勾股定理在生活中的應用

遲明

勾股定理也稱畢達哥拉斯定理，是幾何學中一顆光彩奪目的明珠，它揭示了直角三角形三邊之間的數量關系，完美地體現了“數形統一”的數學思想，將初中幾何與代數很好地聯系起來. 而且在現實世界中有著廣泛的應用，可以解決許多日常生活中的應用問題. 下面我們具體來看看勾股定理在生活中是如何應用的.

首先，來看看古代人是怎樣應用勾股定理的.

例1 數學家程大位，在所著的《算法統宗》里有一道秋千問題：

平地秋千未起，踏板一尺立地，送行兩步與人齊，五尺人高曾記；仕女佳人爭蹴，終朝笑語歡嬉，良工高士素好奇，算出索長有幾？

他的意思是：當秋千靜止時，秋千的踏板離地的距離為1尺，將秋千的踏板往前推兩步（這里的每一步為5尺），秋千的踏板與人一樣高，這個人的身高為5尺，當時秋千的繩索是直線狀態，現問這個秋千的繩索有多長？

【分析】首先根據題意畫出圖形，再在直角三角形中運用勾股定理構建方程求解.

說明：本題的關鍵是構造出直角三角形，利用勾股定理解決問題.

例3 如圖3，長方體的底面邊長分別為1 cm和3 cm，高為6 cm. 如果用一根細線從點A開始經過4個側面纏繞一圈到達點B，那么所用細線最短需要______cm；如果從點A開始經過4個側面纏繞n圈到達點B，那么所用細線最短需要______cm.

【分析】要求最短細線的長，得先確定最短線路，于是，可畫出長方體的側面展開圖，利用兩點之間線段最短，結合勾股定理求得.若從點A開始經過4個側面纏繞n圈到達點B，即相當于長方體的側面展開圖的一邊長由3+1+3+1變成n（3+1+3+1），同樣可以用勾股定理求解.

解：如圖4，依題意，得從點A開始經過4個側面纏繞一圈到達點B時，最短距離為AB，此時，由勾股定理，得AB==10，即所用細線最短為10 cm.

若從點A開始經過4個側面纏繞n圈到達點B，則長方體的側面展開圖的一邊長由3+1+3+1變成n（3+1+3+1），即8n，由勾股定理，得=，即所用細線最短為 cm，或2 cm.

說明：對于從點A開始經過4個側面纏繞n圈到達點B的最短細線不能理解為就是n個底面周長.

最后，勾股定理在交通問題中的應用.

例4 在某段限速公路BC上（公路視為直線），交通管理部門規定汽車的最高行駛速度不能超過60千米/時，并在離該公路100米處設置了一個監測點A. 在如圖5所示的直角坐標系中，點A位于y軸上，測速路段BC在x軸上，點B在A的北偏西60°方向上，點C在A的北偏東45°方向上，另外一條高等級公路在y軸上，AO為其中的一段.

（1） 求點B和點C的坐標；

（2） 若一輛大貨車在限速路上由C處向西行駛，一輛小汽車在高等級公路上由A處向北行駛，設兩車同時開出且小汽車的速度是大貨車速度的2倍，求兩車在勻速行駛過程中的最近距離是多少？

【分析】（1） 要求點B和點C的坐標，只要分別求出OB和OC即得.

（2） 為了求解，可設大貨車行駛到某一時刻行駛了x米，則此時小汽車行駛了2x米，于是利用勾股定理可求出兩車距離關于x的表達式進而求得.

解：（1） 在Rt△AOB中，因為∠BAO=60°，所以∠ABO=30°，所以OA=AB，而OA=100，所以AB=200，由勾股定理，得OB===100. Rt△AOC中，∠CAO=45°，所以OC=OA=100.

所以B（-100，0），C（100，0）.

（2） 設大貨車行駛到某一時刻行駛了x米，則此時小汽車行駛了2x米，且兩車的距離為y==，顯然，當x=60時，y有最小值是=20米，即兩車相距的最近距離為20米.

說明：本題在求最近距離時，一定要注意正確理解代數式的意義，注意到（x-60）2的最小值是0.

其實，“生活中處處有數學”，只要我們平時留心身邊的實際問題，就會有所發現，再借助學過的知識建立數學模型，便可順利解決.

（作者單位：江蘇省鎮江市外國語學校）