自適應(yīng)網(wǎng)格調(diào)整算法。

2.2 模型驗(yàn)后概率的模糊推理系統(tǒng)設(shè)計(jì)

采用模糊推理方法，通過模糊邏輯推理得到模型集中各模型的匹配度，代替IMM 算法中的模型驗(yàn)后概率計(jì)算，從而不需要計(jì)算IMM 算法中的模型先驗(yàn)概率及馬爾可夫轉(zhuǎn)移概率，降低算法的復(fù)雜程度。

2.2.1 模型推理系統(tǒng)輸入指標(biāo)的計(jì)算

以模型集中模型j 為例，根據(jù)模型濾波結(jié)果，不僅可以得到目標(biāo)關(guān)于模型j 的當(dāng)前狀態(tài)估計(jì)及其誤差的協(xié)方差陣，而且也可以得到目標(biāo)關(guān)于模型j的測(cè)量新息及新息協(xié)方差。定義模糊推理系統(tǒng)的輸入量化指標(biāo)為:

式中:Ej為服從自由度為1 的χ2分布;M 為模型集中模型的個(gè)數(shù)。

模糊推理系統(tǒng)輸入變量Ej的模糊子集為S(小)、M(中)、B(大)。根據(jù)模糊輸入指標(biāo)Ej的特征，選定模糊子集的隸屬函數(shù)為高斯型函數(shù)，如圖1所示。

輸出變量取為模型的概率μj。同樣，在模糊推理系統(tǒng)的輸出空間上，定義相同的模糊子集S(小)、M(中)、L(大)，采用三角函數(shù)作為隸屬函數(shù)，如圖2所示。

圖1 輸入新息的隸屬度函數(shù)Fig.1 A new membership function of input information

圖2 輸出空間的隸屬函數(shù)Fig.2 The membership function of the output space

根據(jù)模糊推理系統(tǒng)的推理特征，有如下一些關(guān)于模型匹配程度的模糊規(guī)則存在:

規(guī)則1

if (E1is S)and (E2is M)…and (Ejis B)

Then (μ1is B)and (μ2is M)…and (μjis S)

抗戰(zhàn)爆發(fā)后，時(shí)代的影響，使得朱自清的散文風(fēng)格由抒情轉(zhuǎn)向說理，這時(shí)他寫的大多是有感于現(xiàn)實(shí)生活的論說類文章。他經(jīng)常對(duì)社會(huì)時(shí)局發(fā)表議論，并在激情吶喊中，宣傳正義力量及愛國(guó)思想。當(dāng)聞一多被暗殺后，面對(duì)動(dòng)蕩的形勢(shì)，朱自清不顧個(gè)人安危，毅然前往參加他的追悼會(huì)并發(fā)表演講，還寫了文章《中國(guó)學(xué)術(shù)的大損失——悼聞一多先生》，沉痛哀悼了聞一多先生，并對(duì)聞一多的出眾才華以及在文學(xué)方面的卓越成就給予了高度評(píng)價(jià)，批判了國(guó)民黨的殘暴和反動(dòng)的本質(zhì)。

規(guī)則2

if (E1is S)and (E2is S)…and (Ejis B)

Then (μ1is B)and (μ2is B)…and (μjis S)

……

根據(jù)這些模糊規(guī)則，由模糊推理系統(tǒng)可以得到k時(shí)刻關(guān)于模型j 的歸一化模糊匹配程度μj∈［0，1］。

2.3 模型集自適應(yīng)網(wǎng)格調(diào)整算法

基于第2 節(jié)介紹的協(xié)同轉(zhuǎn)彎?rùn)C(jī)動(dòng)模型，以轉(zhuǎn)彎速率的連續(xù)間隔作為模型集的網(wǎng)格，自適應(yīng)網(wǎng)格調(diào)整算法設(shè)計(jì)為:假設(shè)機(jī)動(dòng)目標(biāo)當(dāng)前轉(zhuǎn)彎速率是在連續(xù)范圍［－ωmax，ωmax］內(nèi)，構(gòu)建1 個(gè)具有時(shí)變的3 個(gè)模型的模糊交互多模型算法，k 時(shí)刻模型集合為且。

2.3.1 網(wǎng)格中心調(diào)整

網(wǎng)格中心調(diào)整如下式:

2.3.2 網(wǎng)格距離調(diào)整

網(wǎng)格距離調(diào)整分為模型之間無(wú)跳變、向左跳變、向右跳變3 種情況設(shè)計(jì)。

1)無(wú)跳變

2)向左跳變

式中t2為重要模型概率門限。

3)向右跳變

3 仿真結(jié)果和分析

為驗(yàn)證AG-FIMM-SKF 算法性能，將其與IMM3 和IMM5 進(jìn)行比較，這里IMMn (n=3，7)表示IMM 算法中模型集分別由3 和7 個(gè)固定模型組成。

假設(shè)目標(biāo)在x-y 平面運(yùn)動(dòng)，仿真場(chǎng)景如下［25-26］:初始位置為(3000 m，-1000 m)，初始速度為59 m/s (與x 軸的夾角為45°)。仿真時(shí)間為200 s，仿真軌跡由5 部分組成。在0 ≤t ≤30 內(nèi)目標(biāo)做勻速直線運(yùn)動(dòng)，在31 ≤t ≤90 內(nèi)目標(biāo)做角速度為ω=-0.02 rad/s 的勻速轉(zhuǎn)彎運(yùn)動(dòng)，在91 ≤t ≤140 內(nèi)目標(biāo)做勻速直線運(yùn)動(dòng)，在141 ≤t ≤170 期間目標(biāo)做角速度為ω=0.05 rad/s 的勻速轉(zhuǎn)彎運(yùn)動(dòng)，在171 ≤t ≤200 期間目標(biāo)做勻速直線運(yùn)動(dòng)。

仿真時(shí)，IMM3 使用的模型集合為{ω=－1°/s，ω=0°/s，ω=1°/s};IMM7 使用的模型集合為{ω=－3°/s，ω=－2°/s，ω=－1°/s，ω=0°/s，ω=1°/s，ω=2°/s，ω=3°/s}，濾波算法采用基本的IMM 算法。設(shè)IMM3 算法中IMM 的模型轉(zhuǎn)移概率均為p=［0.7，0.2，0.1;0.2，0.7，0.1;0.1，0.2，0.7］。IMM7 算法中IMM 的模型轉(zhuǎn)移概率為0.9，i=1，7;pii=0.8，i=2，6;pii－1=0.1，i=2…7;pii+1=0.1，i=1…6。設(shè)量測(cè)噪聲為零均值的高斯噪聲，其標(biāo)準(zhǔn)方差為。

AG-FIMM-SKF 算法中每個(gè)時(shí)刻模型集由3 個(gè)模型組成，模型集中各模型交互概率由模糊邏輯推理得到。不可能模型概率門限取為t1=0.2，重要模型概率門限取為t2=0.92，最小網(wǎng)格間隔取為δω=0.5°。

取采樣周期為T=1 s，分別對(duì)各算法進(jìn)行100次Monte Carlo 仿真，IMM3 和AG-FIMM-SKF 算法的x 方向、y 方向位置RMSE 的仿真曲線如圖3 ～圖4所示。IMM3、IMM7 和AG-FIMM-SKF 三種算法位置的RMSE 仿真結(jié)果如表1所示。

圖3 x 方向位置RMSE 曲線Fig.3 The position RMSE curve of direction

圖4 y 方向位置RMSE 曲線Fig.4 The position RMSE curve of direction

表1 100 次蒙特卡羅RMSE 仿真結(jié)果Tab.1 Estimating matrix

由圖3 ～圖4 和表1 可以得到如下結(jié)論:

1)AG-FIMM-SKF 和IMM3 算法同樣使用了由3 個(gè)模型組成的模型集，但是AG-FIMM-SKF算法的跟蹤精度相對(duì)于IMM3 算法有了明顯提高;

2)AG-FIMM-SKF 和IMM7 算法跟蹤精度相當(dāng)(AG-FIMM-SKF 算法比IMM7 算法跟蹤精度略有提高)，但是AG-FIMM-SKF 算法使用了由3個(gè)模型組成的模型集，IMM7 算法使用了由7 個(gè)模型組成的模型集，AG-FIMM-SKF 算法比IMM7 算法的計(jì)算復(fù)雜度降低。

綜上，相對(duì)于FSMM 算法，當(dāng)使用相同的模型數(shù)時(shí)，AG-FIMM-SKF 算法能大幅度提高跟蹤精度，而FSMM 算法要達(dá)到AG-FIMM-SKF 算法的跟蹤精度必須使用2 ～3 倍的模型數(shù)，從而增加了計(jì)算量。總之，AG-FIMM-SKF 算法所需的模型少，計(jì)算簡(jiǎn)單，計(jì)算復(fù)雜性小，提高了多模型算法的費(fèi)效比。

4 結(jié) 語(yǔ)

本文研究了一種S 修正卡爾曼濾波的自適應(yīng)網(wǎng)格模糊交互式多模型算法。該算法解決了FSMM 算法存在的問題:當(dāng)模型集中的模型個(gè)數(shù)較少時(shí)，由于模型集不能完全覆蓋目標(biāo)的各種機(jī)動(dòng)模式而引起精度下降;當(dāng)模型集中的模型個(gè)數(shù)較多時(shí)，會(huì)使計(jì)算量激增，并且?guī)砀髂Ｐ烷g不必要的競(jìng)爭(zhēng)，從而降低算法的費(fèi)效比。

蒙特卡羅仿真結(jié)果表明，AG-FIMM-SKF 算法能夠大幅減少模型數(shù)量，有效降低計(jì)算復(fù)雜度，提高了跟蹤精度，且適合于工程實(shí)用。

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