泡沫金屬的微慣性效應和動態塑性泊松比＊

王長峰，鄭志軍，虞吉林

（中國科學技術大學中國科學院材料力學行為與設計重點實驗室，安徽 合肥230026）

泡沫金屬具有穩定且可持續吸收能量的平臺應力，作為吸能材料在工業領域應用廣泛。在實際應用中，泡沫金屬大多經受復雜加載狀態，因而了解泡沫金屬在多軸加載下的力學行為有重要的意義。

準靜態條件下，許多學者給出了泡沫金屬多軸加載下的唯象屈服表面。G.Gioux等［1］給出了開孔和閉孔泡沫金屬準靜態條件下唯象的屈服表面，M.Doyoyo等［2］給出了以拉伸加載狀態為主的唯象屈服表面。V.S.Deshpande等［3］給出了唯象的屈服表面及其演化規律。C.Chen等［4］在理論上提出了一個泡沫金屬本構模型的唯象框架，能夠很好地描述泡沫金屬在壓縮主導的應力狀態下的響應。泊松比作為材料本構模型中的重要參數，影響著屈服面的形狀，因而得到泡沫金屬泊松比的準確結果有著重要的意義。由于泡沫金屬的不規則性，在實驗中很難準確測量泡沫金屬的泊松比。G.Gioux等［1］測量了相對密度7%的Duocel泡沫和相對密度8%的Alporas泡沫，認為其塑性泊松比分別為0.052和0.024。V.S.Deshpande等［3］測量了相對密度16%的Alporas泡沫和相對密度7%的Duocel泡沫，認為其塑性泊松比分別約為0.2和0.15。即便是相同相對密度的Duocel泡沫，其塑性泊松比的測量結果也存在較大的差異。在動態沖擊條件下，J.L.Yu等［5］發現閉孔泡沫金屬在側向約束條件下動態壓潰應力隨著加載速率的增加有顯著下降。為了解釋這個現象，要對泡沫金屬動態塑性泊松比問題有較深入的研究。但由于實驗條件和測量手段的限制，測量泡沫金屬動態塑性泊松比是非常困難的，P.S.Kumar等［6］和S.L.Lopatnikov等［7］認為泡沫金屬的動態塑性泊松比為0，但是沒有給出具體的測量結果。數值模擬方法能夠克服實驗測量手段的限制，采用泡沫金屬的細觀有限元模型，可以定性研究泡沫金屬塑性泊松比的變化規律。

本文中采用三維Voronoi結構的開孔和閉孔泡沫金屬模型，研究2類泡沫金屬動靜態加載條件下塑性泊松比的變化規律，并討論相對密度和沖擊速度對其的影響，進而分析微慣性對泡沫金屬軸向沖擊性能的影響，并對實驗中的現象給出了解釋。

1 數值模擬

1.1 三維Voronoi構型

為了得到與真實泡沫相似的幾何構型，采用三維隨機Voronoi技術［8］構建了閉孔和開孔2種泡沫金屬的細觀模型。在給定的體積為V0的區域上隨機撒下N個點，如圖1（a）所示，滿足任意兩點的距離δ不小于一定的給定的距離δmin，其定義為：

式中：k為不規則度，d0和Vc分別為規則正十四面體模型中最鄰近成核點之間的距離和單胞的體積。

這N個成核點被拷貝到周圍的26個區域中，通過這27 N個成核點生成Voronoi構型，最后通過切割算法獲取原先指定空間區域內的Voronoi結構。采用Voronoi構型的胞元表面結構來構建閉孔泡沫金屬的細觀有限元模型，采用胞元棱邊來構建開孔泡沫金屬的細觀模型，分別如圖1（b）和（c）所示。

圖1 含600個胞元的三維Voronoi構型Fig.1 Three－dimension voronoi models with 600nucleus

1.2 有限元模型

有限元模型的幾何尺寸為20mm×20mm×30mm，長軸為加載方向。整個幾何模型含有600個胞元，不規則度為0.5。并假定基體為彈性－理想塑性材料，密度ρs＝2.77g／cm3，楊氏模量Es＝69GPa，彈性泊松比νs＝0.3，屈服強度σys＝170MPa。泡沫模型上下表面添加剛性表面，下部的剛性表面固定，上部的剛性面以恒定的沖擊速度v壓縮泡沫樣品。泡沫模型和剛性平面，以及泡沫模型內部的結構施加了接觸。為了著重探討細觀拓撲結構、相對密度和沖擊速度對泡沫金屬宏觀力學行為的影響，近似忽略摩擦的影響，在計算模擬過程中將摩擦系數設為0.02［9］。

對于閉孔泡沫金屬模型，假定泡沫金屬有均勻的厚度，其相對密度可以表示為：

式中：ρ0是泡沫材料的密度，ρs是基體材料的密度，V是泡沫材料的體積，Ai是第i個胞壁的表面積，h為泡沫材料的胞壁厚度。模型的有限元單元采用ABAQUS中的S3R和S4R殼單元。通過網格敏感性分析，殼單元的特征長度設置為0.3mm，最終劃分為約170 000個殼單元，其中包括約20 000個S3R單元和150 000個S4R單元。

對于開孔泡沫金屬模型，假定所有棱邊有相同的橫截面面積A，其相對密度可以表示為：

式中：Li是第i個棱邊的長度。采用ABAQUS中的B31單元模擬。通過網格敏感性分析，梁單元的特征長度為0.25mm，最終劃分成約38 000個梁單元。

2 計算結果與分析

2.1 變形模式

相對密度為0.1的開孔和閉孔泡沫金屬在不同沖擊速度下的變形分別如圖2（a）、（b）所示。無論是開孔泡沫金屬還是閉孔泡沫金屬，在不同沖擊速度下的變形都可以分成3種主要的模式。這與二維隨機蜂窩觀察到的變形模式是一致的［9－10］。在沖擊速度較低時（如1m／s），其變形較為均勻，表現為隨機分布的剪切變形帶，稱之為“均勻模式”。當沖擊速度很高時（如110m／s），泡沫金屬表現為逐層壓潰變形，在沖擊端附近形成很窄的變形帶，稱為“沖擊模式”。當沖擊速度介于這兩者之間時，泡沫金屬的變形帶比較集中于沖擊端，形成較為局部的變形帶，稱為“過渡模式”。

圖2 泡沫金屬在不同沖擊速度下的變形模式Fig.2 Deformation modes of metallic foam under different impact velocities

2.2 臨界速度

為了描述隨機蜂窩材料的變形／應力均勻性，Y.D.Liu等［10］引入了應力均勻性指標：

式中：σ（s）pl和σ（i）pl分別為支撐端和沖擊端的平臺應力。同時認為均勻性指標90%可作為一個臨界值，對應于從均勻模式到過渡模式的臨界轉變速度。相對密度為0.1的閉孔和開孔泡沫金屬的均勻性參數φ隨沖擊速度的變化規律分別如圖3（a）、（b）所示。

圖3 泡沫金屬的應力均勻性指標隨沖擊速度變化關系Fig.3 Stress uniformity index varied with impact velocity for metallic foam

對于閉孔泡沫金屬，臨界轉變速度為56.7m／s，對于開孔泡沫金屬，臨界轉變速度為39.7m／s。當沖擊速度很高時，泡沫金屬模型的變形處于過渡模式或沖擊模式，局部變形會使得泡沫金屬的力學行為更多地表現為一種結構響應，而非材料響應。這時試件橫向變形的宏觀度量失去意義，定義的動態塑性泊松比偏差較大。因而泡沫金屬動態泊松比問題僅僅限定在泡沫金屬處于“均勻模式”下討論。

2.3 相對密度對塑性泊松比的影響

泡沫金屬塑性泊松比定義為橫向塑性應變（εx和εy的平均值）的負值與軸向塑性應變εz的比值：

在低速沖擊（1m／s）下，不同相對密度的閉孔和開孔泡沫金屬的名義塑性泊松比隨著軸向應變的變化分別如圖4（a）、（b）所示。計算結果表明，當軸向應變較小時，名義塑性泊松比的值較大，隨著相對密度的增大，2種泡沫金屬的塑性泊松比和初始的峰值均有明顯的提高。

圖4 不同相對密度的泡沫金屬的塑性泊松比隨軸向應變的變化Fig.4 Plastic Poisson’s ratio varied with longitudinal strain for foams with different relative densities

2.4 沖擊速度對塑性泊松比的影響

在不同的沖擊速度下，相對密度為0.1的閉孔和開孔泡沫金屬的塑性泊松比隨軸向應變的變化如圖5所示。圖6所示為塑性泊松比峰值隨沖擊速度的變化，隨著沖擊速度提高，閉孔和開孔泡沫金屬的塑性泊松比的峰值有明顯下降。

圖5 不同沖擊速度下泡沫金屬塑性泊松比隨軸向應變的變化Fig.5 Plastic Poisson’s ratio varied with longitudinal strain at different impact velocities

塑性泊松比隨著沖擊速度的下降可以解釋為：在準靜態單軸壓縮情況下，由于泊松效應，泡沫會發生橫向膨脹。當沖擊速度很低時，泡沫有充分的時間發生橫向變形；但當沖擊速度提高時，由于橫向慣性的存在，泡沫金屬來不及發生橫向變形。因而，塑性泊松比隨著沖擊速度的增加，其峰值下降。

以上機制可以解釋文獻［5］中的實驗現象。當施加側向約束后，在準靜態加載下，較高的塑性泊松比初始峰值導致較大的變形阻力，泡沫金屬的初始壓潰應力提高。當沖擊速度較高時，塑性泊松比的初始峰值很低，側向阻力減弱，所以側向約束條件下泡沫金屬的壓潰載荷隨著加載速率的提高而降低。

圖6 泡沫金屬塑性泊松比峰值隨沖擊速度的變化Fig.6 Peak value of plastic Poisson’s ratio varied with impact velocity

2.5 微慣性效應

橫向慣性的存在會直接影響泡沫金屬的動態塑性泊松比。由于泡沫金屬材料中存在大量空隙，局部的橫向變形并不會對周圍材料產生影響，這種橫向慣性效應實際上是一種微慣性。對于微慣性效應的存在是否影響泡沫金屬的軸向力學性能，文獻中有一些沖突的觀點。一些研究者認為，細觀結構的微慣性對金屬泡沫的動態增強效應起到了非常重要的作用［11－13］；但另外一些研究者認為，微慣性對泡沫金屬的動態增強效應的影響很微弱［14］。為了量化微慣性效應，即橫向慣性對軸向力學性能的影響，Y.D.Liu等［10］引入了微慣性參數μ，定義為泡沫金屬所有節點的側向加速度平方根（Ax和Ay）和縱向加速度平方根（Az）之比：

對于不同沖擊速度下的微慣性參數隨軸向應變的變化，如圖7所示。

圖7 泡沫金屬微慣性參數隨軸向應變的變化Fig.7 Micro－inertia parameter varied with longitudinal strain for metallic foam

圖8所示為泡沫金屬的微慣性參數的平均值與沖擊速度的關系，從圖8（a）中可知閉孔泡沫金屬的微慣性參數的平均值隨著沖擊速度的下降而下降；從圖8（b）中可知，開孔泡沫金屬的微慣性參數的平均值隨著沖擊速度的增加基本保持恒定。并且它們的數值與密實固體材料同量級，遠小于典型的第二類結構的微慣性參數［10］。這說明三維泡沫金屬不是典型的第二類結構，微慣性效應是微弱的。

圖8 泡沫金屬微慣性參數隨沖擊速度的變化Fig.8 Micro－inertia parameter varied with impact velocity

3 結 論

采用三維細觀有限元模型模擬了閉孔和開孔2種泡沫金屬的動態壓縮響應。結果顯示2種三維泡沫金屬均與二維隨機蜂窩有類似的變形模式分類，即隨著沖擊速度的提高出現均勻模式、過渡模式和沖擊模式。當發生均勻模式的變形時，開孔和閉孔泡沫金屬的塑性泊松比均不是一個常數，塑性泊松比隨著軸向應變的增加而下降。當相對密度增加時，泡沫內部孔隙減少，導致泡沫金屬的塑性泊松比有明顯的提高。而隨著沖擊速度的增加，泡沫金屬的動態塑性泊松比隨著軸向應變的增加有明顯的下降。這是由于橫向慣性的存在，隨著速度提高，泡沫金屬中以細觀結構崩塌為主導的變形來不及引起宏觀的側向膨脹，從而解釋了文獻［5］中實驗觀察到的現象。通過分析橫向慣性對平臺應力的影響，發現對于閉孔和開孔泡沫金屬，微慣性效應相比典型的第二類結構來說要小的多。因此，泡沫金屬不是典型的第二類結構，微慣性對平臺應力的影響是非常微弱的。

［1］Gioux G，McCormack T M，Gibson L J.Failure of aluminum foams under multiaxial loads［J］.International Journal of Mechanical Sciences，2000，42（6）：1097－1117.

［2］Doyoyo M，Wierzbicki T.Experimental studies on the yield behavior of ductile and brittle aluminum foams［J］.International Journal of Plasticity，2003，19（8）：1195－1214.

［3］Deshpande V S，Fleck N A.Isotropic constitutive models for metallic foams［J］.Journal of the Mechanics and Physics of Solids，2000，48（6／7）：1253－1283.

［4］Chen C，Lu T J.A phenomenological framework of constitutive modelling for incompressible and compressible elasto－plastic solids［J］.International Journal of Solids and Structures，2000，37（52）：7769－7786.

［5］Yu J L，Wang E H，Li J R.An experimental study on the quasi－static and dynamic behavior of aluminum foams under multi－axial compression［M］.Lancaster：D E Stech Publications，2008：879－882.

［6］Kumar P S，Ramachandra S，Ramamurty U.Effect of displacement－rate on the indentation behavior of an aluminum foam［J］.Materials Science and Engineering：A，2003，347（1／2）：330－337.

［7］Lopatnikov S L，Gama B A，Haque M J et al.Dynamics of metal foam deformation during Taylor cylinder－Hopkinson bar impact experiment［J］.Composite Structures，2003，61（1／2）：61－71.

［8］Okabe A，Boots B，Sugihara K.Spatial tessellations：Concepts and applications of Voronoi diagrams［M］.Chichester Wiley，1992：229－287.

［9］Zheng Z J，Yu J L，Li J R.Dynamic crushing of 2Dcellular structures：A finite element study［J］.International Journal of Impact Engineering，2005，32（1／2／3／4）：650－664.

［10］Liu Y D，Yu J L，Zheng Z J，et al.A numerical study on the rate sensitivity of cellular metals［J］.International Journal of Solids and Structures，2009，46（22／23）：3988－3998.

［11］Raj R E，Parameswaran V，Daniel B S S.Comparison of quasi－static and dynamic compression behavior of closedcell aluminum foam［J］.Materials Science and Engineering：A，2009，526（1／2）：11－15.

［12］Vesenjak M，Veyhl C，Fiedler T.Analysis of anisotropy and strain rate sensitivity of open－cell metal foam［J］.Materials Science and Engineering：A，2012，541：105－109.

［13］Montanini R.Measurement of strain rate sensitivity of aluminium foams for energy dissipation［J］.International Journal of Mechanical Sciences，2005，47（1）：26－42.

［14］Deshpande V S，Fleck N A.High strain rate compressive behaviour of aluminium alloy foams［J］.International Journal of Impact Engineering，2000，24（3）：277－298.