Filter在非線性規劃解中的應用

鄭雪蓮

（山東工商學院數學與信息科學學院，山東 煙臺264005)

本文考慮如下形式的非線性最優化問題：

其中f（x）：R→R，ci（x）：R→R，i∈I都是連續可微的實值函數。對于任意x∈Rn，I（x）＝{i∈I｜ci（x）＝Ψ（x）}，其中Ψ：Rn→R，Ψ（x）＝max{ci（x），搜索方向由如下的線性方程組來計算，

解為（d0k，λ0k），其中Hk∈Rn×n是對稱矩陣

解為（dk，λk），其中

本文假設下列條件始終成立：

A1對任意x∈Rn，向量組{▽ci（x），i∈I（x）}是線性無關的，產生的迭代序列{xk}包含在一個緊致凸集S中。

A2設在KKT點x*處，對應的乘子向量為λ*，并且二階充分條件與嚴格互補松弛條件成立。

證明 由引理1，對充分大的k，dk＝。再由(LS1)和(LS3)可得

對任意的i∈I（x*），有

因為方程組的系數矩陣非奇異，所以引理的結論是正確的。

下面，我們給出本文的主要結果：

證明 對i∈II（x*），當k充分大時，由ci（xk）＜0且→0，可得ci

對i∈I（x*），利用泰勒公式

再由(LS3)及引理2可得

因為v∈（2，3），故當k充分大時，由引理1可知ci（xk＋）≤0。綜上所述，當k充分大時，h（c（xk＋））＝0。

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