CUSUM和EWMA控制圖在汽車加油過程中的應(yīng)用研究

魏 文 段美華

(天津職業(yè)技術(shù)師范大學(xué)，中國 天津300222)

0 前言

工業(yè)生產(chǎn)過程中，產(chǎn)品的質(zhì)量波動是不可避免的。統(tǒng)計過程控制（Statistical Process Control，簡記為SPC）是產(chǎn)品質(zhì)量控制的重要研究內(nèi)容，它包含一些用來降低產(chǎn)品質(zhì)量波動以使產(chǎn)品質(zhì)量保持穩(wěn)定的諸多有效工具。質(zhì)量控制圖就是諸多有效工具之一。世界上第一個控制圖—Shewhart控制圖首先由Shewart博士于1925年基于統(tǒng)計的原理提出(Shewhart(1925))的，它僅對檢測較大的飄移(shift)效果明顯。還有兩種檢測方法，其一是累積和(CUSUM)控制圖,由Page(1954)基于似然比提出；另一個是指數(shù)加權(quán)移動平均（EWMA）控制圖，由Roberts(1958)提出。到目前為止,關(guān)于控制圖的研究和應(yīng)用成果已相當(dāng)豐富,并取得了良好的社會效益與經(jīng)濟(jì)效益。

1 CUSUM控制圖

CUSUM控制圖的理論基礎(chǔ)是序貫分析原理中的序貫概率比檢驗（Sequent Probability Ratio Test,簡稱SPRT），這是一種基本的序貫檢驗法。CUSUM控制圖的設(shè)計思想是對信息加以累積，將過程中的小漂移累加起來，達(dá)到放大的效果，以提高檢測過程小漂移的靈敏度。

通過計算一列樣本觀測點發(fā)生漂移的累積和，CUSUM控制圖可以直接包含觀測點的所有信息。例如，假設(shè)我們收集到n（n≥1）個樣本，xˉj是第j個樣本的均值。如果μ0是該過程的均值，我們可以記CUSUM為

另外，我們用C+表示從目標(biāo)值μ0向上漂移的累加和，用C-表示從目標(biāo)值μ0向下漂移的累加和。它們可分別記為：

這里C+0=C-0=0.CUSUM控制圖主要由兩個參數(shù)（h，k）所決定,其中h稱為門限值（Decision Boundary）,k稱為決策值（Reference Value），并且我們定義H=hσ，K=kσ。

在實際使用時，我們通常在計算前會選擇使xi標(biāo)準(zhǔn)化。令

則yi就表示xi的標(biāo)準(zhǔn)值。那么標(biāo)準(zhǔn)化的累積和表示如下：

標(biāo)準(zhǔn)化的CUSUM控制圖大多具有相同的k和h，并且參數(shù)的選擇不依賴于σ，因此更便于操作。

例1.1：用機(jī)器給油罐加油，每一個小時得到一個樣本。由于該加油過程是自動化的，所以變化性是穩(wěn)定的。通過觀察我們發(fā)現(xiàn)σ=0.05oz.下表給出了24小時的各個觀測值。

表1

假設(shè)該過程的目標(biāo)值是8.02oz，當(dāng)h=4.77，k=0.5時，構(gòu)造一個CUSUM控制圖。

分析：由題意已知μ0=8.02,σ=0.05,k=0.5,h=4.77,

Minitabffgt;控制圖ffgt;時間加權(quán)控制圖ffgt;累積和控制圖（圖1.1）

例1.2：當(dāng)h=4.77，k=0.5時，利用表格1中的數(shù)據(jù)重新構(gòu)造一個CUSUM控制圖。

分析：已知μ0=8.02，σ=0.05，k=0.5，h=4.77

H=hσ=4.77*(0.05)=0.2385

Minitabffgt;控制圖ffgt;時間加權(quán)控制圖ffgt;累積和控制圖（圖1.2）

圖1.1

圖1.2

例1.3：當(dāng)h=8.01，k=0.25時，利用表格1中的數(shù)據(jù)重新構(gòu)造一個CUSUM控制圖。

分析：已知μ0=8.02,σ=0.05,k=0.25,h=8.01,

H=hσ=8.01*(0.05)=0.4005

Minitabffgt;控制圖ffgt;時間加權(quán)控制圖ffgt;累積和控制圖

圖1.3

對比分析：

圖1.1，圖1.2和圖1.3分別為不同參數(shù)下的CUSUM控制圖。

比較圖1.1和圖1.2，我們發(fā)現(xiàn)當(dāng)只有h改變時，只影響控制圖的上下控制線。并且h越小，越容易報警；反之，則越不容易報警。

比較圖1.2和圖1.3，我們發(fā)現(xiàn)k越大，累積和越小，過程越穩(wěn)定；k越小，累積和越大，并且偏離中心線越來越遠(yuǎn)，容易發(fā)生報警。

2 EWMA控制圖

EWMA控制圖采用只是加權(quán)累積移動均值設(shè)置控制線，并且圖上的每個點都包含前面所有子組或觀測值的信息，因而可以不受正態(tài)假設(shè)的限制，檢測出過程均值的小漂移。

假設(shè)在一生產(chǎn)過程中有一列觀測點Xi，i=1,2,…，為監(jiān)控過程是否發(fā)生變化，我們要做如下假設(shè)檢驗：

其中μ1≠μ0或者（并且）σ1≠σ0，τ為未知變化點。

EWMA控制圖最早是由Rober(1959)提出的，其統(tǒng)計量定義為：

其中λ∈（0，1）為光滑參數(shù)。當(dāng)Sn≥h時報警，過程均值發(fā)生向上的漂移；當(dāng)Sn≤-h時報警，過程均值發(fā)生向下的漂移，其中h為控制線。

在EWMA控制圖中，中心線用μ0來表示，上控制線和下控制線分別為：

其中的系數(shù)L表示控制線的寬度。隨著i增大，控制線就接近于穩(wěn)定值，此時，上下控制線可表示為：

需要注意的是對于較小的i，我們用（11）和（12）式確定上下線。

例2.1：利用表格1中的數(shù)據(jù)，令λ=0.2,L=3，構(gòu)造EWMA控制圖。

分析：λ=0.2，L=3.假設(shè)σ=0.05，中心線CL=μ0=8.02，

Minitabffgt;控制圖ffgt;時間加權(quán)控制圖ffgt;EWMA

圖2.1

例2.2：同樣利用表格1中的數(shù)據(jù)，令λ=0.1，L=2.7，構(gòu)造一個EWMA控制圖。

分析：λ=0.1，L=2.7.假設(shè)σ=0.05，中心線CL=μ0=8.02,

Minitabffgt;控制圖ffgt;時間加權(quán)控制圖ffgt;EWMA

圖2.2

對比分析：

圖2.1和圖2.2分別為不同參數(shù)下的EWMA控制圖。觀察圖像，我們發(fā)現(xiàn)，隨著λ和L的增大，樣本觀察值超過中心線的個數(shù)也相應(yīng)增大，并且偏離中心線越來越遠(yuǎn)，容易發(fā)生報警。

通過研究對比分析不同參數(shù)組合下得預(yù)警效果，結(jié)果表明，兩種控制圖均受參數(shù)值的影響。相對而言，EWMA控制圖受參數(shù)影響較小，而CUSUM控制圖受參數(shù)的影響較大。然而，在實際工作中，控制圖參數(shù)值的大小常根據(jù)經(jīng)驗設(shè)置，例如根據(jù)研究的車型以及采用的基線數(shù)據(jù)合理設(shè)置。

我們建議在選擇控制圖之前，應(yīng)利用給不同車型加油的歷史數(shù)據(jù)，對參數(shù)的設(shè)置進(jìn)行優(yōu)化，繼而利用優(yōu)化的參數(shù)進(jìn)行分析。由于缺乏實際觀測數(shù)據(jù)，因而難以對兩種控制圖的參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化，而僅對不同參數(shù)組合下得兩種控制圖的預(yù)警效果進(jìn)行了分析。

［1］Bain,L.J.,and Engelhardt.Introduction to Probability and Mathematical Statistics[J].PWS-Kent.1987.

［2］Crosier,R.B..A new Two-side Cumulative Sum Quality Control Scheme.Technometric[J].1986,28:187-194.

［3］Chandrasekaran,S..Modeling and Analysis of EWMA Control Schemes with Variance-adjusted Control Limits[J].IIE Transactions.1995,27

［4］Chen,G.,Cheng,S.W.and Xie,H.Monitoring process mean and variability with one EWMA chart.Journal of Quality Technology[J].2001,33(2):223-233.

［5］Gan,F.E..Design of one and two-side EWMA charts.Journal of Quality Technology[J].1998,30(1):55-69.

［6］Hunter,J.S..The exponentially weighted moving average.Journals of Quality Technology[J].1986,4:203-210.

［7］Lowry,C.A.,Woodall,W.H.,Champ,C.W.and Rigdon,S.E..Multivariate Exponentially Weighted Moving Average Control Chart[J].Technometrics,1992,34:46-53.

［8］Montgomery,D.C..Introduction to Statistical Quality Control[M].7th ed.New York:John Wileyffamp;Sons,2012.

［9］Page,E.S..Continuous Inspection Schemes[J].Biometrika,1954,41:100-115.

［10］Robert,S.W..Control Chart Test Based on Geometric Moving Averages[J].282-290.Technometrics,1959,1(3):239-250.

［11］Roberts,S.W..A Comparison of Some Control Chart Procedures[M].Technometrics,1966:411-430.

［12］Sullivan,J.H.,and Woodall,W.H..A Comparison of Control Charts for Individual Observations[M].Journal of Quality Technology,1996:398-408.

［13］Woodall,W.H.,Spitzner,D.J.,Montgomery,D.C.and Gupta,S.Using Control Charts to Monitor Process and Product Quality Profiles[J].Journal of Quality Technology,2004,36:309-320.

［14］王兆軍,鄒長亮,李忠華.統(tǒng)計質(zhì)量控制圖理論與方法[M].天津：南開大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院統(tǒng)計系,2013.

［15］張維銘.統(tǒng)計質(zhì)量管理與應(yīng)用[M].浙江：浙江大學(xué)出版社,1992.