廣義非線性Schr?dinger方程的半顯式多辛擬譜格式

黃浪揚(yáng)

(華僑大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，福建泉州 362021)

0 引言

考慮如下廣義非線性Schr?dinger方程的周期初邊值問題

在物理學(xué)等學(xué)科中，對非線性偏微分方程，特別是非線性Schr?dinger方程的多辛幾何算法［1-6］的研究已經(jīng)很多，但對于(半)顯式的多辛幾何算法［6-9］并不多.本文先給出廣義非線性Schr?dinger方程(1)的多辛方程組，并對其系數(shù)矩陣進(jìn)行分裂，再采用數(shù)值離散方法推導(dǎo)出一個(gè)半顯式多辛擬譜格式.最后，通過數(shù)值例子驗(yàn)證算法的有效性.

1 多辛方程組

首先給出Bridges和Reich的多辛積分［10-11］的概念.很多偏微分方程可改寫成為多辛方程組的形式:

其中:M，K為Rn(n≥3)上的反對稱矩陣;▽z是光滑函數(shù)S:Rn→R的梯度算子.式(6)具有的一個(gè)重要性質(zhì)為多辛守恒律

設(shè)u=a+i b，這里a和b均為實(shí)值函數(shù)，則式(1)可寫成實(shí)值方程組

其多辛守恒律為

2 半顯式多辛擬譜格式

先設(shè)時(shí)間步長τ＞0，空間步長h=L/N.記tn=nτ，n=0，1，2，…;xj=jh，j=0，1，2，…，N-1(N為偶數(shù)).精確解u(xj，tn)=u(jh，nτ)在網(wǎng)格點(diǎn)(xj，tn)處的近似值記為unj.

由擬譜方法的一些主要結(jié)果［9，12-13］，設(shè)z(x，t)是周期為L的光滑函數(shù)，用INz(x，t)來表示z(x，t)在xj點(diǎn)的插值近似，則有

把式(10)代入式(6)，且要求式(6)在xj點(diǎn)精確成立，可得到一個(gè)關(guān)于zj的方程

這里主要的一步是偏導(dǎo)數(shù)?kINz(x，t)/?xk在xj點(diǎn)的值表示為zj，采用的方法是對式(10)求微分，計(jì)算出它在xj點(diǎn)的數(shù)值，從而有

應(yīng)用上述的Fourier擬譜方法于式(6)，可得

在時(shí)間方向用辛Euler方法對式(13)進(jìn)行離散，得廣義非線性Schr?dinger方程的半顯式多辛擬譜格式:

其中:δ+t與δt分別為向前和向后差分算子，即

且M+與M-分別為辛陣M的分裂陣，即:M=M++M-，MT+=-M-.這里，M+是上三角矩陣.

定理 半顯式多辛擬譜格式(14)具有N個(gè)全離散的多辛守恒律

其中:ωnj=dzn－１jΛM+dznj，ｋnj，k=dznjΛK d znk.

證明 式(14)的變分方程為:

用dznj與式(16)作外積，注意到dzn

jΛSzz(znj)dznj=0，即可得全離散的多辛守恒律式(15).

為了計(jì)算方便，消去式(14)中的c，q，e，l，g及p，有

其中:a=(a0，…，aN-1)T，b=(b0，…，bN-1)T，D41表示(D1)4.

把式(17)第二行中的n用n+1替代，得到與式(14)等價(jià)的一個(gè)多辛擬譜格式

在數(shù)值計(jì)算中，式(18)的第一行是完全顯式的，第二行須在每一時(shí)間層上求解一個(gè)非線性的方程組，從而是一個(gè)半顯式多辛擬譜格式.

3 數(shù)值例子

圖1給出了由式(18)所算得的整體誤差隨時(shí)間t的變化情況.

為了考察數(shù)值格式的長時(shí)間守恒性質(zhì)，定義離散電荷誤差與離散能量誤差分別為:

由以上數(shù)值結(jié)果可知，利用格式(18)長時(shí)間數(shù)值計(jì)算后，整體誤差仍很小，且離散電荷誤差與離散能量誤差還能保持在10-3級，說明該格式適合于長時(shí)間的數(shù)值模擬.

圖1 整體誤差Fig.1 Global error

圖2 離散誤差Fig.2 Discretization error