數學好玩之神奇勾股

童立言

千百年來，勾股一直是個很奇妙的問題. 勾、股，為直角三角形的兩條直角邊，而弦，則為直角三角形的斜邊，則有“以日下為勾，日高為股，勾、股各乘并開方除之得斜至日”，即為“勾股定理”.

通過本次活動，我對常見的勾股數進行仔細觀察，大大激發了對勾股數研究的興趣，也發現了勾股數一些內在的規律. 這些規律可以幫助我們迅速辨別一組數是否勾股數，省去很多復雜的計算，真的好神奇喲！

現在我將本次活動中發現的規律整理出來和大家一起分享：

1. 勾股數中的三個數不能全是奇數.

2. 勾股數里的三個數要么全是偶數，要么只有一個偶數（即不可能出現只有兩個偶數的情況）. 奇數的平方為奇數，偶數的平方為偶數，而奇數+奇數=偶數，因此當兩條直角邊都為奇數時，斜邊為偶數，當兩條直角邊都為偶數時，斜邊為偶數，當兩條直角邊為一奇一偶時，斜邊為奇數.

勾股的奇妙之處還不僅僅在于此. 若有x=m2-n2，y=2mn，z=m2+n2，則此三個式子可組成一個勾股數生成器，理由一試即知.

（m2-n2）2+（2mn）2

=m4+n4-2m2n2+4m2n2

=m4+n4+2m2n2

=（m2+n2）2.

完全滿足x2+y2=z2的形式.

所以，在這三個式子中，m、n各任取一正整數（m>n），一組勾股數就會誕生. 舉一例：若m=2，n=1，則經典的“3，4，5”就出現了.

當然，其奇妙之處遠遠不止如此. 勾股定理的證明多種多樣，從《幾何原本》的證明到《九章算術》的證明，各有千秋. 另外，人們從勾股定理出發開平方、開立方、求圓周率，無理數也從此被人們發現. 它還被用在“最短距離”“三維空間”等方面，各個領域皆有涉及.

（指導教師：唐夏云）