爆破地震波作用下城市隧道結(jié)構(gòu)動(dòng)力響應(yīng)的敏感性＊

路 亮，龍 源，郭 濤，謝全民，3，趙長(zhǎng)嘯，3，高福銀

（1.解放軍理工大學(xué)野戰(zhàn)工程學(xué)院，江蘇 南京210007；2.中國(guó)人民解放軍72351部隊(duì)，山東 萊蕪271109；3.武漢軍械士官學(xué)校，湖北 武漢430075）

隨著爆破技術(shù)在市政工程中的大力開(kāi)發(fā)和利用，城市隧道結(jié)構(gòu)的安全問(wèn)題也隨之出現(xiàn)。由于城市市區(qū)地域相對(duì)狹小，隧道周邊爆破施工產(chǎn)生的爆破地震波往往會(huì)對(duì)既有隧道的結(jié)構(gòu)和設(shè)施安全構(gòu)成威脅，因此，研究爆破地震波作用下城市隧道結(jié)構(gòu)的動(dòng)力響應(yīng)問(wèn)題對(duì)隧道的抗震理論分析和結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)具有重大的現(xiàn)實(shí)意義。目前，針對(duì)這類問(wèn)題的求解方法主要有數(shù)值法和解析法2類［1－2］，其中數(shù)值法包括有限差分法、有限元法、邊界元法等，解析法主要指波函數(shù)展開(kāi)法、積分方程法、積分變換法等。現(xiàn)階段對(duì)城市隧道動(dòng)力響應(yīng)問(wèn)題的求解主要以數(shù)值法為主，然而解析法在分析問(wèn)題本質(zhì)方面有著數(shù)值法不可替代的作用，它能夠通過(guò)數(shù)學(xué)理論基礎(chǔ)檢驗(yàn)數(shù)值計(jì)算的精度［3－5］。因此，對(duì)爆破地震波作用下城市隧道動(dòng)力響應(yīng)的解析求解方法有待深入研究。

城市隧道在爆破地震波作用下的動(dòng)力響應(yīng)分析的關(guān)鍵在于解決隧道圍巖及襯砌結(jié)構(gòu)的動(dòng)力響應(yīng)及應(yīng)力集中問(wèn)題，在研究中可將此類問(wèn)題簡(jiǎn)化為加強(qiáng)洞室對(duì)彈性入射波的衍射問(wèn)題。目前，針對(duì)這類問(wèn)題的解析算法已進(jìn)行了一定的研究工作。鮑亦興等［6］利用波函數(shù)展開(kāi)法研究了無(wú)限介質(zhì)中洞室及單層襯砌隧道在彈性波入射下的動(dòng)應(yīng)力集中問(wèn)題；齊輝等［7］、史文譜等［8］采用復(fù)變函數(shù)的方法分別推導(dǎo)了SH波和P波入射下圓形襯砌洞室的解析解；紀(jì)曉東等［9］給出了平面P波和SV波入射下地下圓形襯砌洞室動(dòng)應(yīng)力集中問(wèn)題的級(jí)數(shù)解。當(dāng)前常見(jiàn)的城市隧道大都為初期支護(hù)加二次襯砌的復(fù)合式襯砌結(jié)構(gòu)，因此，為了使解析結(jié)果能更好地指導(dǎo)工程實(shí)踐，本文中選取構(gòu)成爆破地震波主體的縱波（P波）作為研究對(duì)象，利用波函數(shù)展開(kāi)法研究復(fù)合襯砌結(jié)構(gòu)隧道對(duì)爆破地震波衍射問(wèn)題的解析方法，并結(jié)合南京紅山南路隧道群開(kāi)挖工程開(kāi)展彈性P波作用下隧道結(jié)構(gòu)動(dòng)力響應(yīng)的敏感性分析。

1 計(jì)算模型

炸藥在巖石中爆炸后產(chǎn)生的爆破地震波在一定距離上可以視為平面簡(jiǎn)諧波［10］，假設(shè)無(wú)限空間介質(zhì)和襯砌均為各向同性的彈性材料，則無(wú)限介質(zhì)中復(fù)合襯砌隧道結(jié)構(gòu)對(duì)P波衍射問(wèn)題的計(jì)算模型可簡(jiǎn)化為圖1。由圖1可知，平面P波沿垂直于隧道軸向的方向傳播，當(dāng)通過(guò)不同介質(zhì)的分界面時(shí)，將在無(wú)限介質(zhì)及隧道襯砌結(jié)構(gòu)中產(chǎn)生反射P波、SV波和折射P波、SV波。

圖1 爆破地震波衍射問(wèn)題計(jì)算模型Fig.1 Acalculation model for the diffraction problem of blasting seismic waves

2 爆破地震波衍射問(wèn)題的解析求解

2.1 介質(zhì)中的波動(dòng)場(chǎng)分析

圓頻率為ω的入射簡(jiǎn)諧P波位移勢(shì)函數(shù)φi可表示為：

式中：φ0為入射P波的幅值；α1為入射P波的波數(shù)，α1＝ω／cp，cp為入射P波的波速。

考慮穩(wěn)態(tài)波動(dòng)情況下可省略時(shí)間因子e－iωt，利用波函數(shù)展開(kāi)法可將式（1）轉(zhuǎn)換為級(jí)數(shù)形式：

式中：Jn為第1類Bessel函數(shù)；εn為Neumann因子，n＝0時(shí)，εn＝1；n≥1時(shí)，εn＝2。

P波通過(guò)介質(zhì)Ι和Ⅱ的分界面時(shí)，將在界面上產(chǎn)生反射P波和反射SV波，其位移勢(shì)函數(shù)分別為：

因此，介質(zhì)Ι中的總勢(shì)函數(shù)可表示為：

同樣，襯砌Ⅱ、Ⅲ中的總勢(shì)函數(shù)分別可表示為：

2.2 問(wèn)題的求解

P波入射彈性介質(zhì)中的位移和應(yīng)力應(yīng)滿足［6］：

根據(jù)界面應(yīng)力和位移連續(xù)條件，在隧道外表面r＝r1處存在：

在初期支護(hù)與二次襯砌的接觸面r＝r2處存在：

在隧道內(nèi)表面r＝r3處存在：

將式（4）～（6）代入式（9）～（11），整理可得方程組：

求解上述方程組即可確定待定系數(shù) An、Bn、Cn、Dn、Fn、Gn、Kn、Ln、Mn、Nn的值，將待定系數(shù)代入式（4）～式（6），便可確定介質(zhì)I、II、III中的勢(shì)函數(shù)，勢(shì)函數(shù)確定后將其代入式（7）～（8），可以得到平面P波入射下復(fù)合襯砌隧道結(jié)構(gòu)的位移及應(yīng)力分布。

3 爆破地震波作用下隧道動(dòng)力響應(yīng)的敏感性分析

紅山南路隧道群位于南京火車站北側(cè)，其中管廊隧道的K1＋934.9～K1＋953.4段與機(jī)動(dòng)車隧道的K1＋930.7～K1＋950.8段和地鐵1號(hào)線中心相交，最近處距離僅為4.5m。因此，地鐵1號(hào)線既有隧道上方正在開(kāi)挖的隧道群的爆破施工不可避免地會(huì)對(duì)地鐵1號(hào)線的運(yùn)行造成影響

表1 敏感性分析所用的材料參數(shù)Table 1 Materials parameters for sensitivity analysis

已知交叉段地鐵隧道所處地層巖性為石灰?guī)r夾白云質(zhì)灰?guī)r，且?guī)r體較完整，屬Ⅲ級(jí)圍巖地質(zhì)；隧道內(nèi)徑為5m；初期支護(hù)層厚0.15m，采用C20砼；二次襯砌層厚0.45m，采用C30砼。將圍巖、初期支護(hù)層、二次襯砌層分別視為圖1中介質(zhì)I、II、III層，其物理力學(xué)參數(shù)及幾何尺寸如表1所示，E為彈性模量，ρ為密度，υ為泊松比，d為厚度，括號(hào)內(nèi)數(shù)值為參數(shù)取值范圍。圖2為紅山南路隧道群開(kāi)挖施工中采集的爆破振動(dòng)信號(hào)的時(shí)程曲線及功率譜密度P圖，由于地下深孔、淺孔爆破振動(dòng)的主頻范圍一般為30～300Hz［11］，結(jié)合圖2給出的信息，本文計(jì)算中選取入射波頻率為200Hz。

圖2 實(shí)測(cè)爆破振動(dòng)信號(hào)時(shí)程曲線及功率譜密度Fig.2 Time history and power spectrum density of measurement signal

3.1 動(dòng)應(yīng)力集中因數(shù)分析

隧道在爆破地震波作用下的動(dòng)力響應(yīng)問(wèn)題可以用動(dòng)應(yīng)力集中因數(shù)K 具體反映，將2.2節(jié)中確定的待定系數(shù)代入式（8），整理后可得襯砌結(jié)構(gòu)的動(dòng)應(yīng)力集中因數(shù)：

式中：σ0為入射波的應(yīng)力幅值

根據(jù)式（11）可知，隧道內(nèi)表面r＝r3的徑向應(yīng)力σrr與剪切應(yīng)力σrθ均為零，因此，本文中主要考察隧道物理力學(xué)參數(shù)及幾何尺寸對(duì)隧道圍巖（圖1中A點(diǎn)）及內(nèi)襯（圖1中B點(diǎn)）環(huán)向動(dòng)應(yīng)力集中因數(shù)的影響。圖3為在復(fù)合襯砌及單層襯砌條件下分別計(jì)算的隧道內(nèi)襯環(huán)向動(dòng)應(yīng)力集中因數(shù)對(duì)比圖。單層襯砌條件下將圖1中的介質(zhì)Ⅱ、Ⅲ等效為一層，該層材料參數(shù)參考表1中的介質(zhì)Ⅲ，厚度為0.60m。

從圖3中可以看出，其他條件相同的情況下，采用文獻(xiàn)［6］中考慮單層襯砌方法計(jì)算得到的K 要略低于本文中考慮復(fù)合襯砌的方法計(jì)算得到的K，考慮單層襯砌計(jì)算的Kmax為1.769，而按照復(fù)合襯砌計(jì)算的Kmax為1.816。因此，解析計(jì)算中將雙層的襯砌結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)化為單層襯砌可能偏于不安全，根據(jù)真實(shí)隧道結(jié)構(gòu)進(jìn)行分層計(jì)算是必要的。

圖3 復(fù)合襯砌和單層襯砌條件下動(dòng)應(yīng)力集中因數(shù)對(duì)比Fig.3 Comparison of dynamic stress concentration factors between composite－lining and single－lining tunnels

3.2 隧道物理力學(xué)參數(shù)對(duì)其動(dòng)力響應(yīng)的影響

根據(jù)表1給出的紅山南路隧道物理力學(xué)參數(shù)，借鑒2.2節(jié)中對(duì)待定系數(shù)的求解過(guò)程，可以求得不同參數(shù)取值范圍內(nèi)，隧道圍巖及內(nèi)襯環(huán)向動(dòng)應(yīng)力集中因數(shù)的變化規(guī)律，從而可以判斷隧道結(jié)構(gòu)動(dòng)力響應(yīng)的敏感參數(shù)，并以此指導(dǎo)隧道施工設(shè)計(jì)。

3.2.1 介質(zhì)彈性模量的影響

通過(guò)改變隧道圍巖、初期支護(hù)及二次襯砌的彈性模量E1、E2、E3的取值范圍，可分別得到A、B點(diǎn)環(huán)向動(dòng)應(yīng)力集中因數(shù)KA、KB隨介質(zhì)彈性模量的變化關(guān)系，如圖4～6所示。對(duì)KA、KB進(jìn)行數(shù)據(jù)擬合，可以得到如表2所示的回歸方程。從統(tǒng)計(jì)學(xué)角度［12］分析表2中的相關(guān)性因數(shù)R2及殘差平方和Srs可知，擬合后的回歸曲線與原始數(shù)據(jù)對(duì)比體現(xiàn)出非常好的相關(guān)性，可真實(shí)地反映動(dòng)應(yīng)力集中因數(shù)隨各層介質(zhì)彈性模量變化的敏感性，能夠?yàn)樗淼揽拐鹪O(shè)計(jì)中合理匹配介質(zhì)材料參數(shù)提供依據(jù)。

圖4 KA、KB隨圍巖彈性模量的變化Fig.4 KAand KBvaried with elastic modulus of surrounding rock

圖5 KA、KB隨初期支護(hù)層彈性模量的變化Fig.5 KAand KBvaried with elastic modulus of primary lining

圖6 KA、KB隨二次襯砌層彈性模量的變化Fig.6 KAand KBvaried with elastic modulus of secondary lining

由圖4可知：當(dāng)圍巖的彈性模量E1從40MPa變化到95MPa時(shí)，KA增大了76.1%，而KB則減小了54.5%。由此說(shuō)明，當(dāng)隧道圍巖彈性模量增大時(shí)，圍巖中由爆破地震波中P波反射產(chǎn)生的動(dòng)應(yīng)力增大，而內(nèi)襯結(jié)構(gòu)中的動(dòng)應(yīng)力則呈減小趨勢(shì)，且圍巖彈性模量的變化對(duì)圍巖動(dòng)力響應(yīng)的影響較明顯。

從圖5～6中可以看出：當(dāng)初期支護(hù)層的彈性模量E2從20MPa增加到30MPa時(shí)，KA、KB分別減小了3.26%和3.24%，均呈減小趨勢(shì)，但變化幅度不大；當(dāng)二次襯砌層的彈性模量E3從20MPa增加到36MPa時(shí)，KA減小了29.9%，而KB增大了76.9%。

由此可以得出結(jié)論：在隧道抗震設(shè)計(jì)時(shí)，條件允許的前提下應(yīng)盡可能選擇彈性模量大的初期支護(hù)層；而對(duì)于二次襯砌層，由于襯砌環(huán)向應(yīng)力的增大幅度要大于圍巖的減小幅度，在隧道設(shè)計(jì)時(shí)，滿足結(jié)構(gòu)承載要求的條件下選擇剛度較小的襯砌材料，可以有效改善隧道結(jié)構(gòu)的受力情況。

表2 動(dòng)應(yīng)力集中因數(shù)隨隧道物理力學(xué)參數(shù)變化關(guān)系的回歸方程Table 2 Regression equations for relations between dynamic stress concentration factors and physico－mechanical parameters of tunnel

3.2.2 泊松比的影響

由于初期支護(hù)及二次襯砌所用商砼的泊松比變化范圍不大，本節(jié)僅針對(duì)隧道圍巖泊松比變化對(duì)隧道結(jié)構(gòu)動(dòng)力響應(yīng)的影響進(jìn)行分析。圖7為圍巖泊松比變化對(duì)圍巖及內(nèi)襯環(huán)向應(yīng)力影響的回歸曲線，其回歸方程及參數(shù)見(jiàn)表2。從圖7可看出：隨泊松比的增大，KA、KB分別減小64.8%和27.5%，圍巖泊松比對(duì)圍巖應(yīng)力的影響比其對(duì)襯砌應(yīng)力的影響大得多。

圖7 KA、KB隨圍巖泊松比的變化Fig.7 KAand KBvaried with Poisson’s ratio of surrounding rock

3.3 隧道幾何尺寸對(duì)其動(dòng)力響應(yīng)的影響

3.3.1 二次襯砌層厚度的影響

圖8為二次襯砌厚度d1變化對(duì)圍巖和內(nèi)襯環(huán)向應(yīng)力影響的回歸曲線圖，具體的回歸方程及參數(shù)見(jiàn)表3。從圖8可看出：當(dāng)二次襯砌層厚度從0.25m增加至0.60m時(shí)，KA減小了40.3%，KB增大了3.5%，內(nèi)襯中應(yīng)力的增大幅度遠(yuǎn)小于圍巖應(yīng)力的減小幅度，這一點(diǎn)與單層襯砌是不同的［6］。

因此，在較不穩(wěn)定的地層中進(jìn)行隧道施工時(shí)，在綜合對(duì)比圍巖與襯砌材料參數(shù)及經(jīng)濟(jì)合理性的前提下可以考慮適當(dāng)加大二次襯砌層的厚度。

圖8 KA、KB隨二次襯砌層厚度的變化Fig.8 KAand KBvaried with secondary lining thickness

3.3.2 初期支護(hù)層厚度的影響

圖9為初期支護(hù)層厚度d2變化對(duì)圍巖和內(nèi)襯環(huán)向應(yīng)力影響的回歸曲線，其回歸方程及參數(shù)見(jiàn)表3。由圖9可知：當(dāng)d2從0.10m變化到0.30m時(shí)，KA減小了19.6%，KB增大了2.0%，與二次襯砌層厚度d1變化對(duì)KA、KB的影響規(guī)律相似，d2變化對(duì)圍巖應(yīng)力的影響要大于對(duì)襯砌應(yīng)力的影響。因此，隧道設(shè)計(jì)時(shí)，也可以通過(guò)增加初期支護(hù)的厚度保證圍巖與襯砌的動(dòng)應(yīng)力均小于其動(dòng)抗拉強(qiáng)度，但效果次于增加二次襯砌厚度。

表3 動(dòng)應(yīng)力集中因數(shù)隨隧道幾何尺寸變化關(guān)系的回歸方程Table 3 Regression equations for variations of dynamic stress concentration factors with geometrical dimensions of tunnel

4 結(jié) 論

采用波函數(shù)展開(kāi)法，推導(dǎo)了無(wú)限彈性介質(zhì)中復(fù)合襯砌結(jié)構(gòu)隧道在爆破地震波作用下衍射問(wèn)題的解析解，結(jié)合實(shí)例分析了隧道物理力學(xué)參數(shù)及幾何尺寸對(duì)其動(dòng)應(yīng)力集中因數(shù)的影響，得到如下結(jié)論：

（1）研究爆破地震波作用下隧道衍射問(wèn)題的解析求解過(guò)程，可以為隧道抗震設(shè)計(jì)中合理匹配襯砌材料和厚度提供指導(dǎo)性意見(jiàn)，其解析結(jié)果有助于解決更復(fù)雜的工程應(yīng)用問(wèn)題。

（2）比較復(fù)合襯砌和單層襯砌條件下內(nèi)襯結(jié)構(gòu)的環(huán)向動(dòng)應(yīng)力集中因數(shù)，得知解析計(jì)算中將隧道襯砌簡(jiǎn)化為單層結(jié)構(gòu)偏于不安全，根據(jù)隧道真實(shí)結(jié)構(gòu)進(jìn)行求解是必要的。

（3）圍巖和二次襯砌彈性模量變化對(duì)隧道結(jié)構(gòu)所選2處考察點(diǎn)環(huán)向動(dòng)應(yīng)力的敏感性要遠(yuǎn)大于初期支護(hù)層；圍巖、內(nèi)襯的環(huán)向動(dòng)應(yīng)力均隨圍巖介質(zhì)泊松比的增大而減小，且前者變化的敏感程度大于后者。

（4）在不穩(wěn)定的地層中，通過(guò)增大襯砌層的厚度在一定程度上可以改善圍巖和襯砌結(jié)構(gòu)的受力情況，且增加二次襯砌層厚度的效果要優(yōu)于初期支護(hù)層。

圖9 KA、KB隨初期支護(hù)層厚度的變化Fig.9 KAand KBvaried with primary lining thickness

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