幾類微分方程零解的不穩(wěn)定性*

郭怡萍，馮濱魯

(1．山東科技大學(xué)數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)學(xué)院，山東 青島266590;2．濰坊學(xué)院，山東 濰坊261061)

引言

由于低階微分方程的穩(wěn)定性與不穩(wěn)定性與實際生活有著密切的關(guān)聯(lián)，而且研究低階系統(tǒng)所得到的結(jié)果與方法，往往為研究高階系統(tǒng)提供依據(jù)．因此，對于低階微分方程的穩(wěn)定性與不穩(wěn)定性研究變得十分重要．目前，對于低階微分方程穩(wěn)定性的研究成果已經(jīng)有很多，關(guān)于不穩(wěn)定性的研究成果卻較少［1～4］．本文通過構(gòu)造適當(dāng)?shù)腖iapunov函數(shù)，研究自治微分方程和非自治微分方程零解不穩(wěn)定的充分條件．

1 關(guān)于自治微分方程解的不穩(wěn)定性

1．1 基本理論

對于自治系統(tǒng)

這里xi=col(x1，x2，···，xn)，fi(x)連續(xù)可微，fi(0)≡0．

引理1［1］(Krasovskii)若存在可微函數(shù)V(x)，V(0)=0在原點任意鄰域內(nèi)，存在x0，使V(x0)＞0;又且不含式(1)的非平凡的整條正半軌線，則式(1)的平凡解不穩(wěn)定．

1．2 主要結(jié)果

研究方程:

其中a是常數(shù)，f(0，0，0，0)=0，f、g、φ是所依賴變量的連續(xù)函數(shù)．得到如下結(jié)果，即定理1．

定理1 若不等式

對任意y，z，u均成立，則對任意常數(shù)a和函數(shù)g，方程的零解是不穩(wěn)定的．

證明 構(gòu)造V函數(shù)［5］如下:

因此，在(x，y，z，u)空間原點的任意領(lǐng)域內(nèi)，存在一點使得

方程(2)的等價系統(tǒng)為:

設(shè)(x，y，z，u)= (x(t)，y(t)，z(t)，u(t))是系統(tǒng)(5)的一個解，則沿這一解對式(4)關(guān)于時間t求導(dǎo)得:

所以，根據(jù)Krasovskii定理知方程(2)的零解是不穩(wěn)定的．

研究方程:

其中a、b是常數(shù)，a≠0，f(0，0，0，0，0)=0，f、g和ψ是所依賴變量的連續(xù)函數(shù)．得到如下結(jié)果，即定理2．

定理2 若不等式:

對任意y，z，u和w成立，則對任意常數(shù)b和函數(shù)g，方程(6)的零解是不穩(wěn)定的．

證明 定義函數(shù)W=W(x，y，z，u，w)如下:

因此在(x，y，z，u，w)空間原點的任意鄰域內(nèi)，存在一點使得

方程(6)的等價系統(tǒng)為:

令(x，y，z，u，w)= (x(t)，y(t)，z(t)，u(t)，w(t))是系統(tǒng)(10)的任一解，則函數(shù)V沿系統(tǒng)(10)的任一解關(guān)于時間t的導(dǎo)數(shù)為:

即:

因此，由Krasovskii定理知，方程(6)的零解是不穩(wěn)定的．

1．3 應(yīng)用舉例

例1 應(yīng)用定理1判斷下面變系數(shù)四階微分方程的零解是否穩(wěn)定．

其中g(shù)( )x是關(guān)于x的連續(xù)函數(shù)．

求解如下．

將式(12)化為等價的方程組:

式中:

顯見有:

由于(1+y2)2＞1，故從而滿足了定理1的全部條件，故知微分方程(6)的零解是不穩(wěn)定的．

易見此例運(yùn)用以往的判定準(zhǔn)則是無法判定的．

例2 應(yīng)用定理2判斷下面變系數(shù)五階微分方程的零解是否穩(wěn)定．

其中g(shù)( )x是關(guān)于x的連續(xù)函數(shù)．

求解如下．

將式(14)化為等價的方程組:

式中:

顯見有:

從而滿足了定理2的全部條件，故知微分方程(14)的零解是不穩(wěn)定的．

易見此例運(yùn)用以往的判定準(zhǔn)則是無法判定的．

2 關(guān)于非自治微分方程解的不穩(wěn)定性

2．1 基本理論

對于非自治系統(tǒng)

這里xi= (x1，x2，···，xn)，fi(t，x)連續(xù)可微，fi(t，0)≡0，下面的引理對此部分定理的證明是需要的．

引理2［1］若存在定義在t≥t0，‖x‖＜H上的可微函數(shù)V t，( )x，V t，( )0 =0，滿足以下條件:

1)在原點的任何領(lǐng)域內(nèi)有V t，( )x＞0的區(qū)域;

2)V t，( )x具有無窮小上界;

則系統(tǒng)(16)的零解是不穩(wěn)定的．

2．2 主要結(jié)果

研究下列一類三階非線性非自治微分方程:

這里g(0)=h(t，0)≡0，e(t，0，0，0)≡0，且滿足解的存在唯一性要求．得到定理3．

定理3 對于方程(17)，若存在常數(shù)α＞0，L＞0，0＜δ＜1，滿足條件:

2)h(t，x)≤j(x)，xh(t，x)≥0，yg(y)≥0;

3)ze(t，x，y，z)≥0，r˙(t)＜0．

則方程(17)的零解是不穩(wěn)定的．

證明 將微分方程(17)化為等價的方程組［6］:

取Liapunov函數(shù):

由條件1)、2)得:

從而V(t，x，y，z)具有無窮小上界．又:

據(jù)條件1)、3)，在區(qū)域Ω中有:

這樣就滿足了引理的全部條件，從而判知方程(17)的零解是不穩(wěn)定的．

2．3 應(yīng)用舉例

應(yīng)用定理3判斷下面變系數(shù)五階微分方程的零解是否穩(wěn)定．

求解如下．

將式(19)化為等價的方程組:

式中:

且:

從而滿足了定理的全部條件，故知微分方程(19)的零解是不穩(wěn)定的．

易見此例運(yùn)用以往的判定準(zhǔn)則是無法判定的．

［1］廖曉昕．穩(wěn)定性的數(shù)學(xué)理論及應(yīng)用［M］．武昌:華中師范大學(xué)出版社，1988．

［2］韓振來，馮濱魯，張玉峰．一類三階非自治微分方程的不穩(wěn)定性［J］．濟(jì)南大學(xué)學(xué)報，1996，3(6):48－50．

［3］Ezcilo J O C．Instability Theorems for Certain Fifth－order Differential Equation［J］．Math Proc Camb Phil Soc，1978，5(16):110－113．

［4］Ezcilo J O C．An Instability Theorem for a Certain Sixth－order Differential Equation［J］．Austral Math Soc(Series A)，1982，6(32):129－133．

［5］盧德淵．一類三階非線性微分方程解的不穩(wěn)定性［J］．應(yīng)用數(shù)學(xué)和力學(xué)，1995，9(12):17－23．

［6］馮濱魯．兩類非線性系統(tǒng)的不穩(wěn)定性［J］．山東礦業(yè)學(xué)院學(xué)報，1992，11(2):200－203．