中國降水混沌識別及空間聚類

危潤初，肖長來，張余慶，梁秀娟

1.吉林大學地下水資源與環境教育部重點實驗室，長春 130021

2.南京信息工程大學遙感學院，南京 210044

0 引言

近年來，我國旱澇災害的頻次和受災范圍均呈擴大趨勢，對降水系統的研究顯得尤為重要。無論是在小的還是大的時間和空間尺度，降水事件都不是很穩定，表現出非隨機卻貌似隨機的特征［1］，其動力系統過程復雜而連續。基于隨機統計理論的傳統研究是利用降水序列的隨機性或統計特性來挖掘降水規律，但是這些理論不是基于降水過程的物理機理而建立的模型，因此很難揭示降水過程內在的系統動力結構［2］。以混沌理論為核心的當代非線性科學的迅猛發展有力地推動了水文時間序列分析的研究。水文系統是一個復雜的非線性系統，具有產生混沌的基本條件，即對初始條件的敏感性和內在的隨機性，混沌方法已成為水文研究的重要工具［3－6］。傳統的混沌識別方法主要是建立在相空間重構基礎上的飽和關聯維數法（G－P）、Lyapunov指數法和Kolmogorov熵等方法［7］，但是由于水文系統的特殊性，這些方法在運用過程中還存在一些問題。比如：重構相空間所需的延遲時間τ和嵌入維數D的確定存在一定的主觀性與不確定性；不同方法計算得到的值往往差別較大［2］；此外由于我國大部分氣象站都是建國后才設立，降水序列的長度一般有限，而傳統的混沌研究方法一般對時間序列長度有嚴格要求［8］。

我國地域廣闊，跨越了40個緯度、70個經度，地形復雜多變、海陸位置不一，而且受到多種大氣環流的影響，因此降水系統具有明顯的區間差異。多年來，很多學者就我國的降水分區做出了大量的研究［9－13］，這些研究成果一定程度上反映了降水的空間分布特征，但是對反映區域降水系統復雜性的空間分布尚顯不足。混沌反映確定性系統內在的隨機性，其度的大小表征混沌系統所具有的不規則程度和復雜程度［14］，因此可以通過對降水混沌度進行顧及混沌屬性的空間聚類來研究降水動力系統的空間變異。

由于我國地面氣象站監測的起始時間不一，在盡可能多地利用已有氣象站資料外，還應盡量使時間序列樣本更多。因此選用640個監測序列較全的氣象臺站（其中國家級636個，省級4個）1960—2011年的逐月降水數據，引入0－1混沌測試方法對各臺站月降水序列進行混沌識別與計算，并運用基于密度的顧及非空間屬性的空間聚類方法（DBSC）對640個臺站的混沌計算結果進行空間聚類，用于分析我國降水序列的混沌空間變異規律。

1 0－1混沌測試

1.1 0－1方法介紹

0－1測試方法是 Georg A.Gottwald和Ian Melbourne提出的一種新的時間序列混沌特性識別方法［15－17］。該方法直接進行時間序列混沌特性的測試，根據計算的結果是否接近于1或0來判斷序列的是否具有混沌特性。

假設時間序列為φ（j），其中j＝1，2，…，N，令c為區間（0，π）內的隨機常數，則定義

定義函數pc（n）和qc（n）的均方位移Mc（n）為

pc和qc的散布特征可以通過對均方位移Mc（n）的分析來進行研究：如果時間序列是有序的，則Mc（n）是一個有界函數；如果時間序列具有混沌特性，則Mc（n）隨時間線性增長。因此只要計算出Mc（n）對應于n的漸近增長率Kc，就可以來判斷數據序列的混沌特性［3］。由于Mc（n）的收斂性不好，因此給出修正的均方位移M（n）：

M（n）與Mc（n）漸近增長特性相同，但其具有更好的收斂性［15］。由于降水序列長度是有限的，因此用降水序列的平均值來近似替代E（φ），即E（φ）＝對于n的取值范圍，一般建議n≤N/10［15－18］。漸近增長率Kc的計算定義有2個：一是把Kc定義為lgM（n）與lgn的線性回歸系數；二是把Kc定義為M（n）與n的相關系數，即

兩種定義均反映M（n）與n的線性關系。在實際應用中，后者表現出更好的應用效果［12］，因此本次研究采用第2種定義進行計算。如果Kc接近1，表示該時間序列具有混沌的特性；如果Kc接近0，表示該時間序列不具有混沌特性。計算過程中，一般選取Nc個隨機常數c，計算得到Nc個Kc。由于某些孤立的c存在共振離群的現象，這會對Kc的平均值產生較大影響，因此一般建議將Kc的中位數K做為最終值［12］。

目前該方法在多領域得到應用，其有效性得到了驗證［16，18－22］，但是其應用范圍還很有限，尤其是在混沌程度比較、混沌控制和預測方面還沒有相關的研究成果。本次研究通過對全國640個氣象臺站的月降水序列進行混沌計算和比較發現，該方法能夠反映數據序列的混沌度。

1.2 0－1混沌驗證

為了驗證0－1測試方法的混沌識別和比較的有效性，本次研究引入混沌研究的一個經典模型——Chebyshev映射。Chebyshev映射又叫Chebyshev迭代，按照如下方程進行反復迭代［23］：

Chebyshev方程中變量x的值隨參數w的變化由周期逐次加倍進入混沌狀態，即由倍周期分岔通向混沌（圖1a）。在w＝1.0附近，x的分布出現擾動，此后序列分岔進入半混沌狀態；當w＞1.4時，序列進入混沌狀態。傳統上根據Lyapunov指數λ來判斷系統的混沌特性。λ值能反映相軌跡有無擴散運動特征，其大小反映了系統的混沌程度［24］：當λ＜0時，系統有穩定的不動點；λ＝0時，對應著分岔點或系統的周期解；當λ＞0時，系統具有混沌特征［25］。由Chebyshev映射的λ－w關系圖（圖1b）可以發現：當w＜1.0時，系統動力學形態比較簡單，處于穩定狀態，λ值始終小于0；在w＝1.0附近，對應于x分布的擾動，λ值出現一個脈沖，此后系統進入半混沌狀態，λ＞0。

通過計算得w從0.0逐漸增大的各序列的0－1混沌測試結果（圖2）。測試結果表明，隨著w的變化，系統從有序變為半混沌，最后進入完全混沌狀態。K值初期趨近于0.0，在w＝1.0附近對應于系統擾動和λ值脈沖，K值也出現了局部震蕩，隨后快速增長；在w＞1.4后，K值趨近于1.0。

圖1 Chebyshev映射Fig.1 Chebyshev Map

圖2 K－w關系曲線Fig.2 Curve Kversus w

圖3為w＝0.5（有序）、w＝1.2（半混沌）和w＝2.5（混沌）的 Chebyshev序列的p－q軌跡相圖（c＝2.5）、不同c值條件下M（n）－t關系曲線圖和Kc－c散點圖。由圖3可知：當w＝0.5，即系統為有序穩定時，p－q軌跡范圍有界確定，均方位移M（n）隨時間變化無增長趨勢，其Kc的計算值穩定地分布在0.00附近；當w＝1.2時，系統為半混沌狀態，p－q軌跡開始出現雜亂現象，部分M（n）－t曲線呈現線性增長特征，Kc的值也開始向1.00移動；當w＝2.5時，系統為混沌狀態，p－q軌跡呈現出布朗運動的特性，M（n）隨時間均呈現出明顯的線性增長，Kc的值的分布趨近于1.0。

Chebyshev映射的0－1測試的結果與其倍周期分離圖和最大Lyapunov指數圖結論一致，這就驗證了該方法的有效性；同時K隨w的變化關系也說明，0－1方法能夠反映系統不同程度的混沌特性。

2 基于密度的顧及非空間屬性空間插值

DBSC算法［26－28］由我國學者鄧敏和劉啟亮等人提出，包括了2個步驟，即空間鄰近域的構建和顧及非空間屬性的空間聚類。

2.1 空間鄰近域的構建

對于分布不規則的數據集，傳統的Delaunay三角網建立的鄰接關系在邊緣處存在一定的誤差［29］。DBSC算法采取整體－局部的層次邊長約束策略對三角網的邊長進行修剪，發展了整體與局部邊長約束準則。

假定SDB是某空間數據庫，DT（SDB）表示SDB的Delaunay三角網，其中每一個空間實體Pi代表一個頂點；令Global＿Mean（DT）表示Delaunay三角網所有邊長的平均值，Local＿Mean（Pi）表示與空間實體Pi相連所有邊長的平均值，Global＿Variation（DT）表示Delaunay三角網所有邊長的標準差，Local＿Variation（Pi）表示與空間實體Pi相連的所有邊長的標準差。對任一空間實體Pi，整體邊長約束準則可表述如下：

在Delaunay三角網中，如果與Pi直接連接的邊的長度≥Global＿Distance＿Constraint（Pi），則將該邊從三角網中刪除。刪除整體長邊后，仍然存在一些局部長邊，因此需要進一步施加局部邊長約束。

假定圖Gi為施加整體邊長約束后得到的任意子圖，Pj為Gi中的一個頂點，2＿Order＿Mean（Pj）是Pj的2階領域內所有邊長的平均值，Mean＿Variation（Pj）是與Pj直接相連邊的方差的平均值，則局部邊長約束可表述為

一般令β＝2。對于Gi中任意空間實體Pj，如果其2階鄰域內邊的長度大于或等于Local＿Distance＿Constraint（Pj），則將該邊從三角網中刪除。通過局部修整，會讓實體的空間鄰近關系得到更好的確定［26］。

在施加整體和局部邊長約束后獲得的子圖C＿DT中，對于任一空間實體Pj，所有與Pj直接通過邊連接的實體構成了Pj的空間鄰近域。依據上述方法構建的空間鄰近域能夠適應空間數據的密度差異，且避免了人為輸入參數的干擾。

2.2 顧及非空間屬性的空間聚類

為了方便進行非空間屬性的距離計算，采用歐氏距離來表示顧及非空間屬性的空間實體的非空間屬性距離，用Dist（Pi，Qi）表示，同時用T表示非空間屬性相似性的閾值。在構建空間鄰近域后，下一步就是進行顧及非空間屬性的空間聚類分析，在此之前先給出幾個定義。

定義1空間鄰域：對于C＿DT中的任一實體Pi，與其直接通過公共邊相連的空間實體的集合成為Pi鄰域，記為Neighbors（Pj）。

圖3 基于0－1測試的Chebyshev映射Fig.3 Chebyshev Map tested by 0－1algorithm

定義2空間直接可達：對于C＿DT中的任一實體Pi，如果Qi∈Neighbors（Pj），并且Dist（Pi，Qi）≤T，則稱Qi和Pi空間直接可達。

定義3空間可達：對于一個空間實體集CLU（其中CLU中的實體個數大于等于2），如果實體Qi滿足以下2個條件，則稱實體Qi與集合CLU空間可達：

①Qi∈Neighbors（Pi），且Pi∈CLU；

②Dist（Qi，Avg（CLU））≤T，其中Avg（CLU）為CLU中所有實體的非空間屬性值平均值。

空間可達是用來計算某個空間實體與某空間實體集的相似度，它考慮到了局部和全局的差異性。

定義4密度指數：對于圖C＿DT中的實體Pi，用DI（Pi）表示Pi的密度指數，即

式中：Nsdr（Pi）表示與實體Pi空間直接可達的實體個數；N（Pi）表示Neighbors（Pj）中的實體個數。

定義5空間聚類核：在未進行聚類的所有實體中，密度指數最大的空間實體稱為空間聚類核。若最大密度指數的實體不止一個，則選擇相應鄰域實體之間平均非空間屬性差異最小的的實體作為空間聚類核。

定義6擴展核：對于圖C＿DT中的任意實體Pi，若在其鄰域Neighbors（Pi）中至少有一個實體與Pi空間直接可達，則稱Pi為一個擴展核。

顧及非空間屬性空間聚類的主要步驟：①選擇一個空間聚類核Pi，在其鄰域Neighbors（Pi）中，對未聚類的擴展核根據密度指數進行排序；②在Neighbors（Pi）中，將同時滿足空間直接可達和空間間接可達的擴展核按照密度指數從大到小的順序與Pi聚到一起，形成初始簇；③以加入到初始簇里的擴展核為新的中心，按照①和②的策略繼續擴展；④當沒有實體可以加入到以Pi為空間聚類核的簇時，一個空間簇形成；⑤迭代進行①—④操作，當所有實體都進行遍歷時，聚類結束。沒有加入到任何簇的實體標識為噪聲點。

3 結果與分析

3.1 中國降水0－1混沌識別

本次研究令隨機數c的個數Nc為8 000，運用0－1測試方法對全國640個月降水序列進行測試，分別得到各氣象站均方位移M（n）的漸近增長率K。640個氣象站中，K最小值為西藏定日站的0.960 2，最大值為新疆伊寧站的0.994 5，平均值為0.984 0。以K值最小的西藏定日站為例說明中國各氣象站月降水序列混沌特性。從定日站的p－q軌跡相圖（c＝2.5）、M（n）－t關系曲線圖和Kc－c散點圖（圖4）可以看出：p－q表現出布朗運動；M（n）隨時間呈現出明顯的線性增長；Kc的中位值K趨近于1。結果表明，各氣象站月降水序列均表現出混沌特性。

運用Kriging方法對各氣象站的K值進行空間插值，得到全國K值分布（圖5）。由圖5可知，K值分布具有明顯的空間集聚特征。從大尺度來看，全國K值分布可分為4個區域，即西北高值區、南方次高區、華北—東北中值區和青藏低值區；從小尺度來看，局部區域K值也存在明顯的空間變異，如東北地區中部K值較低，而東部和西部K值較高，又如華北地區以燕山山脈為界，山北K值較高，山南K值較低，再如祁連山北的K高值區和山南的K低值區。從整體上看，雖然華北—東北區和青藏區K值較低，但是空間上變異更強烈。

3.2 中國降水混沌空間聚類

利用插值方法對K進行空間插值，能夠直觀地給出K值的整體變化趨勢，但是，在邊界以及氣象站分布空洞區域會存在較大誤差，同時也很難給出更細致的K值分區，因此考慮運用空間聚類方法來進行進一步的研究。傳統的聚類方法大都適用于空間目標分布比較均勻的情況。當目標分布不均時，使用全局固定的閾值（或參數）進行聚類，對于目標分布較密集的區域容易實現聚類目標，但是在目標分布較稀疏的區域，就可能產生大量的孤立點［30］。DBSC方法既能夠在空間局部密度較高區域發現聚類，也能在空間局部目的較低區域發現聚類，并且能夠適應空間局部密度的變化，在不同密度過渡區域發現不同聚類［30］，因此DBSC方法能夠很好地適應中國氣象站分布密度的東西部差異。

運用DBSC方法對帶有K值屬性的640個氣象站進行空間聚類。首先采用Delaunay三角網構建鄰近關系，并加以整體邊長和局部邊長約束，得到空間聚類的鄰近域（圖6）。在空間鄰近域構建的基礎上，進行顧及K值屬性的空間聚類，得到聚類結果（圖7），全國共分出了29個空間簇（C0表示離散點或噪音點）。從結果看，空間簇內的差異較小，而簇間的差異較大。南方次高區空間簇數較少，大部分形成單一簇（C1），說明其降水混沌度空間變異小；西北高值區主要形成2個主要簇，即新疆地區的C7、祁連山以北沿河西走廊一線的C10；東北—華北區和青藏區分簇數較多，這也反映出這2個區混沌度存在比較強烈的空間變異，與前文的插值結果相吻合；東北地區主要3個大簇，分別為C4（黑龍江中南部、吉林中部、遼寧東部）、C12（吉林東部、黑龍江東部長白山區）和C9（遼寧中西部、吉林西部、內蒙古東部大興安嶺）；華北地區空間簇劃分結果更復雜，主要有C3（山東半島、遼東半島南部）、燕山以北的C21、陰山以南的C8以及太行山區的C14；青藏區主要有C5（云貴高原西部）、C11（三江源地區）、C13（柴達木盆地）、C16（四川中南部）、C20（西藏中部）；其余各簇均在局部小范圍存在。

圖4 月降水序列0－1混沌識別（以定日站為例）Fig.4 Chaos test for monthly precipitation time series based on 0－1method（Take Dingri Station for example）

圖5 全國K值分布Fig.5 K－value distributions of China

圖6 空間鄰近域構建Fig.6 Construction of the spatial neighborhood

圖7 中國降水混沌DBSC聚類結果Fig.7 Spatial clustering result of chaos for precipitation data in China

3.3 中國降水混沌動力系統分析

降水系統受到多個驅動系統影響，它們之間以某種或多種方式發生復雜的非線性和非平衡的相互作用，形成各種時空圖樣，在一定的時空范圍內具有明顯的層次性。系統的整體行為并非簡單地與子系統的行為相聯系［31］，而是表現出整體趨勢的規律性。從氣候尺度來看，降水系統的動力學特征首先是由其所在的大氣候類型決定。由于海陸、地形、環流等眾多因素的影響，中國氣候變化十分復雜，但是從整體上來說，全國有4種主要的氣候類型，即西北地區的溫帶大陸性氣候、東北和華北地區的溫帶季風氣候、南方地區的亞熱帶－熱帶季風氣候和青藏高原的高原性氣候。而中國各氣象站降水序列0－1混沌測試的K值的空間插值和聚類結果在大尺度上均反映了這4種氣候類型。

西北地區溫帶大陸性氣候，降水主要受西風帶影響，多屬于干旱半干旱地區，年降水量少，年際和月際變化率大（如新疆喀什站年降水的平均距平率達40%，而吉林通化站僅為14%），因此月降水序列表現出最高的混沌度；南方地區受東亞季風、南亞季風、副熱帶高壓、青藏高原積雪等多種氣象因素的影響，也是我國受臺風影響最嚴重的區域，再加上復雜的地形條件，使得月降水序列也具有較高的混沌度；華北—東北區降水也主要受南亞季風和東亞季風的影響，但是本區南亞季風已經減弱，而且本區地形條件遠比南方地區簡單，平原面積比重較大，因此降水混沌度比南方地區要小；青藏區雖然也受西風帶的影響，因青藏高原的阻隔，高原地區的西南地區風速較小，高原東側位于西風的背風側，降水主要受南亞季風的影響，降水系統相對簡單，因此青藏區降水序列的混沌度相對較低。

從降水混沌聚類的結果來看，地形條件是局部地區降水混沌變異的重要因素。沿祁連山北側成條帶狀的C10簇、柴達木盆地的C13簇、三江源的C11簇、燕山以北的C21簇、長白山區的C12簇、大興安嶺的C9簇等均與地形條件密切相關。

4 討論與結論

4.1 討論

1）0 －1混沌測試方法是一種新的快速有效的混沌識別方法，它直接對數據進行計算，不需要傳統混沌識別方法的相空間重構。已有的文獻［15－22，32］均將其作為一個二元混沌識別方法，但是通過對中國640個氣象站的月降水序列進行0－1混沌測試，發現其空間插值和聚類結果具有明顯的空間變異規律，而且此規律與中國的大氣候類型特征以及局部地形變化吻合較好，這就說明了0－1混沌測試方法具有反映系統混沌度的特性。目前還沒有相關文獻對其是否能夠反映系統的混沌度進行過理論闡述，在以后的研究中，還需加強其理論意義的深度研究。

2）由于自然條件、交通等原因，中國氣象站點分布密度不均，東部地區氣象站點密度大，且分布均勻，而在新疆、西藏、青海、內蒙古、黑龍江北部等區域存在數量較多、范圍廣的氣象站分布空洞，這就影響了插值和聚類的準確度，需要進一步地細化研究。

3）對降水系統進行空間聚類，既要考慮空間上的鄰近性，還得考慮非空間屬性的相似性，同時由于降水系統的影響因素十分復雜，要求聚類方法要適應空間數據的復雜分布，能夠區分可能存在的噪聲點。DBSC方法采用邊長約束的Delaunay三角網來描述氣象站點間的空間鄰近關系，顧及混沌屬性進行空間聚類。從中國降水混沌的空間聚類結果來看，DBSC方法有效地實現了降水混沌的空間變異區分。

4.2 結論

1）通過0－1混沌測試方法的識別，中國640個氣象站的1960—2011年月降水序列的K值均趨近于1，表現出明顯的混沌特性，同時中國降水混沌的空間插值和聚類結果表明，0－1混沌測試方法具有反映系統混沌度的特性。

2）根據中國各氣象站K值的插值結果，西北區降水序列表現出最高的混沌度，南方區次之，華北－東北為中值區，青藏高原為低值區；運用DBSC方法將全國分成了29個空間簇。降水序列混沌度的空間插值和聚類結果從大尺度上與中國的大氣候分區相對應，從小尺度上又反映了局部降水動力系統特征。

3）本次研究從一個全新的角度對中國各地區降水的內在規律做了初步探討。聯合運用0－1混沌方法和DBSC空間聚類方法，不僅能夠研究不同空間尺度的降水規律，還能夠通過不同時期和階段的對比來研究降水系統混隨時間的變化規律，這為降水動力系統的時空規律研究提供了一條新的途徑和方法。

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