“有趣的勾股數”探究活動方案

艾文娟

一、 活動的提出

古往今來，勾股數被太多的人津津樂道，可見其神秘性和趣味性. 《周髀算經》記載的“勾三股四弦五”中的（3，4，5）就是一組最簡單的勾股數. 當然，勾股數遠遠不止這些，由此足見“有趣的勾股數”探索的價值和必要性.

二、 活動的目的

（1） 由簡單的勾股數發現其內在的規律，進而對勾股數計算公式進行證明，增強方程和分類討論思想方法的培養和提升；

（2） 利用類比思想將平面上的問題拓展到空間立體圖形上，初步感受科學思維的價值，發展合情推理能力.

三、 活動的過程

[創設問題]解不定方程x2+y2=z2，寫出盡可能多的解.

[活動說明]呈現勾股數和方程之間的聯系，體會“數”與“形”的緊密結合，學生通過動手嘗試，增強了對數的規律的探究欲望.

[活動1]觀察符合要求的勾股數，嘗試找出勾股數的基本特征.

（3，4，5） （5，12，13） （6，8，10） （10，24，26）

（7，24，25） （8，15，17）（9，40，41）……

[活動說明]通過呈現全班同學所寫出來的勾股數，去發現勾股數應滿足的性質和特征，進一步提升學生的分類討論能力.

[活動2]根據勾股數的特點，制造出勾股數生成器.

（1） 當a為奇數時，寫出數b和c之間的數量關系；若設a=2n+1，用n表示b和c.（n為正整數）

（2） 當a為偶數時，寫出數b和c之間的數量關系；若設a=2n，用n表示b和c.（n≥2，n為正整數）

[活動說明]在活動1了解a分奇偶性討論的前提條件下，運用方程的思想，得到用n表示b和c的代數式，從而在隨意給出一個a值的條件下，能快速說出b和c的值，讓學生在探究過程中體會成功的樂趣和發現數學的奧秘.

[活動3]若a=m2-n2，b=2mn，c=m2+n2（m>n，m，n為正整數），a，b，c是勾股數嗎？若是請驗證，不是請說明理由.

[活動說明]從乘法公式入手，得到這種表達式是勾股數，所以任意給出兩個數，我們可以通過這個生成器得到一組勾股數. 讓學生體會創新精神的新鮮和成功.

四、 活動創新

四邊形ABCD是矩形，AC為對角線，則有AB2+BC2=AC2，即AB、BC、CA的數量關系符合勾股定理.

ABCD-A1B1C1D1是長方體，若長方體的面ABB1A1、面BCC1B1、面ACC1A1的面積分別用α，β，γ表示，則是否有α2+β2=γ2成立？請說明理由.

[活動說明]從平面圖形到立體圖形的變化，告知學生，在數學中，我們常運用類比方法，從低維向高維發展，用已有的知識解決新的問題.

五、 活動收獲

回顧本次活動對勾股數深入探究的心路歷程，相信你有滿滿的收獲，勾股數內在的規律幫助我們辨別一組數是否勾股數，可以省去很多復雜的計算.

（作者單位：江蘇省鎮江市外國語學校）