兩兩NQD隨機(jī)序列的幾個(gè)改進(jìn)的強(qiáng)相合性質(zhì)

施建華，陳曉平

(1.閩南師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，福建漳州 363000;2.上海財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)與管理學(xué)院，上海 200433;3.福建師范大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，福建福州 350108)

0 引言

首先給出兩兩NQD序列的定義.

定義1［1］隨機(jī)向量(X，Y)稱之為 NQD(negatively quadrant dependent)，如果

P(X≤x，Y≤y)≤P(X≤x)P(Y≤y) (?x，y∈R)

稱隨機(jī)變量序列{Xn，n≥1}是兩兩NQD隨機(jī)變量，如果對(duì)于每個(gè)i≠j，i，j=1，2，…，(Xi，Yj)是NQD的.

這個(gè)定義是由Lehmann［1］首先引入的，它包含了獨(dú)立隨機(jī)變量、NA等的隨機(jī)變量.之后，越來(lái)越多的文章討論關(guān)于NQD隨機(jī)變量的極限理論，特別是部分和的強(qiáng)相合性.關(guān)于NQD隨機(jī)變量的一些性質(zhì)，在Lehmann［1］中有相關(guān)介紹，同時(shí)一些研究人員也得到了其它方面的有意義的結(jié)果［2-10］.眾所周知，獨(dú)立情形下的Kolmogorov型三級(jí)數(shù)定理在證明極限的相關(guān)理論中發(fā)揮著重要的作用，同樣地，在NQD情形，也是如此.2002年，吳群英［11］利用相關(guān)的引理以及推廣化的Kolmogorov型不等式，得到了NQD序列強(qiáng)相合的一些重要結(jié)果.但是由于帶有因子log2n，因此吳群英［11］中的條件是比較強(qiáng)的，意味著更強(qiáng)的收斂速度.

目前，要得到類似于文［11］中引理2的不帶因子的不等式還比較困難.所以，想通過(guò)常規(guī)的方法改進(jìn)相關(guān)的結(jié)果，暫時(shí)還不可能.最近，利用陳平炎［4］的定理1，施建華［12］證明了由吳群英［11］中的定理2導(dǎo)出的一些結(jié)果可以改進(jìn).這引起我們對(duì)這個(gè)定理2的興趣，也就是吳群英［11］中推廣化的三級(jí)數(shù)定理或許能進(jìn)一步改進(jìn)，將其中因子log2n去掉.

正因?yàn)樯鲜龅脑颍覀兿Ｍㄟ^(guò)不同的方法獲得改進(jìn)的Kolmogorov型三級(jí)數(shù)定理.進(jìn)一步地，我們將該定理簡(jiǎn)化為一個(gè)簡(jiǎn)單的形式，即本文中的定理3.利用該結(jié)果，在更弱的級(jí)數(shù)收斂條件下，可以很容易地改進(jìn)文［11］中的相關(guān)結(jié)果，同時(shí)，本文也討論和推廣了施建華［12］以及Li Rui等［2］中的相關(guān)結(jié)論.

1 主要結(jié)果及其證明

首先給出兩個(gè)引理.

引理1［4］設(shè){Xn，n≥1}是兩兩NQD隨機(jī)變量序列，實(shí)數(shù)序列{an，n≥1}滿足0＜an↑ +∞，且對(duì)于n≥1，有:

那么當(dāng)

有:

引理2［1］設(shè)隨機(jī)向量(X，Y)是NQD的，若f(·)，g(·)同時(shí)為非減(或非增)的實(shí)函數(shù)，則向量(f(X)，g(Y))仍然是NQD的隨機(jī)向量.

下面給出本文的主要結(jié)果.

定理1 設(shè){Xn，n≥1}是兩兩NQD隨機(jī)變量序列，{an，n≥1}是滿足0＜an↑ +∞ 的實(shí)數(shù)序列，對(duì)于某個(gè)實(shí)數(shù)c，記

如果如下的三個(gè)級(jí)數(shù)收斂:

則有:

證明 由已知條件，取Yn=anXn，則由引理2，{Yn，n≥1}也是兩兩NQD隨機(jī)變量序列.不失一般性，令c=1，同時(shí)令

于是，由條件(1)～(3)可知，隨機(jī)序列{Yn，n≥1}滿足如下的收斂條件.

則所要證明的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為證明:

顯然，根據(jù)引理2，截尾得到的{Yann，n≥1}仍然是兩兩NQD隨機(jī)變量序列，而且由條件(5)，序列{Yn，n≥1}與 {Yann，n≥1}實(shí)際上是隨機(jī)等價(jià)的.因此，只要證

首先，先考慮:

由于對(duì)于任意的 n≥1，有:

由引理1以及式(7)，只要證明

注意到

則:

又由于(5)，可以得到:

另一方面，由條件(5)、(6)以及等式(10)，可得:

那么由Kronecker引理，

于是:

結(jié)合(11)、(12)以及(13)式，可得:

再由引理1，得到:

同樣由式(6)以及Kronecker引理，有:

這意味著:

結(jié)合(14)式，得到:

從而(8)式成立，于是(4)式成立.證畢.

由上述的討論，可以將定理1改寫(xiě)成以下形式.

定理2 設(shè){Xn，n≥1}是兩兩NQD隨機(jī)變量序列，{an，n≥1}是滿足0＜an↑+∞ 的實(shí)數(shù)序列，記:

如果如下的三個(gè)級(jí)數(shù)收斂，

則:

注 定理2中的條件(16)以及(18)式在這種情況下實(shí)際上可以去掉，這兩個(gè)條件均可由(17)推出來(lái).

事實(shí)上，由(17)式，

且

同時(shí)

并注意到:

其中等號(hào)成立是由于

于是:

因此，定理2可以簡(jiǎn)化，我們給出如下結(jié)果.

定理3(一級(jí)數(shù)定理) 設(shè){Xn，n≥1}是兩兩NQD隨機(jī)變量序列，{an，n≥1}是滿足0＜an↑ +∞的實(shí)數(shù)序列，令:

如果

則

2 定理3的一些應(yīng)用

利用定理3可以很方便地證明NQD序列的一些強(qiáng)相合的結(jié)果，這些結(jié)果與獨(dú)立情形下的類似.在本文中，記M為一個(gè)常數(shù)，它的值在不同的地方可以不同，同時(shí)記a∨b=max(a，b).

定理4［12］設(shè){X，n≥1}是兩兩NQD隨機(jī)變量序列，偶函數(shù)序列{φ(x)，n≥1}在區(qū)間(0，+∞)

nn上取正值，且對(duì)于任意的n≥1，存在λ＞0，當(dāng)下面其中的一個(gè)條件成立.

1)φn(x)在區(qū)間(0，+∞)上非減，且當(dāng)0＜x≤1時(shí)，φn(x)≥λxθ(0 ＜θ≤1);

同時(shí)，實(shí)數(shù)序列{an，n≥1}滿足0＜an↑ +∞.那么當(dāng)

有

證明 令:

則由引理2，{Zn，n≥1}仍然是兩兩NQD的隨機(jī)變量序列.在條件1)或2)下，下面的證明是類似的.因此，我們僅給出條件1)下的證明，而這里實(shí)際上只需驗(yàn)證定理3的條件(19).

由條件φn(1)≥λ＞0，可得1≤φn(1)λ.注意到在區(qū)間(0，+∞)上，函數(shù)φn(x)是非減的，則對(duì)于 θ∈(0，1］，

于是由定理3，可得式(20)成立.證畢.

定理5 設(shè){Xn，n≥1}是兩兩NQD隨機(jī)變量序列，{an，n≥1}是滿足0＜an↑ +∞ 的實(shí)數(shù)序列，函數(shù)序列{φn(x)，n≥1}在(0，+∞)上是取正值的非減偶函數(shù)序列，且對(duì)于任意的n≥1，存在λ＞0，當(dāng)0 ＜ x≤1，有 φn(x)≥ λxγn(γn≥1)，同時(shí)

那么

證明 當(dāng) γn≥1，有

設(shè){Zn，n≥1}同(21)式的取法.由Jensen不等式，對(duì)于任意的γn≥1，

下面的定理6與定理7，分別作為本文定理4與定理5的特例，是吳群英［11］中的定理3與萬(wàn)成高［13］中定理5的相應(yīng)改進(jìn).

定理6［12］設(shè){Xn，n≥1}是兩兩NQD隨機(jī)變量序列，偶函數(shù)序列{gn(x)，n≥1}在(0，+∞)上取正值，{an，n≥1}是滿足0＜an↑+∞的實(shí)數(shù)序列.同時(shí)，對(duì)于任意的n≥1，如果下面的條件之一成立.

3)gn(x)與x gn(x)在(0，+∞)非減且滿足:

4)x gn(x)與gn(x)x2在(0，+∞)不增且滿足:

則

證明 僅證明條件4)下的結(jié)果.可以證明，對(duì)于任意的x∈R，y∈(0，+∞)，n≥1，取φn(x)=，則函數(shù)序列{φ(x)，n≥1}滿足:n

對(duì)每個(gè)n≥1，φn(x)是區(qū)間(0，+∞)上取正值的非減偶函數(shù)，而且，當(dāng)0＜x≤1時(shí)，φn(x)≥λxγn(γn≥1). 同時(shí)有

事實(shí)上，x gn(x)在(0，+∞)不增，意味著函數(shù)gn(x)在(0，+∞)不減，從而，φn(x)是(0，+∞)上的非增的函數(shù).又由于0＜x≤1時(shí)，對(duì)于?y∈(0，+∞)，有0＜yx≤y，同時(shí)注意到gn(x)x2是(0，+∞)上非增的函數(shù)，則

其中:γn=2，λ =1.

于是由定理5可得定理6成立.證畢.

定理7［12］設(shè){Xn，n≥1}是兩兩NQD隨機(jī)變量序列，{an，n≥1}是滿足0＜an↑ +∞ 的實(shí)數(shù)序列，如果下面的條件之一成立:

則

利用定理6，可以改進(jìn)吳群英［11］中相關(guān)推論.

推論1 設(shè){Xn，n≥1}是兩兩NQD隨機(jī)變量序列，{an，n≥1}是滿足0＜an↑ +∞ 的實(shí)數(shù)序列，

證明 在定理6中取gn(x)=，(p＞0)，立得結(jié)論成立.證畢.

進(jìn)一步地，若在推論1中分別取an=n1p與an=(n logδn)1p，可分別得到如下結(jié)果.

推論2 設(shè){X，n≥1}是兩兩NQD隨機(jī)變量序列，對(duì)于某個(gè)實(shí)數(shù)δ＞1，C＞0，如果E≤Clog-δn，0 ＜ p≤1，或 E≤Cn1-2δ，1＜p≤2成立，則

推論3 設(shè){Xn，n≥1}是兩兩NQD隨機(jī)變量序列，對(duì)于某個(gè)實(shí)數(shù)C＞0，若E≤C，0 ＜ p≤1，或E≤Cn-1，1＜p≤2成立，則對(duì)任意的 δ＞0，

作為定理3的另外的應(yīng)用，下面給出Li Rui等［2］中結(jié)果的改進(jìn).由于Li Rui等［2］中的結(jié)果證明中關(guān)鍵的是用到推廣化的Kolmogorov型三級(jí)數(shù)定理，所以利用定理3，順著前面的討論過(guò)程，不難得到如下的定理8和定理9，這里略去證明.

定理8 設(shè){Xn，n≥1}是兩兩NQD隨機(jī)變量序列，{an，n≥1}是滿足0＜an↑ +∞ 的實(shí)數(shù)序列.同時(shí)假設(shè)φn:R+→R+是Borel函數(shù)族且對(duì)于常數(shù)Kn≥1，Mn≥1，αn≥1，0 ＜βn≤2(n∈N)，滿足

且:

那么當(dāng)

有:

定理9 設(shè){Xn，n≥1}是兩兩NQD隨機(jī)變量序列，{an，n≥1}是滿足0＜an↑+∞ 的實(shí)數(shù)序列.假設(shè) φn:R+→R+是非減的Borel函數(shù)族，當(dāng)pn＞1(n∈N)時(shí)，滿足

且:

那么有: