淺談不定式極限

張石鳳

（云南大學(xué)旅游文化學(xué)院 信息科學(xué)與技術(shù)系，云南 麗江674100）

limα(x)=limβ(x)=0.

對于這種類型的未定式是非常重要的一種極限，求該類型的極限，通常用到洛必達(dá)法則。

定理1.1（洛必達(dá)法則） 若函數(shù)α(x)與β(x)滿足條件：

(2)在點(diǎn) a的某去心領(lǐng)域內(nèi) α(x)與 β(x)可導(dǎo)，且 β'(x)≠0；

(3)limx→a存在（或?yàn)椤蓿?/p>

則 limx→a=limx→a

注：（1） 極限過程改為 x→a+,x→a-,x→∞,x→-∞,x→+∞ 有類似的結(jié)論。

（2）若 limx→a仍然滿足洛必達(dá)法則的條件，則可連續(xù)運(yùn)用該法則，即:limx→a=limx→a

（3）若 limx→a不存在（不含∞）,不能斷言limx→a不存在。

在實(shí)際計算中，常常把該法則與等價變形、重要極限及等價無窮小代換等其他求極限的重要方法一起使用。

解：若用洛必達(dá)法則，分子分母分別求導(dǎo)得limx→0，該極限為振蕩不存在，故洛必達(dá)法則失效。實(shí)際上，可利用等價無窮小量代換 ln（1+x）∽x（x→0），得

limα(x)=limβ(x)=∞

定理2.1（洛必達(dá)法則） 若函數(shù)α(x)與β(x)滿足條件：

（1）limx→aα(x)=limx→aβ(x)=∞；

（2）在點(diǎn) a 的某去心領(lǐng)域內(nèi) α(x)與 β(x)可導(dǎo)，且 β'(x)≠0；

（3）limx→a存在（或?yàn)?∞）

則 limx→a=limx→a

該定理也有類似于定理1.1的注釋，定理1.1與定理1.2統(tǒng)稱為洛必達(dá)法則。

3 其它類型的不定式極限

不定式極限還有0·∞，∞-∞，1∞，∞0等類型。經(jīng)過簡單變換，它們一般都可化為型或型的極限。

對于0·∞及∞-∞型不定式極限，經(jīng)過適當(dāng)?shù)淖兓纯蓪⑵浠癁樾突虻臉O限。

例 4 limx→0＋x ln x（0·∞）

對于該種類型的不定式極限，只要將其一除至分母，即可將其化為型或的極限。

對1∞，00，∞0等型不定式極限，可先化為以e為底的指數(shù)函數(shù)的極限，再利用指數(shù)函數(shù)的連續(xù)性，化為求指數(shù)部分的極限，而指數(shù)部分的極限，可化為型或的極限，再運(yùn)用洛必達(dá)法則即可。

例 7 limx→0+χx（00）

解：limx→0+

χx=limx→0+eχlnx=e0=1.

4 總結(jié)

洛必達(dá)法則是解決不定式極限的很有效的方法。但必須注意的是，只有型和型不定式而且必須在符合洛必達(dá)法則的各項(xiàng)條件時才能直接使用洛必達(dá)法則。對于其他型不定式必須經(jīng)過變換化為滿足條件的型和型不定式才能使用洛必達(dá)法則。有時還需要與其他求極限的方法結(jié)合使用。在求極限時，不必一一去驗(yàn)證洛必達(dá)法則的各項(xiàng)條件，只要判斷是型和型不定式即可先用著洛必達(dá)法則，若求極限過程可進(jìn)行下去，說明洛必達(dá)法則可以失效，若運(yùn)用洛必達(dá)法則不能得出最后結(jié)果（極限不存在），這個時候說明洛必達(dá)法則失效，不能使用，不能說明該極限不存在，此時需要用別的辦法判斷極限是否存在。

［1］趙樹嫄．經(jīng)濟(jì)應(yīng)用數(shù)學(xué)基礎(chǔ)（一）微積分[M].3版.中國人民大學(xué)出版社.

［2］華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系編.數(shù)學(xué)分析:上冊[M].3版.高等教育出版社.