EMD樣本熵在滾動軸承信號復雜性度量中的應用

王 季 ， 樓軍偉 ，2， 李貴子， 朱 琳

（1.甘肅省機械產品檢測與技術評價重點實驗室，甘肅 蘭州 730030；2.蘭州理工大學機電工程學院，甘肅 蘭州 730050）

0 引 言

軸承振動信號具有非線性、非平穩、不同復雜性等特征，直接進行傅里葉變換難以揭示頻率分量隨時間的變化情況；短時傅里葉變換、小波變換等能夠在時間和頻率上建立信號的分布，可以有效提取特征頻率，然而它們是先驗性的，自適應能力差。經驗模態分解（empirical mode decomposition，EMD）無須預先設定任何基函數，是一種后驗的、自適應的方法，按時間序列將信號多尺度分解為多個內稟模態函數（intrinsic mode function，IMF），每個 IMF 包含了原信號不同尺度上時間序列的局部特征[1-4]。度量信號復雜性的方法有Lempel-Zi復雜度、近似熵、樣本熵和頻帶熵等。Yan 等[5]將近似熵（appropriate entropy，ApEn）用于軸承狀態監測并取得較好的效果。Pincus[6]提出樣本熵（sanple entropy，SampEn），是近似熵的改進算法，其優越性在于可以較好地依賴時間序列長度，不存在比較自身數據段的問題；參數改變時結果一致性較好；能更精確度量非線性信號在時間序列上的復雜性等。這個方法廣泛應用于信號處理[5-9]。

本文采用EMD結合樣本熵的方法，分析它們的算法和樣本熵合適數據長度的選取。對不同故障程度的滾動軸承信號應用樣本熵和EMD樣本熵的效果進行比較，發現后者度量信號復雜性效果較好，其變化趨勢與信號隨故障變化的趨勢一致。該方法可用于滾動軸承運行狀態監測和預判。

1 EMD算法流程

由N E Huang等[10]提出的經驗模態分解基于如下假設：任何復雜信號都是由一些不同的、相互獨立的內稟模態函數組成；信號不論是線性、非線性、非平穩的,都具有相同數量的極值點和過零點，或最多相差一個；上下包絡線關于時間軸局部對稱，任何兩個模態之間相互獨立。按此假設對輸入的信號x（t）進行分解，也稱為“篩選過程”。圖1為EMD分解流程圖。

圖1 EMD分解流程圖

1）整個循環中，上下包絡線Ei、Ej是用 3次樣條曲線連接信號x（t）的所有局部極大值點和所有局部極小值點得到。第一次求上下包絡線平均值記為m1（t），令：

如果h1（t）是第一個分量 IMF1，則循環停止。

2）若不是，則按流程圖所示返回以h1（t）為原始信號繼續求上下包絡線以及平均值m2（t），令：

判斷h2（t）是否為IMF分量，如此循環n次，直到：

式中hn（t）滿足 IMF 分量要求。

3）將hn（t）分離出來，記c1（t）=hn（t）為信號x（t）的第一個IMF分量，得到：

4）判斷r1（t）是否單調，若不是，再按流程圖所示重復以上步驟n次，直到得到信號x（t）所有IMF分量為止。

即：

5）原始信號x（t）組成為

式中rn（t）為殘余函數，代表信號平均趨勢。

EMD從信號時間序列出發，把信號中特征模態從最小到最大逐步分離出來，使波形輪廓更加對稱，整個過程中無需預先設定任何基函數，是一種多尺度、自適應的方法，適合于分解非線性、非平穩滾動軸承信號。

2 樣本熵

2.1 樣本熵算法

1991年Pincus提出了近似熵，但是近似熵存在自身數據匹配等問題。于是Richman[9]在近似熵的基礎上提出了不需要比較自身數據的樣本熵。算法步驟如下：

對EMD分解后的其中一個分量c1（t），設其具有N個數據點。預先定義相似容限r，通常取r=0.1～0.25SD（x），SD 表示x（N）的標準差，模式維數m=2。

1）重構m維向量：

其中i=1，2，…，N-m。

2）計算c（i）與c（j）元素間的距離dij，dij為對應元素差值絕對值的最大值：

其中k=0，1，…，N-m。

4）求 Bim（r）的平均值：

5）根據維數 m，重復 1）～4）得到 Bim+1（r）和 Bm+1（r）

6）最后計算當 N 為有限值時 SampEn（m，r）

可見樣本熵是用一個非負數來表示一個時間序列的復雜性，越復雜的時間序列樣本熵越大，越規則的時間序列樣本熵越小。

2.2 數據長度選取

當維數 m=2，r=0.25SD（c）時，如何選取數據長度N，圖2給出了驗證。

圖2 數據長度對樣本熵結果穩定性影響

當數據長度小于500時，樣本熵計算結果波動比較大，當數據長度大于1000以后，樣本熵計算結果趨于穩定。結合實際測取的軸承信號，本文選取數據長度為2500，使計算速度、精度和穩定性都有保證。

綜上可知，EMD能對信號按時間序列做多尺度分解，樣本熵能度量時間序列的復雜性，可將二者結合起來對信號進行多尺度、深層次分析，即本文采用的EMD樣本熵方法。

3 實例應用比較分析

選取的電機軸承型號為6205，電機負載為1.45 kW，轉速為1750r/min時采集正常和不同故障下內圈、外圈的振動信號。其中故障程度又分點蝕直徑為 0.17，0.30，0.71mm 3 種，深度均為 0.28mm，分別記為故障1，故障2，故障3。

3.1 樣本熵

對故障1和2信號按第2部分樣本熵算法，取m=2，r=0.25SD（c），N=5 000，直接計算樣本熵，得到結果如表1所示。

表1 不同故障時信號樣本熵

根據表中數據可知，在不同故障程度下，樣本熵內、外圈明顯不一樣，相差至少在百分位以上，在Matlab中作圖曲線間隔較大。但是在故障2下，出現內、外圈熵值差僅千分位的情況，在誤差范圍內不容易區分。原因是樣本熵是單一尺度上的計算，而軸承信號是非線性、非平穩的，樣本熵在處理時有局限性，無法進行深層次計算。

3.2 EMD樣本熵

圖3 正常軸承信號3層EMD分解

圖4 故障1內圈信號3層EMD分解

圖5 故障1外圈信號3層EMD分解

將所有數據分別按EMD分解流程進行3層分解，由于篇幅有限給出了部分信號IMF分量波形。圖4，圖5是故障1情況下內圈、外圈信號3層IMF分量。與圖3正常軸承比較，故障情況下信號較復雜，并且內圈信號較外圈復雜。

再計算正常、故障1，故障2，故障3下內、外圈信號每一分量的樣本熵，結果如表2～表5所示。

1）從表2～表5可見，各分量EMD樣本熵故障軸承明顯大于正常軸承，特別是內圈EMD樣本熵更大，說明信號中產生新模式故障信號。

2）故障情況下，任何一個分量EMD樣本熵內圈較外圈大，與內、外圈EMD 3層分解圖4、圖5波形變化趨勢一致。

表2 正常軸承EMD樣本熵

表3 故障1時EMD樣本熵

圖6 故障1時IMF1分量0～1000Hz包絡譜

表4 故障2時EMD樣本熵

表5 故障3時EMD樣本熵

3）在故障情況下，各分量的EMD樣本熵均是IMF1>IMF2>IMF3，與EMD分解越后面的層信號相對越簡單一致。

4）從EMD樣本熵值看故障1時較故障2時的大，較故障3時的小。說明故障初期的EMD樣本熵較大，一定程度后樣本熵減小，到故障嚴重時樣本熵又變大，符合軸承故障對信號影響的變化趨勢。

5）表3～表5中不管是同種故障模式還是不同故障模式下，內、外圈各分量EMD樣本熵相差在百分位以上，與表1中差值僅在千分位形成明顯對比。這表明EMD多尺度分解彌補了樣本熵單尺度分析，效果比樣本熵好。

4 包絡譜分析

上文提到，EMD樣本熵越大信號越復雜，產生新模式的概率越大。為此，選取故障1時內圈的IMF1分量進行包絡譜分析，圖6為該分量0～1000Hz的包絡譜。

通過計算得知電機軸轉頻29.12Hz，內圈固有頻率157.7Hz。包絡譜中標記的頻率值與計算頻率值幾乎一致。損傷時出現電機轉頻29.3Hz及其2倍頻，內圈固有頻率157.5Hz最高峰值，以及2倍頻、3倍頻、4 倍頻、5 倍頻分別為 314.9，472.4，629.9，786Hz。 在157.5Hz兩邊出現了間隔為29.3Hz的邊頻帶。包絡譜得出診斷結果的同時也驗證了EMD樣本熵越大信號越復雜性，產生故障模式的概率越大。

5 結束語

本文采用EMD樣本熵度量滾動軸承信號復雜性，實例比較結果表明：

1）EMD是自適應的，能對時間序列進行多尺度分解的方法，有效地彌補樣本熵單一尺度上分析的缺陷，二者結合能有效度量信號復雜性。

2）分別計算了不同故障下的滾動軸承信號樣本熵和EMD樣本熵，比較結果表明后者度量信號復雜性效果更好，在不同損傷程度時熵值明顯不一樣。

3）在故障程度逐漸變大的情況下，EMD樣本熵先大-后小-再大的變化趨勢準確反映了信號隨故障變化的趨勢，在軸承狀態變化預測方面有較大的應用價值。

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