勾股定理的經(jīng)典證法

楊秀琴

勾股定理是幾何學(xué)中的明珠，千百年來(lái)，人們對(duì)它的證明趨之若鶩，其中有著名的數(shù)學(xué)家，也有業(yè)余數(shù)學(xué)愛(ài)好者，有普通的老百姓，也有尊貴的政要權(quán)貴，甚至有國(guó)家總統(tǒng)，也許是因?yàn)楣垂啥ɡ砑戎匾趾?jiǎn)單，更容易吸引人，所以反復(fù)被人論證.

【“總統(tǒng)”證法的由來(lái)】1876年一個(gè)周末的傍晚，在美國(guó)首都華盛頓的郊外，有一位中年人正在散步，欣賞黃昏的美景，他就是當(dāng)時(shí)的美國(guó)俄亥俄州共和黨議員，后來(lái)成為第二十任總統(tǒng)的伽菲爾德.他走著走著，突然發(fā)現(xiàn)附近的一個(gè)小石凳上，有兩個(gè)小孩正在熱烈地談?wù)撝裁?，時(shí)而大聲爭(zhēng)論，時(shí)而小聲探討. 好奇心驅(qū)使下，伽菲爾德循聲向兩個(gè)小孩走去，想搞清楚兩個(gè)小孩到底在干什么.只見(jiàn)一個(gè)小男孩正俯著身子用樹枝在地上畫著一個(gè)直角三角形，于是伽菲爾德便問(wèn)他們?cè)诟墒裁矗莻€(gè)小男孩頭也不抬地說(shuō)：“請(qǐng)問(wèn)先生，如果直角三角形的兩條直角邊分別為3和4，那么斜邊長(zhǎng)為多少呢？”伽菲爾德答道：“是5呀.”小男孩又問(wèn)道：“如果兩條直角邊長(zhǎng)分別為5和7，那么這個(gè)直角三角形的斜邊長(zhǎng)又是多少？”伽菲爾德不假思索地回答道：“那斜邊的平方一定等于5的平方加上7的平方.”小男孩又說(shuō)：“先生，你能說(shuō)出其中的道理嗎？”伽菲爾德一時(shí)語(yǔ)塞，無(wú)法解釋了，心里很不是滋味.

于是，伽菲爾德不再散步，立即回家，潛心探討小男孩給他出的難題.他經(jīng)過(guò)反復(fù)思考與演算，終于弄清了其中的道理，并給出了簡(jiǎn)潔的證明方法. 下面介紹的是伽菲爾德對(duì)勾股定理的證法.

這一證明由于用了梯形面積公式和三角形面積公式，從而使證明相當(dāng)簡(jiǎn)潔. 1876年4月1日，伽菲爾德在《新英格蘭教育日志》上發(fā)表了他對(duì)勾股定理的這一證明. 5年后，伽菲爾德就任美國(guó)第二十任總統(tǒng). 后來(lái)，人們?yōu)榱思o(jì)念他對(duì)勾股定理直觀、簡(jiǎn)捷、易懂、明了的證明，就把這一證法稱為勾股定理的“總統(tǒng)”證法，這在數(shù)學(xué)史上被傳為佳話.

【畢達(dá)哥拉斯證法】

畢達(dá)哥拉斯是古希臘數(shù)學(xué)家、哲學(xué)家，他的方法為：下圖中左邊的正方形是由1個(gè)邊長(zhǎng)為a的正方形和1個(gè)邊長(zhǎng)為b的正方形以及4個(gè)直角邊分別為a、b，斜邊為c的直角三角形拼成.右邊的正方形是由1個(gè)邊長(zhǎng)為c的正方形和4個(gè)直角邊分別為a、b的直角三角形拼成的. 這兩個(gè)正方形的面積相等.

以上給大家介紹了幾種勾股定理的經(jīng)典證法，可以讓大家更深入地理解勾股定理的結(jié)構(gòu). 從不同角度對(duì)勾股定理進(jìn)行了證明，啟迪大家對(duì)同一個(gè)問(wèn)題要從不同的角度來(lái)思考和看待. 學(xué)好勾股定理對(duì)以后探究很多數(shù)學(xué)問(wèn)題和實(shí)際問(wèn)題都有很大的幫助.

（作者單位：江蘇省鎮(zhèn)江市外國(guó)語(yǔ)學(xué)校）