線性代數課程教學中的問題探析

孟慶云

（河南工業大學理學院，河南 鄭州 450001）

線性代數課程教學中的問題探析

孟慶云

（河南工業大學理學院，河南 鄭州 450001）

針對線性代數課程教學過程中學生在不同階段遇到的一些問題，本文結合課程特點、現實狀況以及教學經驗，通過實例分析的方式，相應地給出教學過程中的三點建議，使學生在初期學習有章可循，中期學習時掌握核心思想方法，后期能夠靈活地綜合理解與應用所學知識。

線性代數；教學；階段問題

線性代數是理、工、管等相關專業學生的一門重要的基礎課。由于課程本身的高度抽象性以及課程理論體系中概念多、定理多、符號多、運算規律多等特點，使得學生在初學時都會感到困難。本文在分析課程特點與現實狀況的基礎上，對學生在學習線性代數課程的過程中所遇到的共性問題進行分析。針對他們在不同學習階段的這些共性問題，結合作者多年的課程教學實踐活動，通過實例分析的方式相應地給出三點建議，使學生在初期學習有章可循，中期學習時掌握核心思想方法，后期能夠靈活地綜合理解與應用所學知識。

1 把實數運算的相關理論作為初期矩陣學習的參照物

線性代數的高度抽象性是學生初學時感到困難的主要因素。因此，講授一些容易幫助學生建立直覺的數學模型是有必要的。但是，目前國內絕大多數數學教材采用的是公理化體系，以實用為導向的數學模型欠缺。特別地，對于線性代數這門課程，一般院校為這門課程安排的學時不超過50個（以被全國超過90%的院校采用的同濟5版的《工程數學——線性代數》為例），這種情況下，單純理論的完整講授就已經比較緊張，這就使得帶有各種背景的具體數學模型的講授無暇安排。因此，要使學生在較短的時間理解矩陣的相關概念及運算是困難的。

針對上述問題，建議在教學一開始，引導學生將其熟知的實數運算作為初期矩陣學習的參照物。這樣，使學生學習起來有物可比，有章可循。比如，從矩陣乘法不滿足消去律這一問題出發，通過引導學生分析實數對于乘法是如何做到滿足消去律的過程，引出矩陣可逆的相關概念，并順便解決矩陣乘法何時可滿足消去律這一問題。進一步，通過讓學生回憶一元一次方程求解的過程，掌握用矩陣的逆求解矩陣方程的方法。這樣，通過比較學習，學生可以在較短的時間在對矩陣的相關運算理論有比較完整、準確地掌握；同時，這對學生在運用已知理論（比如實數運算的相關理論）來“提出問題（矩陣運算有哪些相關規律），分析問題并解決問題”的能力方面的培養是很好的鍛煉。并且，這種方法適用于各個學科的學生。

2 有意識地培養學生利用等價思想來解決線性代數中的問題

等價思想方法是線性代數課程中處理問題的最重要、最常用的方法。事實上，線性代數研究的正是矩陣在線性變換下的不變量。但在矩陣的相關概念與運算理論學完后，學生往往對此整體思想不明確，使得其在中后期學習時非常盲目。常常出現的問題是：學生在面對一個題目時，即使通過練習知道如何解，但卻不知為什么要這樣做。這就是通常所說的“知其然不知其所以然”的狀況。這是脫離線性代數課程教學目標的。比如，對矩陣秩的求法，是通過初等行變換將其化為行階梯形矩陣后數其非零行的個數。這就是用的等價思想方法。由于我們所研究的量（矩陣的秩）在初等行（列）變換下保持不變，因此可以利用初等變換將矩陣化為簡單的形式（行階梯形矩陣），再讀出其秩。在這個過程中，告訴學生線性變換就像一個個“照妖鏡”，利用其作為工具能夠將變換前的矩陣的一些本質的東西照出來。類似地，求向量組的最大無關組以及相關向量表示等重要問題的解決都是利用這種思想。因此，在線性代數學習中期，有意識的培養學生利用等價思想方法，對其后面的深入學習有指導性意義。

3 注重引導學生對同一對象不同表達形式的充分理解與靈活運用

線性代數課程概念聯系緊密，理論縱橫交錯。特別到后期，理論綜合性加強，學生在學習的過程中經常遇到面對眾多理論卻不會解題的尷尬情形。分析這種情況出現的原因，其中主要一點是線性代數課程中符號多，而恰當地運用符號能夠事半功倍。比如，線性方程組有一般形式、矩陣形式、向量形式等。在學生能夠熟練掌握齊次線性方程組的向量形式后，向量組的線性相關（無關）的判定可以由定義出發非常自然的轉化為其對應的齊次線性方程組有（無）非零解的問題。從而將抽象的向量問題轉化為學生熟知的方程組解的問題。再比如，學習完向量的正交這個概念后，齊次線性方程組有無非零解又可以理解為是否存在非零向量與其系數矩陣的各行向量正交。這樣，通過所學的新概念將以前的符號賦予新的意義，就能夠幫助學生將所學知識融會貫通，使其更加深入的理解并掌握它們。

線性代數課程課時少但內容相當豐富。因此，針對學生在不同學習階段的問題，探討一些適當方法來解決是非常必要的。實踐教學中，我們發現在線性代數課程教學的初、中、后期分別注意到以上三點，教學效果有明顯提高。

[1]李尚志.線性代數教學改革漫談[J].教育與現代化，2004（1）.

[2]趙慧斌.問題驅動是線性代數有效的教學方法之一[J].高等數學研究，2008（11）.

[3]朱春鋼.向量組的線性相關性的教學方法與技巧[J].高等數學研究，2010（4）.

O151.2

A

1671-0037（2014）06-111-1

孟慶云（1982.10-），女，博士，講師，研究方向：有限群及其表示理論、代數圖論等。