群模糊層次分析法的改進及應用

李 亮 龔光紅

(北京航空航天大學 自動化科學與電氣工程學院，北京100191)

陳金磊 柳瓊俊

(北京機電工程研究所 信息化室，北京100074)

層次分析法(AHP，Analytic Hierarchy Process)是一種從定性分解到定量分析，再到定量綜合的決策方法.它采用兩兩判斷矩陣來確立指標的權重，其應用難點在于基于專家主觀評價來構造的兩兩判斷矩陣難以獲得滿意的一致性［1］.目前提出的解決方法主要有:經驗估計法、最優傳遞矩陣法、向量夾角余弦法、模式識別法、誘導矩陣法等［2］.這些方法要求專家反復輸入、循環計算一致性直到達到設定閾值為止，增加了AHP使用和計算復雜度［3］.

為了提高AHP實用性，針對實際決策中人類思維的模糊性，采用模糊數學中三角模糊數相關理論提出一種改進的群模糊層次分析法(IGFAHP，Improved Group Fuzzy Analytic Hierarchy Process)，同時引入專家權重系數考慮不同專家不同權重的影響.

1 IGFAHP介紹

IGFAHP將專家的語言意見通過三角模糊數轉化為直接模糊判斷矩陣，并導出可能度矩陣計算權重.同時IGFAHP根據專家重要程度以及相關指標計算專家權重系數，來評價不同專家對決策結果的影響.

IGFAHP主要步驟包括評價指標集的確定，各指標權重的確定，模糊評判矩陣的確定以及綜合評判的確定與排序.

1.1 評價指標集的確定

設系統決策總目標A可以分成m個指標子集，分別記為 B1，B2，…，Bm，Bi(i=1，2，…，m)之間相互獨立，定義滿足:

1.2 各指標權重的確定

專家對指標權重的評價存在模糊性.采用三角模糊數既描述其模糊性，又適合作數學處理［4］.按照表1所示的指標標度表結合專家對某指標重要性的意見構造各層次指標的模糊判斷矩陣.

表1 指標標度表Table1 Index scale

設上一層指標B與下一層指標C1，C2，…，Cn之間存在隸屬關系(B為 C1，C2，…，Cn的父指標)，則專家給出的權重意見按標度表轉換后，可得直接模糊判斷矩陣Rw，表達式為

式中，ri=(li，mi，ui)是三角模糊數，i=1，2，…，n;li，mi，ui分別表示指標Ci在與父指標 B進行比較時，專家給出的最悲觀估計值、最可能估計值和最樂觀估計值;Rw是一個1×n的三角模糊數矩陣，表示專家給出父指標B下各指標的重要性程度.

通過Rw可以計算出指標 C1，C2，…，Cn的相對于父指標B的權重，其方法如下:設有s(s≥1)個專家給出指標 C1，C2，…，Cn相對于父指標 B的三角模糊數矩陣集表達式為

式中，k=1，2，…，s.當 s=1 時為個體決策;當 s＞1時為群體決策.計算相對權重步驟如下:

1)集結s個專家的偏好信息.s個專家的偏好信息分為相同和不同兩種情況.

若專家的重要程度相同，則綜合判斷矩陣的表達式為

若專家的重要程度不同，則通過對專家知名度、職稱、學歷、判斷依據、熟悉程度和自信度6種常見因數進行評分比較得出專家權重系數［5］.設有s位專家，第t個專家的權重系數計算表達式為

式中，at，bt，ct，dt，et，ft為專家的職稱、學歷、判斷依據、熟悉程度和自信度，對應的分值如表2所示.

表2 專家權重系數打分表Table2 Expert weight factor scoring

歸一化處理為

則s個專家的偏好判斷信息后的綜合判斷矩陣為

2)計算歸一化的綜合判斷矩陣.指標Ci對應的歸一化后得，表達式為

記歸一化的綜合判斷矩陣為Sw，表達式為

3)求得各指標相應的可能度，建立可能度矩陣V.為了比較兩個三角模糊數接近程度，定義三角模糊數可能度(PD，Possible Degree)，可能度為實數值，計算表達式［6］為

式中，M1=(a1，b1，c1)，M2=(a2，b2，c2)為 2 個任意的三角模糊數.計算方法如圖1所示.

圖1 三角模糊數可能度計算示意圖Fig.1 Triangular fuzzy number possible degree calculating

對于 n個指標 C1，C2…Cn，把三角模糊數(i=1，2，…，n)進行兩兩比較并按式(10)計算每兩個指標 Ci和 Cj的可能度 V(≥)，得到可能度矩陣(為實數矩陣)，表達式為

4)求取相對權重，按照式(13)從可能度矩陣中求得每一個指標的相對權重，取最小值:

式(14)遞歸可求出任意一指標相對根指標(指標體系根節點)的相對權重［7］.設根指標的絕對權重為1，并定義任意一指標的絕對權重為該指標相對根指標的相對權重乘以根指標的絕對權重，記為W.則該指標體系樹的絕對權重集為

對于整個指標體系樹，任意指標的絕對權重滿足如下性質:0≤Wi≤1(i=1，2，…，n);對于同一層的指標:∑W=1.

1.3 模糊評判矩陣的確定

評判集的確定借鑒改進矩陣方法給出指標評價的等級劃分標準，把評判集劃分為5個等級，即E={e1，e2，e3，e4，e5}.

專家組中的專家依據自己的知識和實踐經驗對指標集Ai(i=1，2，…，m)中的每一個評估指標在系統評估評判集 E={e1，e2，e3，e4，e5}={低，較低，中，較高，高}中的相應評語處劃鉤，對應的模糊評價如表3所示［8］.按照此種方法對評估子集中的每一個評估指標進行評判，即可得到模糊評判矩陣 Ri(i=1，2，…，m).

表3 評判值轉換表Table3 Evaluation-value converting

1.4 綜合評判的確定和排序

設由上述指標權重確定方法經計算得到系統評估子集B的各指標Bi對應的權重集為

設Ri為評價子集A的各指標Bi到評價評判集E={低，較低，中，較高，高}的評判值可得指標Bi的評判模糊為

指標體系的最下層有l個指標，計算最下層的綜合評價評判模糊向量為(D1，D2，…，Dl)，系統總的評判模糊值為

設系統有k個方案，根據可得出方案集的綜合評價評判模糊向量:

采用式(11)比較綜合評價評判模糊向量(T1，T2，…，Tk)的值，即可得到各個方案的綜合評價評判實數值g.對于方案i:

計算各方案的綜合評價評判實數值，得到各方案的評價實數向量G，對G進行實數排序，得到各方案的優劣程度，從而得到最終決策結果.

2 實驗分析

對于IGFAHP，專家給出n個指標的模糊判斷矩陣為

則其一致性檢驗函數為F(n)，為其計算方法為

通過比較AHP(AHP計算方式見文獻［9］)和IGFAHP方法對一致性的影響:選取常用的3～9同層指標數，并采用蒙特卡洛法進行仿真分別得出20次和100次仿真實驗平均的一致性.從表4和表5中可看出IGFAHP方法對一致性的顯著改進.

式中，aik=(bik，cik，dik)，bik，cik，dik∈R+并且 0 ＜bik＜cik＜dik＜1;wk為理想權重并滿足:wk∈R+，

表4 20次實驗平均F(n)Table4 20 times experimental average F(n)

表5 100次實驗平均F(n)Table5 100 times experimental average F(n)

3 應用實例

以飛行器總體方案的風險評價為例，構建一個單層具有5個子指標的指標體系如圖2所示，設有2個專家對3個方案進行評價，得出3個方案評價排序結果，從而選出最優方案，圖2為飛行器方案評價風險指標體系［10－15］.

圖2 風險指標體系Fig.2 Risk index system

專家針對指標體系中的各項指標分別給出如表6所示的模糊權重輸入.對綜合評價值進行排序，結果為:0.546(2號方案)＞0.339(3號方案)＞0.231(1號方案).這里綜合實數評價值越大，表示風險越高，故1號方案風險最小，為較優方案.

表6 專家輸入及綜合評價值Table6 Expert input and comprehensive evaluation

4 結論

1)IGFAHP中專家權重系數的引入將AHP擴展到群決策領域;

2)蒙特卡洛方法實驗結果顯示基于模糊判斷矩陣的權重計算方法顯著改善AHP的一致性.

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