勾股定理常見(jiàn)錯(cuò)題剖析

蔡銳

本章學(xué)習(xí)的勾股定理是初中幾何的一個(gè)重點(diǎn)內(nèi)容. 一開(kāi)始，有些同學(xué)由于各種原因常會(huì)犯一些錯(cuò)誤. 在這里我們選了一些例子共同來(lái)探討，希望大家參考借鑒，在以后的學(xué)習(xí)中避免類(lèi)似錯(cuò)誤的發(fā)生.

一、 審題不清，思維定勢(shì)

例1 已知直角三角形的兩邊長(zhǎng)分別為3、4，求第三邊長(zhǎng)的平方.

【錯(cuò)解】第三邊長(zhǎng)的平方為32+42=52=25.

【錯(cuò)解原因】題目中并沒(méi)有指明3和4是直角邊，而以3、4、5為三邊的直角三角形也是大家所希望得到的結(jié)果.

【正解】（1） 當(dāng)兩直角邊為3和4時(shí)，第三邊長(zhǎng)的平方為25；

（2） 當(dāng)斜邊為4，一直角邊為3時(shí)，第三邊長(zhǎng)的平方為7.

【點(diǎn)評(píng)】因大家習(xí)慣了“勾三股四弦五”的說(shuō)法，即意味著兩直角邊為3和4時(shí)，斜邊長(zhǎng)為5. 但這一理解的前提是3、4為直角邊. 而本題中并未加以任何說(shuō)明，因而所求的第三邊可能為斜邊，但也可能為直角邊，審題時(shí)不夠仔細(xì)，又加上思維定勢(shì)的影響造成了本題的錯(cuò)誤.

例2 在△ABC中，∠A、∠B、∠C的對(duì)邊分別為a、b、c，且 （a+b）（a-b）=c2，則（ ）.

A. ∠A為直角 B. ∠C為直角

C. ∠B為直角 D. 不是直角三角形

【錯(cuò)解】選B.

【錯(cuò)解原因】因?yàn)槌Ｒ?jiàn)的直角三角形表示時(shí)，一般將直角標(biāo)注為∠C，經(jīng)常就習(xí)慣性地認(rèn)為∠C一定表示直角，加之對(duì)本題所給條件的分析不縝密，導(dǎo)致錯(cuò)誤.

【正解】選A. 該題中的條件應(yīng)轉(zhuǎn)化為a2-b2=c2，即b2+c2=a2. 故直角是∠A.

【點(diǎn)評(píng)】與之前類(lèi)似，當(dāng)遇到問(wèn)題時(shí)部分同學(xué)常會(huì)有以c為斜邊、∠C為直角等一些“習(xí)慣上”的看法.

二、 勾股定理及其逆定理概念理解不透

例3 下列各組數(shù)據(jù)中的三個(gè)數(shù)，可以作為直角三角形的三邊長(zhǎng)的是（ ）.

A. 1、2、3

B. 32、42、52

C. 、、

D. 、、

【錯(cuò)解】選B.

【錯(cuò)解原因】不能清晰透徹地理解勾股定理及其逆定理，對(duì)概念的理解流于表面形式.

【正解】因?yàn)椋ǎ?+（）2=（）2，故選C.

【點(diǎn)評(píng)】利用勾股定理逆定理判斷一個(gè)三角形是否為直角三角形時(shí)，應(yīng)把三角形的三邊長(zhǎng)度分別平方，再看是否滿(mǎn)足a2+b2=c2的形式.

例4 如圖1，在△ABC中，BC邊上有一點(diǎn)D，連接AD，AB=10，AC=17，BD=6，AD=8，求BC長(zhǎng)度.

【錯(cuò)解】在△ADC中，

因?yàn)锳C=17，AD=8，

所以DC2=AC2-AD2=172-82=225，

所以DC=15，所以BC=BD+DC=21.

【錯(cuò)解原因】看似沒(méi)有問(wèn)題的解答過(guò)程卻有一個(gè)“致命的漏洞”，還沒(méi)有判斷出△ADC是否為直角三角形就已經(jīng)開(kāi)始利用勾股定理解題了.

【正解】在△ABD中，

因?yàn)锳B=10，BD=6，AD=8，

即AD2+BD2=AB2，

所以△ABD為直角三角形，

所以∠ADB=∠ADC=90°.

在Rt△ADC中，

因?yàn)锳C=17，AD=8，

所以DC2=AC2-AD2=172-82=225，

即DC=15，

所以BC=BD+DC=21.

【點(diǎn)評(píng)】由于基本概念理解不夠透徹，忽略了勾股定理應(yīng)用的前提條件，這是造成本題錯(cuò)誤的主要原因，而勾股定理逆定理的應(yīng)用剛好可以解決本題的難點(diǎn).

三、 考慮問(wèn)題不夠全面，造成漏解

例5 已知△ABC中，AB=17，AC=10，BC邊上的高AD=8，則邊BC的長(zhǎng)為（ ）.

A. 21 B. 15

C. 6 D. 以上答案都不對(duì)

【錯(cuò)解】選A.

【錯(cuò)解原因】高線(xiàn)AD可能在三角形的內(nèi)部也可能在三角形的外部，本題應(yīng)分兩種情況進(jìn)行討論. 分別依據(jù)勾股定理即可求解.

【正解】在直角三角形ABD中，根據(jù)勾股定理，得BD=15；

在直角三角形ACD中，根據(jù)勾股定理，得CD=6.

當(dāng)AD在三角形ABC的內(nèi)部時(shí)，BC=15+6=21；

當(dāng)AD在三角形ABC的外部時(shí)，BC=15-6=9. 則BC的長(zhǎng)是21或9.

故選D.

【點(diǎn)評(píng)】本題沒(méi)有給出圖形，也沒(méi)有告知△ABC的形狀特征，所以開(kāi)頭就應(yīng)考慮到多種情況的可能性. 當(dāng)遇到涉及三角形的高的題目時(shí)，要注意高的位置可能在三角形的內(nèi)部，也可能在三角形的外部，應(yīng)該分別畫(huà)出圖形再進(jìn)一步求解.

鞏固練習(xí)：

1. 下列命題中，是假命題的是（ ）.

A. 在△ABC中，若∠B+∠C=∠A，則△ABC是直角三角形

B. 在△ABC中，若a2=（b+c）（b-c），則△ABC是直角三角形

C. 在△ABC中，若∠A∶∠B∶∠C=3∶4∶5，則△ABC是直角三角形

D. 在△ABC中，若a∶b∶c=5∶4∶3，則△ABC是直角三角形

2. 下列各組數(shù)作為三邊長(zhǎng)，能構(gòu)成直角三角形的是（ ）.

A. 4，5，6 B. 1，1，

C. 6，8，11 D. 5，12，23

3. 一直角三角形的三邊分別為2，3，x，那么以x為邊長(zhǎng)的正方形的面積為（ ）.

A. 13 B. 5

C. 13或5 D. 4

4. 如圖2，在△ABC中，AB=17 cm，BC=16 cm，BC邊上的中線(xiàn)AD=15 cm，求AC.

（作者單位：江蘇省鎮(zhèn)江市第三中學(xué)）