金屬材料彈性常數與溫度關系的理論解析

劉 彤，劉敏珊

（鄭州大學熱能工程研究中心，河南省過程傳熱與節能重點實驗室，鄭州450002）

0 引 言

固體材料在外力作用下會發生彈性和/或塑性變形。彈性變形的重要性在于各種變形過程都是從彈性變形開始的，它對脆性材料的強度、剛度和安全性設計具有重要意義，對塑性和高彈性材料的變形發展進程和過程都有重要影響。而固體材料的彈性常數則是描述材料應力和應變之間關系的重要參數。基于固體物理和金屬學理論［1-2］可知，金屬材料的彈性常數對其組織結構不是十分敏感，而且基本上與單相合金的晶粒尺寸以及復相合金中的第二相彌散度無關，但是它的高低標志著金屬原子間結合力的本質和強弱，且與鍵的性質和晶體結構有著緊密的聯系。這些都是研究彈性變形的科學意義。在高溫環境下服役的結構件，其組織差異會很快弱化，而且強度最終也主要由原子間的結合力控制。多晶體材料的彈性常數可由眾多單晶體的平均化處理獲得，其值在單晶體彈性常數的最大值與最小值之間，且其彈性模量的計算值也與試驗值較為一致。這說明多晶體的彈性變形常數具有統計性，且晶界對多晶體金屬材料彈性變形的影響可以忽略，即晶體結構相關的各向異性可以忽略。因此，工程中大多數金屬材料都可看作是各向同性材料。各向同性材料獨立的彈性常數僅有兩個，即彈性模量E和泊松比ν。彈性模量是材料損傷和結構安全設計中的一個重要的力學量，在核電裝備設計制造和服役壽命評估中都會用到。核電裝備中的許多鋼制壓力容器都是在高溫、高壓環境下工作，詳細了解這些壓力容器的線膨脹系數和彈性模量隨溫度和壓力的變化規律，對分析研究高溫環境下工作的金屬材料的變形和損傷，以及在新材料設計制造、在役設備安全評估等方面有著重要的工程意義［3-5］。

彈性物質究其本質是一種熱力物質。Eringen在其連續統力學［6］中以本構公理為基礎推導出了熱力物質的本構方程，并進而獲得了彈性物質的本構方程，即彈性材料的應力應變關系，或稱為廣義Hooke定律。溫度對材料力學性能的影響非常復雜，不僅有物理作用，而且還包含物理化學過程。目前有關溫度對材料力學性能影響規律方面的了解仍很欠缺，尤其是在極高溫度和極低溫度下，材料的物理性能數據極其匱乏。準確掌握高溫、高壓下材料的性能數據，對航空發動機、火箭和核電站設備高效率設計制造和可靠運行具有重要意義。目前國內外能夠提供的彈性參數一般都是常溫和中高溫度工況（多在400℃以下）［7-8］下的，缺乏高溫和高壓下的材料性能數據。另外，在高溫下，材料的結構性能因復雜的物理（化學）變化而與常溫、中高溫下的差別顯著，現有的金屬物理性能分析理論方法不足以解決這些問題。近年來，隨著計算機技術進步而快速發展起來的分子動力學模擬技術，以其獨有的綜合技術優勢在計算材料學和（超）高溫、（超）高壓狀態下材料物理性能分析方面得到了越來越多的應用。因此，作者基于現有試驗數據，通過理論解析獲得了彈性常數與溫度之間的關系，并將分析結果與分子動力學模擬結果進行相互印證，確認了模擬方法和程序的正確性；然后，利用分子動力學模擬技術研究了（超）高溫、（超）高壓下單晶體和多晶體以及合金元素和晶體結構對材料物理性能的影響規律。基于試驗數據［7-8］可整理得到純鐵的彈性模量、碳鋼和低合金鋼線膨脹系數隨溫度變化的曲線，如圖1～2所示。

圖1 純鐵彈性模量隨溫度變化的曲線Fig.1 Elastic modulus vs temperatures for pure Fe

圖2 不同溫度下碳鋼和低合金鋼的線膨脹系數αFig.2 Linear expansion coefficient vs temperature for carbon steel and low alloy steels

基于試驗數據采用統計擬合的方法，雖然能夠得出固體彈性模量與溫度之間的變化關系，但這些研究都是從宏觀角度和試驗數據出發，適用的溫度范圍有限，外推結果缺乏可靠性，缺乏有關溫度對金屬材料性能影響本質規律的深入揭示和說明。因此，作者嘗試基于固體結構的原子理論和分子模擬技術，從原子層面對彈性模量隨溫度變化的規律進行探討。

1 基于固體物理微觀理論的線膨脹系數分析

金屬材料的線膨脹系數和彈性模量與溫度的關系可根據物理模型從理論上進行一般分析。金屬材料的彈性常數與金屬晶體結構中原子相互作用勢能密切相關。而計算金屬晶體之間的相互作用能是一個相當復雜的問題，為了描述金屬原子間的相互作用，人們提出了許多勢能表達式，對于金屬固體材料而言，常用的勢能模式為Morse勢和嵌入原子模型（EAM）［9-11］。

對于固體材料而言，原子運動被限制在其平衡位置附近，不會偏離平衡位置太遠。因此，不管使用何種形式的勢能函數，總可以將原子間距為r的原子相互作用勢u（r）在平衡位置r0處按偏離平衡位移量λ＝r-r0進行Taylor級數展開，即

式中：ε0為相當于簡諧振動的彈簧剛度系數，稱為簡諧系數；ε1，ε2分別稱為第一階和第二階非簡諧系數。

對于金屬晶體而言，一般情況下ε0和ε2為正數，ε1為負數。將u（r）表達式代入到任意可觀測物理量的Boltzmann統計平均計算公式［12］，可得到溫度為T時的原子熱振平均位移λm的表達式（3），根據線膨脹系數α物理定義式可得到α的表達式（4）。

式中：k為Boltzmann常數；T為熱力學溫度。

由式（4）可見，熱力學溫度為零時，α＝α0＝金屬材料線膨脹系數與溫度之間的關系比較復雜，它們之間的規律完全由與金屬材料晶體的勢能相關的參數確定。將式（4）對溫度T求導，可得：

從式（5）可看出，由于ε1為負數，隨著溫度升高，α是增大還是減小取決于溫度T高于還是低于某個特定的溫度值將該溫度定義為轉捩溫度。有關Tc的物理意義尚需探討。當溫度T低于Tc時，隨著溫度的升高，α增大；當溫度T高于Tc時，隨著溫度的升高，α減小。對于鐵、鎳、銅等金屬材料，將ε0和ε2代入后可知Tc值一般在幾萬到十萬之間，該溫度遠超過金屬材料的沸點。而實際工程中的溫度T遠低于Tc，故隨著溫度的升高，α增大，參見圖2。此時，可將式（4）按冪級數展開：

由式（6）知，隨著T升高，α增大。因為Tc較大，工程中的溫度要比Tc小1～2個數量級。所以，式（6）中僅取線性項給出的結果就足夠精確。以計算鐵在3 000K時的線膨脹系數為例，忽略二次以上高階項后的計算值與精確值相比，相對誤差小于5.4%。鎳和銅的Tc值更高，故誤差更小。因此，對于常見的金屬材料而言，在3 000K的溫度范圍內，線膨脹系數隨溫度升高呈線性增大，計算式如下：

α＝α0（1＋bT） （8）

式中：α0為溫度T等于零時的線膨脹系數；b為相對變化比例常數。

Morse勢能函數常用來表征金屬原子間的相互作用。由Morse勢能函數式易知原子間力的強弱隨距離呈指數式衰減。因此，可選取適當的距離進行截斷，只需將截斷距離內的原子對目標原子的勢能貢獻計入就足夠精確，截斷距離外原子的影響可忽略不計。選取文獻［13］中立方晶體結構金屬鐵的Morse勢能參數值，截斷距離取2倍最近鄰距離，應用式（7）計算可以得到金屬鐵的α0和b，從而獲得其線膨脹系數與溫度的線性關系：

α＝9.541 2×10-6（1＋0.000 051 062T） （9）

對不同溫度下碳鋼的線膨脹系數數據［7-8］進行統計并處理后有

α＝（8.3477～10.787）×10-6［1＋（0.000 435 7～0.001 345）T］ （10）

考慮到碳鋼與純鐵間的差異，理論計算結果與試驗結果之間符合得還是比較好的。

2 溫度對彈性性能影響的理論分析

2.1 不同溫度下彈性模量的理論計算公式

材料彈性模量E的溫度系數η和線膨脹系數α的關系式為

金屬物理研究結果表明，彈性模量的溫度系數和線膨脹系數之比為一恒值，即

根據中高溫和低溫范圍內的試驗數據［5］，工程中常用鋼、奧氏體鋼、鐵鎳合金、鐵、鋁和銅合金等的常數m（平均值）為24.66，標準差為0.76。

利用式（13）并積分式（11），令熱力學溫度為零時的彈性模量為E0，可得式（14）。

式（14）即為材料彈性模量與溫度之間的普遍關系式，該函數式為復雜的指數函數，其導數為

由式（15）易見dE/dT＜0，這說明彈性模量總是隨溫度的升高而降低，當溫度逐漸升高趨于轉捩溫度Tc時，dE/dT→0，彈性模量E也趨于零。

根據前面的分析知，從熱力學溫度的零度到金屬熔點溫度（遠小于轉捩溫度Tc）范圍內，線膨脹系數α隨溫度T的變化符合線性關系。將式（8）代入（12）式則有

η＝-mα0（1＋bT） （16）

根據η的定義式和式（16）可得

對式（17）積分、整理后可得

由于m為正數，且對于包括金屬在內的絕大多數物質來說，都是熱脹冷縮。因此，一般情況下線膨脹系數α都大于零。另外，由前面分析知，當T＜Tc時，α隨溫度的升高而增大，即斜率常數b大于0，由式（18）可知，彈性模量E隨溫度的升高而降低，且隨著溫度向高溫發展，彈性模量下降得更快，即彈性模量隨溫度升高呈復雜的指數規律遞減。純鐵彈性模量隨溫度的變化情況如圖1所示。

為便于分析，將式（18）按Taylor級數展開，并取前4項，可得下列近似計算公式

線膨脹系數隨溫度變化的斜率b很小，接近零，在-100～300℃范圍，α基本上與溫度無關，因此，b≈0，此時可得：

2.2 高溫金屬晶體塑性變形對彈性常數的影響

純凈的單晶體由于其內稟的柔順性，極易產生位錯，如滑移和孿晶，即使是在比較低的溫度下也很容易發生。而位錯的運動會導致塑性變形，尤其是在高溫下，溫度產生的熱激活能誘導材料晶體內部發生更密集的位錯。純鐵和碳鋼在溫度超過500℃后，應當考慮晶體結構中局部塑性變形對材料宏觀性能的影響［14-15］。材料晶體結構產生塑性變形后，由于塑性的非線性特性，理論上應力和應變之間不再遵從線性關系。但由于晶格塑性變形所占比例極小，因此，宏觀上應力和應變之間的比例關系并未遭到嚴重破壞，彈性常數仍是占據主導意義的物理量。

高溫誘導的位錯所產生的塑性應變εp占總應變ε的比例很小，即εp遠較彈性應變εe小。根據材料的應力應變關系可導出式（21）。

式中：Ee為彈性模量原始值。

由式（21）可導出

對于很多材料而言，熱激活能的高低決定著所形成點缺陷的密度，而塑性應變正比于點缺陷數量，且一般情況下應力變化率與應變率的比與應力與應變的比相同，皆為彈性模量E。因此，通過位錯滑移熱激活參量分析可以獲得塑性應變和熱激活能之間的指數關系，如式（23）所示［16］。

式中：A為與材料微觀物理結構有關的常數，由應變速率、滑移面取向因子、Burgers矢量、晶體內聲速、Helmholtz自由能等決定，A與溫度無關或關系很小；ΔG為位錯用最小激活能從其平衡位置等溫移至鞍點位置時系統的Gibbs自由能變化量，它是結構、溫度和有效應力的函數。

對于純鐵和低碳鋼來說，A＝79.853，ΔG/k＝5 802.26。

將式（23）代入式（22）可得

1/［1＋Ae-ΔG/（kT）］的大小代表了熱激活能對彈性常數的影響程度。可見，隨著溫度的降低，熱激活能的影響減弱；隨著溫度的升高，其影響變強。

綜合式（18）和（24）可得適應寬泛溫度范圍、具有普適性的彈性模量表達式：

式（25）即為適用于高溫和低溫下材料彈性模量的計算公式。從工程應用出發，可引入修正系數Cm（T）來考慮局部熱塑性變形。其定義式為

通過計算可得到純鐵和低碳鋼的修正系數：

式（25）可寫成

采用近似計算展開式有

在工程合理溫度范圍，通過多項式統計擬合后可得Cm與溫度T之間的多項式。對于工業純鐵和低碳鋼而言，Cm（T）的多項式為

Cm（T）＝1.0-1.328 6×10-4T＋6.138 5×10-7T2-6.711 6×10-10T3（30）

對于中高溫范圍，考慮高溫熱激活塑性變形后可得下列彈性模量計算式

考慮線膨脹系數隨溫度變化的彈性模量計算公式為

采用隨溫度線性變化的線膨脹系數關系式為

E＝E0［1-24.66α0（1＋bT）T］ （33）

綜合考慮高溫熱激活局部塑性變形修正后有

采用隨溫度線性變化的線膨脹系數關系式時

E＝E0［1-24.66α0（1＋bT）T］（1.0-1.328 6×10-4T＋6.138 5×10-7T2-6.7116×10-10T3） （35）

按照碳鋼和壓力容器鋼參數繪制上述關系式的曲線，如圖3所示，將現有試驗數據標記于其上，以便進行對比分析。由圖3可以看出，理論計算結果和試驗數據符合得相當好。純鐵的數據略高于理論計算值，但是變化趨勢完全一致。

圖3 不同溫度下彈性模量溫度關系理論計算曲線與試驗數據的對比Fig.3 Comparison of analytical results and experimental data of elastic modulus at different temperatures

上述理論分析是基于材料組織結構不發生變化的情況下進行的。對于通常的工業應用，工作溫度一般都低于600℃，但是核電廠和火電廠有些結構零件會在相當高的溫度下工作。當溫度超過912℃后，鐵的晶體結構會從體心立方轉變為面心立方，即通常所說的α-Fe轉變成γ-Fe，此時其彈性常數也會發生較大變化，彈性模量會發生陡降，此時需要考慮晶體結構變化帶來的影響。

3 結 論

（1）導出了碳鋼和壓力容器鋼線膨脹系數α與溫度之間的解析表達式和近似計算展開式。

（2）提出了線膨脹系數轉捩溫度Tc的定義式；當溫度T低于Tc時，α隨著溫度的升高而增大，當溫度T高于Tc時，α則隨著溫度的升高而減小。

（3）對于常用金屬材料，溫度不超過3 000K時，線膨脹系數隨溫度升高而近似線性增大。

（4）對于金屬固體材料，推導出了考慮高溫熱激活能誘導位錯變形效應的彈性模量與寬范圍溫度之間的關系。

（5）給出了碳鋼和壓力容器鋼彈性模量與溫度之間的普適關系。

（6）對于純鐵、碳鋼以及壓力容器鋼，采用導出的理論公式計算的不同溫度下的彈性模量與試驗值符合良好。

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