基于無偏灰色馬爾可夫鏈的吉林省降水量預測

張 茜，梁秀娟，杜 川

吉林大學環境與資源學院 長春 130021

0 引言

降水量指從天空降落到地面上的液態或固態（經融化后）水未經蒸發、滲透、流失，而在水平面上積聚的深度。降雨經過下墊面的調蓄作用產生徑流，降雨、徑流是水資源循環中的兩個核心環節，其大小直接影響農業灌溉、河道航運、水土保持等方面［1］。對于吉林省這樣以農業為主產業的地區，準確的降水量預測是合理調整種植結構、提高產量、降低氣象災害的最佳途徑。

國內外有很多關于降水量預測的方法：肖長來等［2］采用模糊均生函數殘差模型對吉林省西部降水量進行了預報，數據證明這是一種理想而實用的方法；吳春勇等［3］采用頻譜分析以及自回歸模型對撓力河進行了降水量預報，該方法利用傅里葉函數展開理論建立模型，簡單易懂、計算速度快、精度較高，但仍存在一定的缺點和不足，如傅里葉函數存在吉布斯效應，使時間序列在極值處擬合較差；夏樂天等［4］采用加權馬爾可夫鏈對鄭州市的降水狀況進行了預報，但其僅能預測降雨的豐枯狀態，不能計算準確數值；Vahid Nourani等［5］采用基于神經網絡的小波分析法對Ligvanchai流域降水量進行預測，結果表明預測效果與時間序列長度有關，大樣本容量會提高預報的準確性；李生彪［6］運用無偏灰色模糊馬爾可夫鏈對甘肅省人均GDP進行了預測，其結果的準確性和合理性明顯優于傳統的灰色馬爾可夫模型。

因歷史資料所限，大多數研究者只對一個雨量站的降水情況進行了預測，而筆者選用了吉林省分布在各市8個雨量站的長系列資料，利用無偏灰色馬爾可夫鏈的方法，不僅縱向地進行了降水量的預報，還將結果進行橫向分析，得出全省的降水量時空分布變化特征，并且討論歷史數據波動性與預報精度的關系，目的是提高農業經濟效益、提高水資源利用率、合理進行水資源調度。

1 研究區概況

吉林省位于中國東北中部，東經122°-131°、北緯41°-46°，面積18.74萬km2。吉林省是河源省份，處于東北地區主要江河的上、中游地帶，省內有5條河流（松花江、鴨綠江、圖們江、遼河、綏芬河）直接入海；地貌形態差異明顯，地勢由東南向西北傾斜，呈現明顯的東南高、西北低的特征；以中部大黑山為界，可分為東部山地和中西部平原兩大地貌區；東部山地分為長白山中山低山區和低山丘陵區，中西部平原分為中部高平原區和西部低平原區。全省多年平均日照時數為2 259～3 016h，年平均降水量為400～600mm。

2 數據來源及研究方法

2.1 數據來源

筆者選取吉林省8個地級市具有代表性的雨量站，分別為白城市（白城站）、松原市（乾安站）、長春市（長春站）、吉林市（蛟河站）、延邊自治州（延吉站）、四平市（四平站）、通化市（通化站）和白山市（靖宇站），各雨量站的分布位置如圖1所示。數據為1957 -2010年平均降水量資料，其中1957 -2000年44a的時間序列為空間樣本，2001 -2010年10 a的時間序列為檢驗樣本。

圖1 吉林省代表性雨量站分布圖Fig.1 Representative precipitation station in Jilin Province

2.2 研究方法

2.2.1 無偏灰色模型

灰色系統是指信息不完全的系統，灰色系統理論以信息不完全系統的行為表現、行為內涵、行為關系、行為環境的層次性、動態性、信息性、量化性為主要目的［7］。灰色理論由鄧聚龍教授［8］在1982年首度提出，而后得到了廣泛的應用。灰色模型（grey model，GM）使用的是微分方程的動態建模方法，常用的GM是一個一階單變量的線性微分方程模型，它區別于一般的預測方法，是一種在“貧”信息下針對連續時間序列建模的思路［9］。

對于原始數據序列x（0）＝（x（0）（1），x（0）（2），…，x（0）（n）），利用該數據序列建立無偏 GM（1，1）模型［10－11］，步驟如下：

1）對原始數據進行一階累加后，形成數列

2）確定數據矩陣B，Yn：

3）最小二乘估計一階線性微分方程的待估參數α，μ為

4）計算無偏GM（1，1）模型的參數b，A，對呈現指數變化趨勢的原始數據序列

作一次累加生成序列

按傳統方法建模可得

進而求得以參數α，μ表示的b，A的估計量：

5）建立原始數據序列模型：

其中，當0＜k＜n時其為原始數據序列的擬合值，k≥n時為原始數據序列的預測值。

與傳統 GM（1，1）模型相比，無偏 GM（1，1）模型不存在傳統GM（1，1）模型所固有的偏差，因而也就消除了傳統GM（1，1）模型在原始數據序列增長率較大時的失效現象［12］，其應用范圍較傳統GM（1，1）模型廣泛。此外，無偏GM（1，1）模型無需進行累減還原，簡化了建模步驟，提高了模型的計算速度。

2.2.2 灰色馬爾可夫鏈

馬爾可夫過程的定義如下：若隨機過程X（t）滿足

則X（t）被稱為馬爾可夫過程（馬氏過程）。公式（9）右端的條件分布函數

稱為馬爾可夫過程從時刻tn狀態Xn轉移到時刻tn＋k狀態Xn＋k的概率，簡稱轉移概率。

從定義知，在tn時刻所處狀態已知的條件下，馬爾可夫過程在時刻tn＋k（k＞0）所處的狀態只與其在tn時刻所處狀態有關，而與其在tn時刻以前所處的狀態無關。這種特性稱為馬爾可夫過程的無后效性（馬氏性）。另外可以證明，馬爾可夫過程的統計特性完全由它的初始分布和轉移概率確定［13］。

馬爾可夫鏈預測是一種常用的方法，它指對于一系列相依的隨機變量，利用馬爾可夫鏈對無偏灰色模型預報值的殘差做改進。其基本步驟可概括如下：

1）設原始數據的預報值為，狀態?i表示原始數據序列相對于預測值的偏離程度，即誤差大小，計算誤差序列的均值和均方差s，將其劃分為m個狀態，則任意狀態區間的表達式為

式中，?i1，?i2分別表示誤差區間的最小取值與最大取值。

2）根據已建立的分級標準確定各時刻誤差序列值所處的狀態。

3）計算得到不同步長的馬爾可夫狀態轉移頻數矩陣，利用公式求轉移概率Pij（m），從而得到轉移概率矩陣。式中，fij為第i狀態經一步轉移 為j狀態的頻數。

4）利用χ2檢驗法進行“馬氏性”檢驗。

5）未來狀態?i和轉移概率Pij（m）確定之后，也就確定了預測誤差的變動區間［?i1，?i2］，則預測值可按公式

計算。

6）對比預測值與實際觀測值，計算相對誤差，評價預測效果。

3 結果分析與討論

3.1 應用無偏灰色模型進行預測

以吉林市（蛟河站）降水量的預測為例介紹無偏灰色馬爾可夫鏈的應用。首先依據灰色原理利用Matlab編程，根據1957 -2000年降水量預報2002-2010年的降水量，計算結果見表1。

表1 蛟河站降水量預測結果及誤差Table 1 Results and error of predication of precipitation in Jiaohe station

由預測結果可知，利用灰色模型（GM（1，1））僅能判斷吉林市降水量多年呈遞減趨勢，預報結果相對誤差較大。因此不能直接利用該方法進行預報，考慮用馬爾可夫鏈對誤差進行改進。

首先對原始數據進行χ2檢驗，發現其符合“馬氏性”；然后計算預測誤差，其均值為19.57，均方差為124.94；再對誤差進行狀態分級，依據分級標準（表2）確定2001 -2010年預測誤差值所處狀態，分別為1，4，3，2，3，2，4，3，2，5；一步狀態轉移矩陣P1的第i行第j列元素表示由狀態i經一步轉移至狀態j的概率，根據公式（12）計算可得。

此時便可根據公式（13），依據2001年的無偏灰色預測值及誤差狀態預報2002年的降水量；以此類推，可分別計算出2003 -2010年的降水量。計算結果見表1。

表2 誤差狀態分級標準Table 2 Error status classification standard

通過計算，可得文中所選取的8個代表性雨量站2002 -2010年降水量預測情況，見圖2。

3.2 分析與討論

通過灰色模型預測結果可知：白城、乾安、長春、蛟河、四平、通化6個地區降水量多年呈遞減趨勢，減幅 分 別 為 0.23%、0.09%、0.24%、1.01%、0.51%、0.54%；延吉、靖宇2個地區降水量多年呈遞增趨勢，增幅分別為2.60%、0.54%。其主要原因為：延吉與靖宇位于吉林省東南部低山丘陵區，其地勢較高，地形起伏較大，水系發育，河流眾多；東南部為入海河流的發源地，水量較大，有利于水汽蒸發輸送，使氣塊能夠抬升并凝結，在小范圍的水氣循環中更易于降水的形成。

單純應用灰色模型預測誤差較大，通過馬爾可夫鏈的改進后，誤差明顯減小，大大提高了預測精度，使預測結果接近實測數值。筆者將預測精度等級分為4類：好、合格、勉強、不合格，其對應的相對誤差（絕對值）分別為0.00～0.05，0.05～0.10，0.10～0.20，≥0.20。表3為各測站預測結果的統計情況，計算得知僅17%的預測結果為不合格，因此無偏灰色馬爾可夫鏈適用于吉林省各地降水量的預報。

圖2 2002 -2010年降雨量預測情況Fig.2 Predication of precipitation in 2002－2010

將8個測站的均方差與誤差（需取絕對值）均值進行歸一化處理，見圖3，可見二者變化趨勢具有很強的一致性；同時利用SPSS統計分析軟件做相關性分析，采用Spearman分析方法計算得到相關系數為0.738，顯著水平0.037（小于0.050可以接受），說明二者呈正相關，即時間序列的波動性越大預測所產生的誤差越大，這就要求預測對象具有過程平穩、等均值的特點［14］。

表3 各測站預測等級年數統計Table 3 Statistical date of predicting level of precipitation station

圖3 均方差與誤差均值變化趨勢圖Fig.3 Trend of mean square error and the error of the mean value

4 結論與建議

1）通過灰色模型對降水量變化趨勢的預測可知，在2002 -2010年這9年中，吉林省中西部地區降水量呈遞減趨勢，東部地區呈遞增趨勢，但變幅不大。

2）在宏觀趨勢預測方面，無偏灰色模型一定程度上消除了傳統模型本身固有的灰色偏差。在微觀波動預測方面，無偏灰色馬爾可夫模型更具有抗干擾性。經分析，無偏灰色馬爾可夫法適用于吉林省降水量的預測，精度較灰色模型法高。

3）當降水量歷史數據波動較大時預報精度會降低，因此擴大樣本容量或對歷史數據進行篩選、處理能一定程度上提高預報效果。

4）對未來降水量進行預報時，可以根據已有歷史數據，重新選取樣本進行模型構建，重構無偏灰色馬爾可夫鏈轉移概率矩陣，達到長期的預測目的，從而為吉林省防洪抗旱工作確定方向。

（References）：

［1］陳社明，盧文喜，羅建男，等.吉林西部氣象干旱的多標度分形特征［J］.吉林大學學報：地球科學版，2013，43（1）：245－250.Chen Sheming，Lu Wenxi，Luo Jiannan，et al.Multifractal Characteristic of Meteorological Drought in Western of Jilin Province［J］.Journal of Jilin University：Earth Science Edition，2013，43（1）：245－250.

［2］肖長來，梁秀娟，安剛.模糊均生函數殘差模型在地下水數值模擬降水量預報中的應用［J］.吉林大學學報：地球科學版，2004，34（1）：89－92.Xiao Changlai，Liang Xiujuan，An Gang.Application of Residual Error Model of Fuzzy Average－Generated Function in Precipitation Forecasting of Groundwater Numerical Simulation［J］.Journal of Jilin University：Earth Science Edition，2004，34（1）：89－92.

［3］吳春勇，張巖，李澤文.淺談頻譜分析法及其在降水量預報方面的應用［J］.中國環境管理，2007（3）：40－42.Wu Chunyong， Zhang Yan， Li Zewen.Recommendation of Spectrum Analysis and Its Application in Precipitation Forecast［J］.China Environment Management，2007（3）：40－42.

［4］夏樂天，朱元甡，沈永梅.加權馬爾可夫鏈在降水狀況預測中的應用［J］.水利水電科技進展，2006（6）：20－23.Xia Letian， Zhu Yuanshen， Shen Yongmei.Application of Weighted Markov Chain to Prediction of Precipitation［J］.Advances in Science and Technology of Water Resources，2006（6）：20－23.

［5］Nourani V，Alami M T，Aminfar M H.A Combined Neural－Wavelet Model for Prediction of Ligvanchai Watershed Precipitation［J］.Engineering Applications of Artificial Intelligence，2009，22（3）：466－472.

［6］李生彪.無偏灰色模糊馬爾可夫鏈預測方法研究及其應用［J］.甘肅聯合大學學報：自然科學版，2013，27（1）：19－23.Li Shengbiao.Research of Unbiased Gray Fuzzy Markov Chain Method and Its Application［J］.Journal of Gansu Lianhe University：Natural Science Edition，2013，27（1）：19－23.

［7］鄧聚龍.灰色系統理論簡介［J］.內蒙古電力技術，1993（3）：51－52.Deng Julong.The Introduction of Grey System Theory［J］.Inner Mongolia Electric Power，1993（3）：51－52.

［8］鄧聚龍.灰色控制系統［J］.華中工學院學報，1982，10（3）：9－18.Deng Julong.The Grey Control System［J］.Journal of Huazhong University of Science and Technology，1982，10（3）：9－18.

［9］楊培勇，劉波.灰色拓撲方法在中長期預報中的應用［J］.四川氣象，1996，16（1）：31－33.Yang Peiyong， Liu Bo.Application of Gray Topological Methods in Long－Term Forecasting［J］Journal of Sichuan Meteorology，1996，16（1）：31－33.

［10］梅疏影.基于馬爾可夫模型的南京市年降水量預測試驗［J］.安徽農業科學，2011，39（36）：22415－22419.Mei Shuying.Forecast Experiment of Nanjing Annual Precipitation Based on Markov Model［J］.Journal of Anhui Agricultural Sciences，2011，39（36）：22415－22419.

［11］吉培榮，黃巍松，胡翔勇.無偏灰色預測模型［J］.系統工程與電子技術，2000（6）：6－8.Ji Peirong，Huang Weisong，Hu Xiangyong.An Unbiased Grey Forecasting Model［J］.Systems Engineering and Electronics，2000（6）：6－8.

［12］王錚，和瑩.灰色系統建模方法的理論困難及其客服［J］.系統工程理論與實踐，1990，10（5）：17－22.Wang Zheng，He Ying.Theory of Gray System Modeling Method and Its Customer Service Problems［J］.Systems Engineering－Theory ＆ Practice，1990，10（5）：17－22.

［13］馬占青，徐明仙，俞衛陽，等.年降水量統計馬爾可夫預測模型及其應用［J］.自然資源學報，2010，25（6）：1033－1041.Ma Zhanqing，Xu Mingxian，Yu Weiyang，et al.Statistic Markovian Model for Predicting of Annual Precipitation［J］.Journal of Natural Resources，2010，25（6）：1033－1041.

［14］劉宗明，賈志絢，李興莉.基于灰色馬爾科夫鏈模型的交通量預測［J］.華東交通大學學報，2012，29（1）：30－34.Liu Zongming，Jia Zhixuan，Li Xingli.Traffic Volume Forecast Based on Gray Markov Chain Model［J］.Journal of East China Jiaotong University，2012，29（1）：30－34.