卵形彈體侵徹混凝土開坑區侵徹阻力計算＊

柴傳國，皮愛國，武海軍，黃風雷

（北京理工大學爆炸科學與技術國家重點實驗室，北京100081）

彈體在著靶時通常存在一定傾角，彈頭在非軸對稱力作用下使得彈體從開坑區就發生偏轉，彈體偏轉結束時的彈體姿態和速度對后續侵深計算會產生重要影響。目前應用較廣的Forrestal公式只給出了彈頭在開坑區的阻力，并未給出彈頭表面的應力形式［1－4］，因此難以計算彈頭表面應力對彈體產生的偏轉力矩，給準確計算彈體偏轉結束時的彈體姿態和速度等參量帶來困難，并影響了開坑區彈體偏轉角度和開坑區結束時彈體速度的計算精度［5－7］。為了研究彈體的姿態偏轉角度，需要對彈頭表面在開坑區的侵徹阻力的清晰描述。本文中基于此開展彈頭曲徑比為2和4.55的卵形彈體在400、600和800m／s速度下的混凝土侵徹實驗。采用最小二乘法對實驗數據進行分析，基于分析結果計算了開坑區的侵深和速度，并與同等條件下采用Forrestal公式的計算結果進行了對比，得到相應的公式的適用范圍。

1 Forrestal公式

在混凝土侵徹阻力計算中應用最廣的是Forrestal公式，其將彈體侵徹半無限混凝土靶的過程可分為開坑區和隧道區2個階段。M.J.Forrestal等［2］認為開坑區的侵徹阻力隨開坑深度線性增加，并認為開坑深度是彈體直徑d的2倍，開坑區（0＜z≤2d）和隧道區（z＞2d）阻力形式為：

式中：z是彈軸方向的侵徹深度，F是彈體的侵徹阻力，c是開坑區的侵徹阻力系數，v1是開坑區結束時的彈體速度，vs是彈體初始撞擊速度，v是彈體侵徹的瞬時速度，a是彈身半徑，S是靶體靜態阻力系數，fc是靶體的無側限抗壓強度，m是彈體質量，N是彈頭系數，ρ是靶體密度，ψ是彈頭的曲徑比。

M.J.Forrestal等［2］通過邊界條件和初始條件求解開坑區侵徹阻力方程得到開坑區的侵徹阻力系數c和開坑區結束時的彈體速度v1：

由上述事實可知，M.J.Forrestal等［2］提出的開坑區侵徹阻力滿足線性關系的假設，不是基于混凝土侵徹實驗數據，而是將基于土壤侵徹的加速度曲線提出的開坑區的侵徹阻力與侵徹深度滿足線性關系的假設，未作任何修正地直接應用于混凝土侵徹。開坑區阻力系數c是在上述假設下，基于混凝土侵徹實驗數據，由隧道區和開坑區的交界處阻力相等的邊界條件得到。因此，描述混凝土侵徹問題的Forrestal公式的參數都是基于實驗數據，能較好地計算混凝土的侵徹深度。

但上述求解過程中人為定義開坑區深度為2d，和開坑區阻力形式為線性關系，并不能反應真實的物理過程，也不能給出開坑區的侵徹阻力的應力表達式。Chen Xiao－wei等［5］在計算開坑區彈體姿態偏轉時采用Forrestal公式給出的開坑區總侵徹阻力的分力進行彈體偏轉的計算，這一方法由于Forrestal公式阻力形式的限制而無法準確計算彈體在非軸對稱情況下的彈體阻力和偏轉力矩，因而對彈體姿態偏轉的預估帶來困難。

2 實驗研究

實驗使用2種卵形彈體，彈頭的曲徑比分別為2和4.55（文中稱為OP2型彈和OP5型彈）。彈身直徑d均為40mm，彈身長度L均為160mm，彈體材料為30CrMnSiNi2A高強度合金鋼，通過改變彈體內部開孔深度和開孔直徑確保彈體質量均為1.4kg以及彈體質心處于彈體中部，圖1給出了2種彈體的結構示意圖。

圖1 2種型號彈體結構示意圖Fig.1 Schematic of two kind of ogive－nose projectiles

實驗用混凝土圓柱靶體直徑是1.2m，高度是1.2m，側面采用3mm厚鋼板圍箍。混凝土的標準立方體塊壓縮強度是18.5MPa，密度是2 238kg／m3。實驗采用北京理工大學爆炸科學與技術國家重點實驗室炮管內徑152mm的一級氣體炮作為加載裝置。采用高速攝影儀記錄彈體的著靶速度和著靶姿態。圖2所示是OP2型彈在初始撞擊速度為431m／s時的開坑區照片。

圖2 侵徹過程中開坑區照片Fig.2 Pictures of crater region during penetration process

OP2型彈和OP5型彈在不同撞擊速度時，開坑區的彈體速度和侵深數據如表1所示。

表1 開坑區在侵徹過程中的數據Table 1 Experimental data of crater region during penetration process

3 最小二乘法分析

為了探討開坑區彈頭的應力表達式，對開坑區的侵徹實驗數據采用最小二乘法進行擬合，分析開坑區的侵徹阻力形式，并對擬合結果進行檢驗。在擬合分析開坑區阻力形式時，采用開坑區總的動能消耗ΔE進行擬合，而在檢驗開坑區阻力的擬合分析結果時，采用開坑區不同侵深時的速度進行擬合。由于在擬合分析開坑區阻力形式時僅使用了初態和終態2個速度點，而檢驗擬合得到的阻力形式時則采用了侵徹過程的多個速度點，保證了檢驗過程的有效性。

參考M.J.Forrestal等［2］對侵徹阻力的描述，認為開坑區的侵徹阻力與靶體密度ρ、靶體無側限抗壓強度fc、彈體直徑d、彈頭系數N和侵徹速度v有關，設開坑過程中彈頭表面應力形式為：

當開坑區侵深zi時，彈頭的軸向阻力可表示為：

式中：A和B均為待定系數，r是彈頭的曲率半徑，a是彈身半徑，μ是摩擦系數，φ0是彈頭侵徹的初始角度，φ是侵深為zi時的角度，如圖3所示。

圖3 彈頭參量示意圖Fig.3 Penetration parameters of ogive－nose projectile

將開坑區侵深分成一系列小的位移δz，每個小位移內彈體速度和彈靶接觸面積均恒定，則通過式（4）可求得侵深zi時的開坑區阻力F（zi）。由侵深zi時的開坑區侵徹阻力F（zi）和小位移δz可求得在每一個小位移δz內的彈體動能變化δEi，進而求得小位移δz結束時的侵徹速度vi和下個小位移δz初始時刻的侵徹阻力F（zi＋1）。不斷重復上述過程，得到開坑區每個侵深時的速度和位移關系。具體過程可分別計算：，然后代入式（3）～（4）。當計算侵徹深度zi與開坑侵深zc相等時，停止計算，輸出用待定系數A和B表示的彈體開坑侵深zc時的侵徹速度和動能消耗ΔEi，摩擦系數取0.01。

采用系數A和B來表示的彈體開坑侵深zc時消耗的動能ΔEi，基于最小二乘法對實驗測得的開坑過程中的消耗的動能ΔE進行擬合，得到相同侵深時計算得到的消耗的彈體動能ΔEi與實驗值偏差的平方和最小時的系數A和B，開坑侵深zc、撞擊速度vs、開坑侵深對應的侵徹速度vc和彈體動能消耗ΔEi，如表2所示。

表2 最小二乘法擬合用的數據Table 2 Parameters for least square fitting

取表1中最大侵深為最小二乘法擬合使用的開坑侵深zc，取OP2型彈體的開坑侵深zc為3個速度下的平均值0.128m，OP5型彈體的開坑侵深zc為3個速度下的平均值0.152m。其中，對OP2型彈的數據擬合得到A＝1.715×10－7，B＝1.486×10－1，對OP5型彈 的 數 據 擬 合 得 到 A ＝ 3.67×10－7，B ＝1.671×10－1，擬合結果如圖4所示。

圖4 最小二乘法對彈體開坑過程中耗能的擬合分析Fig.4 Fitted curves of kinetic energy decrease during cratering

將擬合得到的A和B的值代入式（3）后比較阻力的靜態部分和慣性部分的大小，可知開坑過程中侵徹阻力中的靜態部分比慣性部分小8個數量級，可忽略忽略侵徹過程中阻力中的靜態部分的影響，只考慮阻力中的慣性部分，可將開坑過程中侵徹阻力的彈頭表面應力形式表示為：

將式（5）在彈頭區域進行面積分得到開坑過程中所受到的阻力，并與Forrestal公式對開坑區侵徹阻力描述進行比較，求解了不同開坑侵深時的侵徹速度，并與高速攝影儀記錄到的不同撞擊速度下彈體侵徹速度進行了比較，如圖5～6所示。需要說明的是，Forrestal公式中的開坑侵深為2倍彈體直徑，而OP2型和OP5型彈在3個撞擊速度下的實際開坑侵深分別是0.09、0.11和0.13m以及0.12、0.15和0.11m，均大于2倍的彈體直徑。由于Forrestal公式中的侵徹阻力系數c的計算需要vs和v1這2個速度點，但通過實驗難以測得準確的v1，因此使用實驗中得到的vc近似代替，vc為對應侵徹深度zc時的速度，進而得到Forrestal公式的計算結果。

圖5 OP2型彈開坑區侵徹速度和侵深的關系Fig.5 Relation between penetration velocity and penetration depth during cratering

圖6 OP5型彈開坑區速度和侵深的關系Fig.6 Relation between penetration velocity and penetration depth during cratering

由圖5（a）和6（a）中可以看出，撞擊速度在400m／s速度區域時，Forrestal公式能更好地描述彈體的速度變化。由于Forrestal公式認為開坑過程中阻力主要由靜態部分組成，因此可以認為在撞擊速度較低時，阻力中的靜態部分起主要作用。由圖5（c）和6（c）可以看出，撞擊速度在800m／s速度區域時，式（5）能較好地描述彈體的速度變化。式（5）表明開坑過程中阻力主要由慣性部分組成，因此可以認為，當彈體的撞擊速度進入800m／s區域時，阻力中的慣性部分起主要作用。由圖5（b）和6（b）可以看出，撞擊速度在600m／s速度區域時，實驗點散落在Forrestal公式和式（5）之間，此時，阻力中的靜態部分和慣性部分共同起作用。

由表2可知，OP2型彈在初始撞擊速度分別為431、608和768m／s時，開坑區消耗的動能分別占彈體初始動能的28.90%、18.17%和25.81%。OP5型彈在初始撞擊速度分別為419、608和780m／s時，開坑區消耗的動能分別為彈體初始動能的28.39%、21.90%和27.58%。開坑區彈體消耗的動能占彈體初始動能的比例較大，因此，研究彈體在開坑區的侵徹阻力的準確表達式對計算彈體剩余侵徹能力和彈體在開坑區的姿態偏轉很有意義。

4 結 論

（1）Forrestal公式能較好地描述卵形彈體速度在接近400m／s時，開坑區的侵徹阻力和速度變化，擬合得到的式（5）能較好地描述卵形彈體速度在接近800m／s時，開坑區的侵徹阻力和速度變化。

（2）彈體速度在接近400m／s時，開坑過程中的侵徹阻力以靜態部分為主。隨著撞擊速度的增加，侵徹阻力中的慣性部分越來越大。當彈體撞擊速度接近800m／s時，開坑過程中的侵徹阻力以慣性部分為主，此時，可以忽略阻力中的靜態部分。當撞擊速度介于二者之間的速度區域時，靜態部分和慣性部分對侵徹阻力共同起作用。

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