讓課堂煥發(fā)數(shù)學(xué)應(yīng)有的魅力

蘇明強(qiáng)

北京師范大學(xué)訪問學(xué)者，泉州師范學(xué)院副教授，主要從事小學(xué)數(shù)學(xué)教師培養(yǎng)與小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)研究。現(xiàn)為教育部“國培計劃”高端研修項目小學(xué)數(shù)學(xué)“種子”教師，福建省小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)科帶頭人培養(yǎng)基地首席專家，福建省首批基礎(chǔ)教育教師培訓(xùn)專家。近年來帶領(lǐng)教學(xué)團(tuán)隊專門開展數(shù)學(xué)“四基”的教學(xué)實踐研究。

2001年教育部頒布實施了《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實驗稿）》（以下簡稱《實驗稿課標(biāo)》），標(biāo)志著我國21世紀(jì)初新一輪數(shù)學(xué)課程改革的開始，教學(xué)理念的革新和學(xué)習(xí)方式的轉(zhuǎn)變是本次課程改革的主要內(nèi)容，“數(shù)學(xué)從生活中來”這一理念深入人心，課改初期“數(shù)學(xué)知識生活化、數(shù)學(xué)教學(xué)情景化”等呼聲非常高，然而，在改革過程中，許多數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)教育家看到了數(shù)學(xué)課堂價值取向出現(xiàn)了嚴(yán)重的問題，紛紛呼吁“數(shù)學(xué)課堂應(yīng)有數(shù)學(xué)味”，倡導(dǎo)數(shù)學(xué)教學(xué)“數(shù)學(xué)化”和“去情景化”，這一輪課改的后期數(shù)學(xué)課堂開始逐步從“感性”回歸到“理性”的思考。

以史寧中教授為組長的課程標(biāo)準(zhǔn)修訂組，對《實驗稿課標(biāo)》進(jìn)行了修訂，2011年教育部頒布實施了《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》（以下簡稱《2011年版課標(biāo)》）。《2011年版課標(biāo)》在原來“雙基”的基礎(chǔ)上，明確提出了“四基”的目標(biāo)要求，“四基”是我國數(shù)學(xué)教育發(fā)展過程中的一個新的提法，是我國數(shù)學(xué)課程改革的一次重大突破，明確提出了數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)教學(xué)的精髓，是數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的主要內(nèi)容和基本要求。那么，當(dāng)下回歸到理性思考，我國義務(wù)教育階段數(shù)學(xué)課堂的教學(xué)價值取向如何？

2014年5月22日～23日首屆華人數(shù)學(xué)教育會議在北京師范大學(xué)召開，筆者應(yīng)邀做了主題發(fā)言，提出如下教學(xué)主張：數(shù)學(xué)“四基”不應(yīng)該成為一種教學(xué)擺設(shè)，而應(yīng)成為教師的一種自覺行為，教師在平時教學(xué)過程中，應(yīng)該有意識地從數(shù)學(xué)“四基”的角度去分析教材，分析學(xué)情，設(shè)計教學(xué)，評價反思，并且通過融入數(shù)學(xué)思想、突出數(shù)學(xué)思考等方式，讓課堂煥發(fā)數(shù)學(xué)應(yīng)有的魅力！下面，筆者圍繞這一教學(xué)主張，結(jié)合教學(xué)實踐課例，與大家商榷三個問題！

一、是什么

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，為了能夠更好地融入數(shù)學(xué)思想的教學(xué)，達(dá)成數(shù)學(xué)“四基”教學(xué)的目標(biāo)要求，讓課堂煥發(fā)出數(shù)學(xué)應(yīng)有的魅力，首先我們必須明確數(shù)學(xué)思想是什么？《2011年版課標(biāo)》指出：數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)知識與方法在更高層面上的抽象與概括。這個定義告訴我們：數(shù)學(xué)思想高于數(shù)學(xué)知識和數(shù)學(xué)方法，同時，數(shù)學(xué)思想與數(shù)學(xué)知識和數(shù)學(xué)方法又是密切相關(guān)的，它們不是相互孤立、相互割裂的，而是一個相互聯(lián)系的有機(jī)整體，也就是數(shù)學(xué)思想離不開數(shù)學(xué)知識和數(shù)學(xué)方法。筆者在教學(xué)實踐中還感悟到：數(shù)學(xué)思想是一種穩(wěn)固的思維模式，是數(shù)學(xué)思考的一種更高境界，也就是，數(shù)學(xué)思想還與數(shù)學(xué)思考和思維模式緊密相關(guān)。

除此之外，我們還必須進(jìn)一步明確數(shù)學(xué)的基本思想是什么？在小學(xué)數(shù)學(xué)中，常見的數(shù)學(xué)思想有哪些？史寧中教授認(rèn)為：數(shù)學(xué)的基本思想不應(yīng)當(dāng)是個案的，而必須是一般的，需要滿足兩個條件，一是數(shù)學(xué)產(chǎn)生以及數(shù)學(xué)發(fā)展過程中所必須依賴的那些思想，二是學(xué)習(xí)過數(shù)學(xué)的人所具有的思維特征，根據(jù)這兩個標(biāo)準(zhǔn)，他歸納出數(shù)學(xué)的三種基本思想，即抽象思想、推理思想和建模思想。在小學(xué)數(shù)學(xué)中，常見的數(shù)學(xué)思想是由基本思想演繹出來的一些具有操作性的下位數(shù)學(xué)思想，如由抽象思想派生出的分類思想、對應(yīng)思想、集合思想、極限思想、變中不變思想、數(shù)形結(jié)合思想、符號表示思想等，由推理思想派生出的轉(zhuǎn)化思想、類比思想、歸納思想、演繹思想、逼近思想、代換思想等，由建模思想派生出的量化思想、簡化思想、方程思想、函數(shù)思想、優(yōu)化思想等。

二、在哪里

為了在課堂教學(xué)過程中更好地融入數(shù)學(xué)思想的教學(xué)，讓課堂煥發(fā)出數(shù)學(xué)應(yīng)有的魅力，除了明確數(shù)學(xué)思想是什么，有哪些，還應(yīng)該更進(jìn)一步明確數(shù)學(xué)思想一般都蘊(yùn)含在哪里？只有明確這個問題，我們才能知道到哪里去尋找數(shù)學(xué)思想，教師在分析教學(xué)內(nèi)容時也才能更好地挖掘出數(shù)學(xué)知識背后所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想，才能更好把握教學(xué)內(nèi)容的數(shù)學(xué)本質(zhì)。《2011年版課標(biāo)》指出：數(shù)學(xué)思想蘊(yùn)含在數(shù)學(xué)知識形成、發(fā)展和應(yīng)用的過程中。因此，當(dāng)我們要從數(shù)學(xué)思想的角度去把握教學(xué)內(nèi)容的數(shù)學(xué)本質(zhì)時，就可以從以下三個方面去思考和分析。

1.數(shù)學(xué)知識的產(chǎn)生過程。一般來說，數(shù)學(xué)知識的產(chǎn)生常常伴隨著數(shù)學(xué)概念的形成，也就是在數(shù)學(xué)概念的形成過程中，往往蘊(yùn)含著數(shù)學(xué)思想。數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)知識的重要內(nèi)容，是數(shù)學(xué)知識得以發(fā)展的重要基礎(chǔ)，是學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)知識的關(guān)鍵，在小學(xué)數(shù)學(xué)“數(shù)與代數(shù)”和“圖形與幾何”兩個領(lǐng)域中，主要的數(shù)學(xué)概念有：數(shù)的概念、運(yùn)算的概念、方程的概念、圖形的概念、周長的概念、面積的概念和體積的概念等。在這些數(shù)學(xué)概念的形成過程中都蘊(yùn)含著抽象思想，主要包括對應(yīng)思想、符號表示思想、分類思想、集合思想等。

比如：0的認(rèn)識和分?jǐn)?shù)初步認(rèn)識這兩節(jié)課，在0和分?jǐn)?shù)的產(chǎn)生過程中，都必須經(jīng)歷一個從生活到數(shù)學(xué)的逐步抽象過程，最終用一個新的數(shù)學(xué)符號“0”和“1/2”分別來表示“沒有”和“一半”，在這個過程中蘊(yùn)含著符號表示思想和一一對應(yīng)思想。再如：方程的認(rèn)識這節(jié)課，在方程概念的形成過程中，也必須經(jīng)歷一個逐步抽象的過程，這個過程通常包含著等式、不等式以及含有未知數(shù)、不含未知數(shù)等四個方面要素兩次分類的過程，分類的結(jié)果就產(chǎn)生新的集合。因此，在方程概念形成過程中主要蘊(yùn)含著分類思想和集合思想。

2.數(shù)學(xué)知識的發(fā)展過程。在數(shù)學(xué)知識的發(fā)展過程中，常常是在一些已經(jīng)形成數(shù)學(xué)的概念基礎(chǔ)上，經(jīng)過邏輯推演得出一些新的數(shù)學(xué)結(jié)論，以此推動數(shù)學(xué)向前發(fā)展，不斷完善并建構(gòu)了數(shù)學(xué)的知識體系。在小學(xué)數(shù)學(xué)“數(shù)與代數(shù)”和“圖形與幾何”兩個領(lǐng)域中，主要的數(shù)學(xué)知識就是在數(shù)、運(yùn)算、方程、圖形、周長、面積、 體積等概念的基礎(chǔ)上，經(jīng)過邏輯推演得到了一系列新的數(shù)學(xué)結(jié)果，形成了數(shù)與代數(shù)和圖形與幾何的知識體系，在這個過程中常常蘊(yùn)含著推理思想。推理是數(shù)學(xué)思考的一種重要形式，推理思想主要包括歸納思想、轉(zhuǎn)化思想和類比思想等。

比如：在平行四邊形、三角形、梯形、圓以及面積等概念的基礎(chǔ)上，經(jīng)過邏輯推演就可以推導(dǎo)出相應(yīng)幾何圖形的面積公式，在平行四邊形和圓的面積公式推導(dǎo)過程中，都是把它們轉(zhuǎn)化成長方形的面積問題，在三角形和梯形的面積公式推導(dǎo)過程中，都是把它們轉(zhuǎn)化成平行四邊形的面積問題，在這些面積公式的推導(dǎo)過程中，都蘊(yùn)含著歸納思想和轉(zhuǎn)化思想等。endprint

3.數(shù)學(xué)知識的應(yīng)用過程。數(shù)學(xué)知識的應(yīng)用主要是指數(shù)學(xué)概念和數(shù)學(xué)結(jié)論的具體應(yīng)用過程，大致包括兩個方面：一是數(shù)學(xué)知識在數(shù)學(xué)問題上的應(yīng)用，二是數(shù)學(xué)知識在生活實際問題中的應(yīng)用，在這些過程中通常也都會蘊(yùn)含著一些數(shù)學(xué)思想。比如：在一個三角形中，A=30°，B=100°，求C=？，這就是“三角形內(nèi)角和180度”這一數(shù)學(xué)結(jié)論在數(shù)學(xué)問題上的一個具體應(yīng)用，這是一個從一般到特殊的演繹過程，因此，在這個過程中蘊(yùn)含著演繹思想。另外，數(shù)學(xué)知識在生活實際問題中的應(yīng)用，常常蘊(yùn)含著建模思想，一般地，運(yùn)用數(shù)學(xué)知識解決實際問題的過程，必須經(jīng)歷以下三個主要步驟：從現(xiàn)實生活或具體情境中抽象出數(shù)學(xué)問題，然后用數(shù)學(xué)符號建立方程、不等式、函數(shù)等表示數(shù)學(xué)問題中的數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律，最后求出結(jié)果并討論結(jié)果的意義。在這個過程中包含著建模的過程，蘊(yùn)含著模型思想。

三、怎么辦

經(jīng)過前面兩個問題的討論，我們已經(jīng)明確了數(shù)學(xué)思想是什么，也了解了一般情況下數(shù)學(xué)思想蘊(yùn)含在哪里，最后一個問題，也是最關(guān)鍵的問題，就是怎么辦？也就是如何才能在數(shù)學(xué)教學(xué)中融入數(shù)學(xué)思想，突出數(shù)學(xué)思考，從而讓課堂煥發(fā)出數(shù)學(xué)應(yīng)有的魅力？筆者結(jié)合自身的教學(xué)實踐與體會，主要總結(jié)以下三個方面：

1.要從數(shù)學(xué)思想的深度分析教材。分析教材是教學(xué)設(shè)計的關(guān)鍵和基礎(chǔ)。從數(shù)學(xué)思想的深度分析教材是課堂教學(xué)融入數(shù)學(xué)思想的基礎(chǔ)和保證，因此，教師在分析教材時，必須突破傳統(tǒng)“雙基”的分析方法，有意識地從“四基”的角度分析教材，在明確所教內(nèi)容“基礎(chǔ)知識”和“基本技能”的基礎(chǔ)上，還要從“基本思想”和“基本活動經(jīng)驗”的角度分析教材，尤其是必須充分挖掘教學(xué)內(nèi)容所蘊(yùn)含的“數(shù)學(xué)思想”，認(rèn)真把握教學(xué)內(nèi)容的數(shù)學(xué)本質(zhì)，這樣才能為融入數(shù)學(xué)思想的教學(xué)設(shè)計奠定重要基礎(chǔ)。比如：在“0的認(rèn)識”“分?jǐn)?shù)初步認(rèn)識”“確定位置”等課例中，都蘊(yùn)含著抽象思想中的符號表示思想和一一對應(yīng)思想，在“分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)”“同分母分?jǐn)?shù)的加法”“負(fù)數(shù)的認(rèn)識”等課例中，都蘊(yùn)含著抽象思想中的數(shù)形結(jié)合思想，在“9加幾”“異分母分?jǐn)?shù)的加法”“平行四邊形的面積”“圓的面積”等課例中，都蘊(yùn)含著轉(zhuǎn)化思想等。

2.要從數(shù)學(xué)思想的高度設(shè)計教學(xué)。設(shè)計教學(xué)是課堂教學(xué)的關(guān)鍵和基礎(chǔ)，從數(shù)學(xué)思想的高度設(shè)計教學(xué)是課堂教學(xué)融入數(shù)學(xué)思想的關(guān)鍵和保障。傳統(tǒng)意義上的“雙基”課堂，數(shù)學(xué)留給學(xué)生的印象只是想辦法記住“結(jié)論”和無休止的“計算”，最終“談數(shù)色變”，無法真正讓學(xué)生體會數(shù)學(xué)的神奇，感悟數(shù)學(xué)的奧妙。因此，要讓課堂煥發(fā)數(shù)學(xué)應(yīng)有的魅力，教師在設(shè)計教學(xué)時，就必須突破傳統(tǒng)“雙基”的教學(xué)設(shè)計，有意識地從“四基”的角度設(shè)計教學(xué)。要在確保“雙基”的基礎(chǔ)上，從數(shù)學(xué)思想的高度整體把握教學(xué)內(nèi)容的數(shù)學(xué)本質(zhì)，并將數(shù)學(xué)思想融入整體的教學(xué)設(shè)計之中。比如：在“分?jǐn)?shù)基本性質(zhì)”“三角形邊的關(guān)系”“三角形內(nèi)角和”等課例中，可以從“變中有不變”的思想高度把握所教知識的數(shù)學(xué)本質(zhì)，啟發(fā)學(xué)生體會感悟：分?jǐn)?shù)的分子和分母在“變”，而分?jǐn)?shù)的大小“不變”；三角形的形狀大小在“變”，而邊的關(guān)系和內(nèi)角和都“不變”。這樣的整體設(shè)計，不僅把握住了所教內(nèi)容的數(shù)學(xué)本質(zhì)，而且能讓學(xué)生真實體會到數(shù)學(xué)的神奇，感悟到數(shù)學(xué)的奧妙，從而讓課堂煥發(fā)出數(shù)學(xué)應(yīng)有的魅力！

3.要從數(shù)學(xué)思想的角度啟發(fā)思考。啟發(fā)思考是數(shù)學(xué)教學(xué)的基本任務(wù)，從數(shù)學(xué)思想的角度啟發(fā)思考是課堂教學(xué)融入數(shù)學(xué)思想的重要舉措。一般地，一堂課的整體教學(xué)設(shè)計方案往往是由一系列緊密相聯(lián)的數(shù)學(xué)活動所構(gòu)成，教師從數(shù)學(xué)思想的高度設(shè)計教學(xué)，最終必須落實到每一個細(xì)小的數(shù)學(xué)活動的設(shè)計之中，因此，教師的課堂教學(xué)實質(zhì)上就是教學(xué)設(shè)計方案的具體實施過程。在這個過程中，教師是通過落實已經(jīng)設(shè)計好的每一個細(xì)小數(shù)學(xué)活動，來實現(xiàn)整體的教學(xué)目標(biāo)。然而，在落實每一個細(xì)小數(shù)學(xué)活動中，我們常常借助師生互動交流的形式得以實現(xiàn)，因此，在師生互動交流中，教師必須從數(shù)學(xué)思想的角度啟發(fā)學(xué)生進(jìn)行必要的數(shù)學(xué)思考，讓學(xué)生感悟數(shù)學(xué)思想，這樣才能真正讓課堂煥發(fā)出數(shù)學(xué)應(yīng)有的魅力！比如：在“平行四邊形的面積”一課中，可以設(shè)計這么一個片段：讓學(xué)生認(rèn)真觀察屏幕上的平行四邊形，然后啟發(fā)學(xué)生思考“如果它是什么圖形那就好辦了？”這時學(xué)生可以提取已有的知識經(jīng)驗，想到“如果它是個長方形就好辦了”，此時教師接著啟發(fā)學(xué)生思考：“你打算如何把它變成長方形？……”在這個師生互動交流的片段中，就是從“轉(zhuǎn)化思想”的角度啟發(fā)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)思考。（本文系2013年福建省教育廳A 類人文社科課題研究成果之一，項目編號：JA13253S）（作者單位：泉州師范學(xué)院）endprint