美式期權定價模型的高階緊差分方法*

于國曉，謝樹森

（中國海洋大學數學科學學院，山東 青島 266100）

期權定價理論的創建是近幾十年金融領域中最重要的發展之一。相對于歐式期權，美式期權可以提前實施，擁有更多的獲利機會，操作具有更大的靈活性，應用更為廣泛，研究美式期權定價模型的數值方法更具有實際意義。關于美式期權定價問題數值方法研究已有很多工作，例如二叉樹方法［1］，有限元方法［2］、懲罰函數法［3］、移動邊界法［4］等。

美式期權定價模型最終歸結為一個自由邊界問題。本文對支付紅利的美式買入期權模型實施Frontfixing變換［5］，將自由邊界問題轉化為一個非線性的定邊界問題，構造三層緊致差分格式對此非線性問題進行離散并進行數值實驗。與二叉樹方法［1］和一般差分方法［5］的數值結果比較證明本文算法是有效的。

1 美式買入期權定價模型

本文考慮由Black-Scholes方程推廣得到的支付紅利的美式買入期權模型。用C（S，t）表示美式買入期權價格，由文獻［2］可知美式買入期權定價模型如下：

其中：S為標的資產價格，K為期權的執行價格，T為期權的執行時間，r為無風險率，q為期權執行期間的紅利率，σ為標的資產價格波動率，z＋＝max（z，0），自由邊界B＊（t）是最優執行邊界，且B＊（t）是未知的。本文進一步假設世界風險是中性的，即q＞0。當S在t時刻小于B＊（t），期權應該持有，而當S在t時刻大于或等于B＊（t）時，期權應該被執行，即C（S，t）＝SK。

令τ＝T－t，B（τ）＝B＊（T－τ），則上述倒向問題變換為如下正向初邊值問題：

上述變量替換成立，當且僅當B（τ）＞0。文獻［6-7］中說明B（τ）是關于τ的非負單調增函數，并給出了B（τ）的取值范圍B（0）≤B（τ）≤KX，其中

引理1［2］對于給定的正實數ξ∈ （0，1），有

C（S，t）≤ξ，0≤S≤Ke－Y，0≤t≤T

其中：

2 高階緊致差分格式

令－εvyy＋c（τ）vy＝f。記為函數v在結點（yj，τn） 處 的 值，。由Taylor展開式得

整理

令f＝－vτ－rv，可以得到

記表示的近似值，略去上式中的截斷誤差得到如下緊致差分方程：

差分格式（7）的截斷誤差為O（h4＋k2）。（7）式等價記為：

利用Fourier方法，增長矩陣的特征值的模均小于等于1，差分格式是穩定的。

下面討論邊界條件的差分離散。設上述緊致差分方程在j＝0時成立，即

又由邊界條件（5）直接四階差分離散可得：

由式（8）和（9）消去，整理可得

其中：

Bn＋1使用Bn，Bn－1，Bn－23點的插值逼近，即

3 數值實驗

算例1 取參數K＝10，r＝0.03，q＝0.07，σ＝0.2，T＝1，θ＝0.5。表1給出不同步長期權價格C（S，t）近似解。并與二叉樹方法的數值結果［8］進行比較。可以看出緊致差分方法是收斂的。

表1 在t＝0時，不同空間、時間步長下的美式買入期權價格（C）Table 1 Values of an American call option by different mesh size at t＝0

算例2 取參數K＝10，r＝0.1，q＝0.05，σ＝0.2。由于美式買入期權沒有精確解，為了比較誤差，取文獻［5］中差分方法在步數分別取N＝4 096，M＝4 000所到的數值解為精確解v。

圖1～6，取θ＝0.5，給出T取不同值時，自由邊界B（τ）與B＊（t）數值解曲線，圖中exact表示文獻［5］中差分方法取N＝4 096，M＝4 000得到的自由邊界曲線。

圖7、8分別給出取θ＝0.5，T＝1時，函數V（y，T）和美式期權C（S，0）的數值解。

圖9、10分別給出θ＝0.5，T＝1，N＝64，M＝80時，函數V（y，τ）和期權價格C（S，t）的數值解。

表2給出T＝1時，緊致差分方法取不同θ值的誤差與收斂階。由數據可以看出θ取不同值時，誤差略有差異，緊致差分方法雖然達不到4階精度，但數值結果都要比文獻［5］差分法好得多。

表3給出自由邊界B（τ）計算較精確的情況下，緊 致差分法的收斂階可以達到接近四階。

圖1 T＝0.5時，自由邊界B（τ）圖像Fig.1 Early exercise price B（τ）at T＝0.5

圖2 T＝1時，自由邊界B（τ）圖像Fig.2 Early exercise price B（τ）at T＝1

圖3 T＝3時，自由邊界B（τ）圖像Fig.3 Early exercise price B（τ）at T＝3

圖4 T＝0.5時，自由邊界B＊（t）圖像Fig.4 Early exercise price B＊（t）at T＝0.5

圖5 T＝1時，自由邊界B＊（t）圖像Fig.5 Early exercise price B＊（t）at T＝1

圖6 T＝3時，自由邊界B＊（t）圖像Fig.6 Early exercise price B＊（t）at T＝3

圖7 τ＝T時，函數V的數值解Fig.7 Numerical solution of Vatτ＝T

圖8 τ＝0時，期權價格C數值解Fig.8 Numerical solution of option price Catτ＝0

圖9 函數V Fig.9 Numerical solution of function V

圖10 美式買入期權C Fig.10 Numerical solution of American call option C

表2 T＝1時，文獻［5］差分方法與緊致差分格式取不同θ值的數值結果比較Table 2 Comparison of errors for the scheme in［5］and the compact scheme with differentθat T＝1

表3 緊致差分格式收斂階Table 3 The rate of the compact difference scheme atτ＝T

4 結語

本文采用Front-fixing方法，對支付紅利的美式買入期權模型實施變量替換，將自由邊界問題轉化為正向的非線性問題，構造3層緊致差分格式求解美式期權定價問題。通過數值實驗證明本文方法可以有效計算美式期權問題。

［1］Shreve S E.Stochastic Calculus for FinanceⅠ：The Binomial Asset Pricing Model［M］.New York：Springer，2007.

［2］Holmes A D，Yang H.A front-fixing finite element method for the valuation of American options［J］.SIAM J SCI Comput，2008，30（4）：2158-2180.

［3］Muthuraman K.A moving boundary approach to American option pricing［J］.Journal of Economic Dynamics and Control，2008，32：3520-3537.

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［5］Wu L，Kwok Y.A front-fixing finite difference method for valuation of American options［J］.Journal of financial Engineering，1997，6（2）：83-97.

［6］Wilmott P，Dewynne J，Howison S.Option Pricing：Mathematical Models and Computation［M］.London：Oxford Financial Press，1993.

［7］Kwok Y K.Mathematical Models of Financial Derivatives［M］，New York：Springer，1998.

［8］劉敏.美式期權定價的幾種數值解法 ［D］.山東：中國石油大學，2010.